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江苏省南京市2012-2013学年高二(上)期末数学试卷(文科)

时间:2014-01-14


江苏省南京市 2012-2013 学年高二(上)期末数学试卷(文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答卷纸相应位置 上 1. (3 分)复数 1﹣2i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 四 象限. 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的代数表示法及其几何意义即可得到答案. 解

答: 解:∵z=1﹣2i 的实部为 1,虚部为﹣2, ∴复数 z=1﹣2i 在复平面内表示的点 Z 的坐标为 Z(1,﹣2) , ∴点 Z 位于第四象限. 故答案为:四. 点评: 本题考查代数表示法及其几何意义,属于基础题.
.

2. (3 分)已知命题 p:?x∈R,x >x﹣1,则?p 为 ?x∈R,x ≤x﹣1 . 考点: 命题的否定;全称命题. 专题: 阅读型. 2 分析: 根据命题 p:“?x∈R,x >x﹣1”是全称命题,其否定?p 定为其对应的特称命题,由? 变?,结论变否定即可得到答案. 解答: 解:∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,
.

2

2

∴命题 p:?x∈R,x >x﹣1,的否定是: 2 ?x∈R,x ≤x﹣1. 2 故答案为:?x∈R,x ≤x﹣1. 点评: 命题的否定即命题的对立面. “全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述. 如 “对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”;“都是”与“不都是”等,所以“全称命题” 的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”. 3. (3 分)在平面直角坐标系中,准线方程为 y=4 的抛物线标准的方程为 x =﹣16y . 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 2 设所求的抛物线方程为:x =﹣2py(p>0) ,依题意, =4 可求得 p.
.

2

2

2 解答: 解:设所求的抛物线方程为:x =﹣2py(p>0) , ∵其准线方程为 y=4,

∴ =4, ∴p=8. 2 ∴抛物线标准的方程为 x =﹣16y. 2 故答案为:x =﹣16y. 2 点评: 本题考查抛物线的标准方程,求得 x =﹣2py(p>0)中的 p 是关键,属于中档题.

4. (3 分)若复数 z=4+3i (i 为虚数单位) ,则|z|= 考点: 复数求模. 专题: 计算题. 分析: 由已知,代入复数的模长公式计算即可. 解答: 解:∵复数 z=4+3i,
.

5



∴|z|=

=5,

故答案为:5 点评: 本题考查复数的模长的求解,属基础题.

5. (3 分)双曲线

的渐近线方程为

y=±3x .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 在双曲线的标准方程中,把 1 换成 0,即得此双曲线的渐近线方程. 解答:
.

解:在双曲线的标准方程中,把 1 换成 0,即得

的渐近线方程为

,化简可得 y=±3x, 故答案为:y=±3x. 点评: 本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于基础题. 6. (3 分)“x>1”是“x>0”成立的 充分不必要 条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充 要”、“既不充分也不必要”中选出一种) . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 阅读型. 分析: 如果由 x>1 能推出 x>0,则 x>1 是 x>0 成立的充分条件,否则不充分;如果由 x >0 能推出 x>1,则 x>1 是 x>0 成立的必要条件,否则不必要. 解答: 解:由 x>1,一定有 x>0, 反之,x>0,不一定有 x>1. 所以,“x>1”是“x>0”成立的充分不必要条件. 故答案为充分不必要. 点评: 本题考查必要条件、充分条件与充要条件. 判断充要条件的方法是: ①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.
.

此题是基础题. 7. (3 分)已知曲线 y=ax 在 x=1 处切线的斜率是﹣4,则实数 a 的值为 ﹣2 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 首先求出函数的导数,然后求出 f'(1)=﹣4,进而求出 a 的值. 解答: 解:∵f'(x)=2ax, 2 曲线 y=ax 在 x=1 处切线的斜率是﹣4, ∴f'(1)=2a=﹣4 解得:a=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了导数的运算以及导数与斜率的关系,比较容易,属于基础题.
.

2

8. (3 分)若圆 x +y =4 与圆 x +(y﹣3) =r (r>0)外切,则实数 r 的值为 1 . 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 分析: 利用两圆外切,两圆圆心距等于两圆半径之和来求出 r 的值. 2 2 解答: 解:圆 x +y =4 的圆心坐标(0,0)半径为 2;
.

2

2

2

2

2

圆 x +(y﹣3) =r (r>0)的圆心坐标(0,3) ,半径为 r, ∵两圆外切,∴两圆圆心距等于两圆半径之和, ∴3=2+r, ∴r=1, 故答案为:1. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系,两圆外切,两圆圆心距等于两圆半径之和. 9. (3 分)函数 f(x)=x ﹣3x +1 的单调减区间为 (0,2) . 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 先求出函数的导数 fˊ(x) ,在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)<0,解得的区间为 函数的减区间. 2 解答: 解:f'(x)=3x ﹣6x<0 解得 x∈(0,2) 故答案为(0,2) 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性, 单调性是函数的重要性质, 属于基础题.
.

