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高二数学等比数列知识点总结与经典习题


等比数列

一.知识点梳理:
1、等比数列的概念、有关公式和性质: (1)定义:

{an }为等比数列 ?
n ?1

an ?1 ? q(常数) an

(2)通项公式: a n ? a1 q

? ak q n?k

(q ? 1) ?

na1 ? n (3)求和公式: s n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?
(4)中项公式: (5)性 质:

G 2 ? ab 推广: a n ? a n ? m ? a n ? m
2

a、若 m+n=p+q 则 a m a n ? a p a q ; b、若 {k n } 成等差数列 (其中 k n ? N ) ,则 {a k n } 成等比数列。 c、 s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n 成等比数列。 d、 q
n ?1

?

an , a1

q n?m ?

an ( m ? n) am

2. 判断和证明数列是等比数列常有三种方法:

(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 (2)通项公式法;

an 为同一常数; an ?1

2 (3)中项公式法:验证 an?1 ? an an? 2 , n ? N 都成立;

(4) 若{an}为等差数列,则{ a a n }为等比数列(a>0 且 a≠1) ; 若{an}为正数等比数列,则{logaan}为等差数列(a>0 且 a≠1) 。

二. 典型例题: 【例 1】若数列 { a n } 中, a?, a1? n (n 是正整数) ,则数列的通项 a n ? 且 a 1 3 n ?
2

练习:1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设 { a n } 是公比为 q 的无穷等比数列, 下列 { a n } 的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 ①S1 与 S2; ②a2 与 S3; ③a1 与 an; ④q 与 an. 组.(写出所有符合要求的组号)

其中 n 为大于 1 的整数, Sn 为 { a n } 的前 n 项和.

9 1 2 2.若等比数列的首项为8,末项为3,公比为3,则这个数列的项数为( A.3 C.5 B.4 D.6 )

)

3.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( A.64 C.128 B.81 D.243 )

4.等比数列{an}中,若 a1=1,a4=8,则 a5=( A.16 C.32 B.16 或-16 D.32 或-32

5.已知{an}是公比为 q(q≠1)的等比数列,an>0,m=a5+a6,k=a4+a7,则 m 与 k 的 大小关系是( A.m>k C.m<k ) B.m=k D.m 与 k 的大小随 q 的值而变化 )

2 6.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3·9=2a5,a2=1,则 a1=( a

1 A.2 C. 2

2 B. 2 D.2 )

7.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( A.b=3,ac=9

B.b=-3,ac=9

C.b=3,ac=-9
n 2 2

D.b=± 3,ac=9
2

8. 数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 2 ? 1, 则a1 ? a2 ? ? ? an ? _______________

9. 已知 a + b + c , b + c -a , c + a -b , a + b -c 成等比数列, 公比为 q , 求证: (1) q3 + q2 + q = 1 ; (2) q =

a . c

【例 2】 已知数列 {an }, a1 ? 1, an ? 3

n ?1

? an ?1 (n ? 2) ,写出数列 {an } 的通项公式

练习:1、各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2, a3,a1 成等差数列,则

1 2

a3+a4 的值为( a4+a5

)

A. C.

1- 5 2 5-1 2

B. D.

5+1 2 5+1 5-1 或 2 2 )

2、若 a,b,c 成等比数列,则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0( A.必有两个不等实根 C.必无实根 B.必有两个相等实根 D.以上三种情况均有可能

3. 设数列 {an } 的各项为正数,若对任意的正整数 n, an 与 2 的等差中项等于其前 n 项和 sn 与 2 的等比中项, 求 {an } 的通项公式.

【例 3】(错位相减)求和:(1) S n ? 1 ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3

n ?1



练习:1. 在等比数列 {bn } 中,S4=4,S8=20,那么 S12=

2.在等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9,那么 a4+a5=( A.27 C.81 B.27 或-27 D.81 或-81

)

3. 设{an}是由正数组成的等比数列, 公比 q=2, a1·2·3· a30=230, 且 a a …· 那么 a3·6·9· a30 a a …· 等于( ) B.220 D.215 )

A.210 C.216 4.如果数列{an}是等比数列,那么( A.数列{a2}是等比数列 n C.数列{lgan}是等比数列

B.数列{2an}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列
10

a18 5.在等比数列{an}中,a5a7=6,a2+a10=5.则a 等于( 2 3 A.-3或-2 3 C.2 2 B.3 2 3 D.3或2

)

6.若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10, 则 a=( A.4 C.-2 ) B.2 D.-4

7.一个等比数列前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,则该数列

有(

) A.13 项 C.11 项 B.12 项 D.10 项

8.等比数列{an}中,a1<0,{an}是递增数列,则满足条件的公比 q 的取值范围是 __________. 9.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 __________. 10.在 3 和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去 6 则成等比数 列,则此未知数是__________. 11.有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数 列,它们的积为-80,求出这四个数. a1+a3+a9 的值为 a2+a4+a10

能力拓展提升 一、选择题 12.已知 2a=3,2b=6,2c=12,则 a,b,c( A.成等差数列不成等比数列 B.成等比数列不成等差数列 C.成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列 13.在数列{an}中,a1=2,当 n 为奇数时,an+1=an+2;当 n 为偶数时,an+1=2an
-1

)

,则 a12 等于( A.32

) B.34

C.66

D.64

14.已知公差不为零的等差数列的第 k、n、p 项构成等比数列的连续三项,则等比 数列的公比为( n-p A. k-n n-k C. n-p ) p-n B. p-k k-p D. n-p

15.若方程 x2-5x+m=0 与 x2-10x+n=0 的四个根适当排列后,恰好组成一个 m 首项为 1 的等比数列,则 n 的值是( A.4 1 C.2 二、填空题 16. b、 成等比数列, a、 c 公比 q=3, a, 又 b+8, 成等差数列, c 则三数为__________. 17.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________. 三、解答题 18.某工厂三年的生产计划中,从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同,三 年的总产值为 300 万元.如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多 10 万元、 10