2

2

2

3

2

10. (3 分)若直线 3x+4y﹣12=0 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,则线段 MN 的长为 2 . 考点: 直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出圆心坐标和圆的半径 r,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离 d,
.

2

2

由求出的 d 与半径 r,根据垂径定理与勾股定理求出|MN|的一半,即可得到|MN|的长. 2 2 解答: 解:圆(x﹣3) +(y﹣2) =4, ∴圆心坐标为(3,2) ,半径 r=2, ∴圆心到直线 3x+4y﹣12=0 的距离 d= =1,

则|MN|=2

=2

=



故答案为:2 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质, 勾股定理以及垂径定理, 考查了数形结合的思想. 当 直线与圆相交时,常常过圆心作直线的垂直,由弦心距、圆的半径以及弦长得一半构 造直角三角形,利用勾股定理求出直线被圆所截得弦的长度.

11. (3 分)观察下列等式:

=( ﹣ )× ,
*

=( ﹣ )× , = ( ﹣ )×

=( ﹣ )× , .

=( ﹣ )× ,…可推测当 n≥3,n∈N 时,

考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 通过观察可知,等式的规律特点为:积的倒数等于倒数的差乘以差的倒数,据此规律 可求得答案. 解答: 解:通过观察四个等式可看出:两个整数乘积的倒数,等于较小整数的倒数减去较大 整数倒数的差再乘以较大整数减去较小整数差的倒数,
.

从而推测可推测当 n≥3,n∈N 时, 故答案为:=( ﹣ )× .

*

= ( ﹣ )×



点评: 此题考查寻找数字的规律及运用规律进行推理.寻找规律大致可分为 2 个步骤:不变 的和变化的;变化的部分与序号的关系.

12. (3 分)已知椭圆 个交点,则|PF1|?|PF2|=

+

=1 与双曲线

﹣y =1 有共同焦点 F1,F2,点 P 是两曲线的一

2

5 .

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题. 分析: 利用椭圆 +

.

=1 与双曲线

﹣y =1 有共同的焦点 F1、 F2, 结合椭圆和双曲线的定

2

义求出|PF1|与|PF2|的表达式,代入即可求出|PF1|?|PF2|的值. 解答: 解:设 P 在双曲线的右支上,左右焦点 F1、F2: 利用椭圆以及双曲线的定义可得:|PF1|+|PF2|=6①

|PF1|﹣|PF2|=4② 由①②得:|PF1|=5,|PF2|=1. ∴|PF1|?|PF2|=5×1=5. 故答案为:5. 点评: 本题主要考查圆锥曲线的综合问题. 解决本题的关键在于根据椭圆与双曲线有共同的 焦点 F1、F2,两个圆锥曲线的定义的应用,考查计算能力. 13. (3 分)在直角三角形 ABC 中,∠C 为直角,两直角边长分别为 a,b,求其外接圆半径 时,可采取如下方法:将三角形 ABC 补成以其两直角边为邻边的矩形,则矩形的对角线为 三角形外接圆的直径,可得三角形外接圆半径为 ;按此方法,在三棱锥 S﹣ABC

中,三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为 a,b,c,通过类比可得三棱锥 S﹣ABC 外接球 的半径为 .

考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 直角三角形外接圆半径为斜边长的一半, 由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互 相垂直且长度分别为 a,b,c,将三棱锥补成一个长方体,其外接球的半径 R 为长方 体对角线长的一半. 解答: 解:直角三角形外接圆半径为斜边长的一半, 由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a,b,c, 将三棱锥补成一个长方体,其外接球的半径 R 为长方体对角线长的一半.
.

故为

故答案为: 点评: 本题考查类比思想及割补思想的运用, 考查类用所学知识分析问题、 解决问题的能力.

14. (3 分)若函数 f(x)在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,且
2

在 I 上是减函数,

则称 y=f(x)在 I 上是“弱增函数”.已知函数 h(x)=x ﹣(b﹣1)x+b 在(0,1]上是“弱 增函数”,则实数 b 的值为 1 . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 新定义. 分析: 由“弱增函数”的定义知 h(x)在(0,1)上递增,
.

在(0,1)上递减,分别

根据二次函数、“对勾函数”的单调性求出 b 的取值范围,二者取交集即可求得 b 值.

解答: 解:因为 h(x)在(0,1]上是“弱增函数”,所以 h(x)在(0,1)上递增, 在(0,1)上递减. (1)由 h(x)在(0,1)上递增,得 (2)由 ①若 b≤0, ②若 b>0,由 ≤0,解得 b≤1;

=x+ ﹣(b﹣1)在(0,1)上递减,得 =x+ ﹣(b﹣1)在(0,+∞)上递增,不合题意; =x+ ﹣(b﹣1)在(0,1)上递减,得 ≥1,解得 b≥1,

综上,得 b≥1, 由(1) (2) ,得 b=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查函数的单调性问题,熟练掌握常见函数如:二次函数、“对勾函数”的单调性 可以为我们迅速解决问题提供帮助. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 58 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (8 分)已知复数 z1 满足 z1?i=1+i (i 为虚数单位) ,复数 z2 的虚部为 2. (1)求 z1; (2)若 z1?z2 是纯虚数,求 z2. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: (1)直接把给出的等式两边同时乘以 ,然后采用复数的除法运算求得 z1;
.

(2)设出复数 z2,由 z1?z2 是纯虚数,则其实部等于 0,虚部不等于 0,联立后可求 复数 z2 的实部,则复数 z2 可求. 解答: 解 (1)因为 z1?i=1+i, 所以 z1= = =1﹣i.

(2)因为 z2 的虚部为 2,故设 z2=m+2i (m∈R) . 因为 z1?z2=(1﹣i) (m+2i)=(m+2)+(2﹣m)i 为纯虚数, 所以 m+2=0,且 2﹣m≠0,解得 m=﹣2. 所以 z2=﹣2+2i. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的有关定义,复数为纯虚数的条件 是实部等于 0 虚部不等于 0.此题是基础题.

16. (8 分)已知命题 p:任意 x∈R,x +1≥a,命题 q:方程 (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围;

2



=1 表示双曲线.

(2)若“p 且 q”为真命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意先求出 f(x)的最小值,然后结合命题 p 为真命题,可知 a≤f(x)min, 从而可求 a 的范围 (2)因由为真命题,可知 a+2>0,可求 a 的范围,然后结合 p 且 q 可知 p,q 都为真, 可求 2 解答: 解(1)记 f(x)=x +1,x∈R,则 f(x)的最小值为 1,…(2 分)
.

因为命题 p 为真命题,所以 a≤f(x)min=1, 即 a 的取值范围为(﹣∞,1]. …(4 分) (2)因为 q 为真命题,所以 a+2>0,解得 a>﹣2.…(6 分) 因为“p 且 q”为真命题,所以 即 a 的取值范围为(﹣2,1].

…(8 分) 说明:第(1)问得出命题 p 为真命题的等价条件 a≤1,给(4 分) ,没过程不扣分, 第(2)问分两步给,得到 a>﹣2 给(2 分) ,得到 x∈(﹣2,1]给(2 分) ,少一步扣 (2 分) . 点评: 本题主要考查了复合命题的真假关系的应用,解题的关键是准确求出命题 p,q 为真 时参数的范围 17. (10 分)已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(﹣1,0)和 B(3,4) ,线段 AB 的垂直平 分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 . (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)直接用点斜式求出直线 CD 的方程; (2)根据条件得知|PA|为圆的半径,点 P 在直线 CD 上,列方程求得圆心 P 坐标,从 而求出圆 P 的方程. 解答: 解: (1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 中点坐标为(1,2) ,…(3 分) ∴直线 CD 方程为 y﹣2=﹣(x﹣1)即 x+y﹣3=0 …(6 分) (2)设圆心 P(a,b) ,则由点 P 在直线 CD 上得: a+b﹣3=0 ①…(8 分) 又直径|CD|= ,∴ 2 2 ∴(a+1) +b =40 ②…(10 分)
.

由①②解得



∴圆心 P(﹣3,6)或 P(5,﹣2)…(12 分) 2 2 2 2 ∴圆 P 的方程为(x+3) +(y﹣6) =40 或(x﹣5) +(y+2) =40…(14 分) 点评: 此题考查直线方程的点斜式,和圆的标准方程.

18. (10 分)如图,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(c,0) ,下顶点为 A

(0,﹣b) ,直线 AF 与椭圆的右准线交于点 B,若 F 恰好为线段 AB 的中点. (1)求椭圆 C 的离心率; 2 2 (2)若直线 AB 与圆 x +y =2 相切,求椭圆 C 的方程.

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由 B 在右准线 x= 上,且 F(c,0)恰好为线段 AB 的中点可求得 2c=
.

,从

而可求得其斜率; (2)由(1)可知 a= c,b=c,从而可设 AB 的方程为 y=x﹣c,利用圆心 O(0,0) 点到直线 y=x﹣c 间的距离等于半径 2 即可求得 c,从而使问题得到解决. 解答: 解 (1)因为 B 在右准线 x= 上,且 F(c,0)恰好为线段 AB 的中点, 所以 2c= 即 ,…(2 分) . …(4 分)

= ,所以椭圆的离心率 e=

(2)由(1)知 a= 分)
2

c,b=c,所以直线 AB 的方程为 y=x﹣c,即 x﹣y﹣c=0,…(6
2

因为直线 AB 与圆 x +y =2 相切,所以 解得 c=2.所以 a=2 所以椭圆 C 的方程为 ,b=2. + =1.

=

,…(8 分)

…(10 分)

点评: 本题考查椭圆的简单性质与椭圆的标准方程,考查化归思想与方程思想,求得椭圆的 离心率是关键,属于中档题. 19. (10 分)如图,在边长为 2 (单位:m)的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角 形,再把它的四个角沿着虚线折起,做成一个正四棱锥的模型.设切去的等腰三角形的高为 x m. (1)求正四棱锥的体积 V(x) ; (2)当 x 为何值时,正四棱锥的体积 V(x)取得最大值?

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;导数的综合应用;空间位置关系与距离. 分析: (1)由题意求出棱锥的底面面积以及棱锥的高,即可求正四棱锥的体积 V(x) ; (2)通过(1)棱锥的体积的表达式,利用函数的导数求出函数的极值点,说明是函 数的最大值点,即可求解当 x 为何值时,正四棱锥的体积 V(x)取得最大值. 解答: (本题满分 10 分) 解 (1)设正四棱锥的底面中心为 O,一侧棱为 AN.则
.

由于切去的是等腰三角形,所以 AN= 在直角三角形 AON 中,AO= 所以 V(x)= ? ?[2(1﹣x)] ? (不写 0<x<1 扣 1 分) (2)V′(x)= [(2x﹣2) +
2

,NO=1﹣x,…(2 分) = = (1﹣x)
2

= , (0<x<1) .

,…(4 分) …(6 分)

]=

(x﹣1)

,…(8 分)

令 V′(x)=0,得 x=1(舍去) ,x= . 当 x∈(0, )时,V′(x)>0,所以 V(x)为增函数; 当 x∈( ,1)时,V′(x)<0,所以 V(x)为减函数. 所以函数 V(x)在 x= 时取得极大值,此时为 V(x)最大值. 答:当 x 为 m 时,正四棱锥的体积 V(x)取得最大值. …(10 分)

说明:按评分标准给分,不写函数的定义域扣(1 分) ,没有答扣(1 分) .

点评: 本题以折叠图形为依托,考查空间几何体的体积的求法,通过函数的对数求法函数的 值的方法,考查空间想象能力与计算能力;解题中注意函数的定义域,导数的应用. 20. (12 分)设函数 f(x)=lnx﹣ax,a∈R. (1)当 x=1 时,函数 f(x)取得极值,求 a 的值; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在区间[1,2]的最大值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求导数 f′(x) ,由 f′(1)=0 即可求得 a 值;

.

(2)在函数定义域内先判断函数 f(x)的单调性,由此得其极值点 ,按极值点与 区间[1,2]的位置关系分三种情况讨论:①当 0< ≤1,②当 1< <2,③当 ≥2,借 助单调性即可求得其最大值; 解答: 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞) ,所以 f′(x)= ﹣a= 因为当 x=1 时,函数 f(x)取得极值, 所以 f′(1)=1﹣a=0,解得 a=1. 经检验,a=1 符合题意. (2)f′(x)= ﹣a= ,x>0.



令 f′(x)=0 得 x= .因为 x∈(0, )时,f′(x)>0,x∈( ,+∞)时,f′(x) <0, 所以 f(x)在(0, )上递增,在( ,+∞)上递减, ①当 0< ≤1,即 a≥1 时,f(x)在(1,2)上递减,所以 x=1 时,f(x)取最大值 f (1)=﹣a; ②当 1< <2,即 <a<1 时,f(x)在(1, )上递增,在( 所以 x= 时,f(x)取最大值 f( )=﹣lna﹣1; ③当 ≥2,即 0<a≤ 时,f(x)在(1,2)上递增,所以 x=2 时,f(x)取最大值 f (2)=ln2﹣2a; 综上,①当 0<a≤ 时,f(x)最大值为 ln2﹣2a;②当 <a<1 时,f(x)最大值为 ﹣lna﹣1. ③当 a≥1 时,f(x)最大值为﹣a. 点评: 本题考查函数在某点取得极值的条件及利用导数求函数在闭区间上的最值, 考查分类 讨论思想,考查学生分析问题解决问题的能力. ,2)上递减,


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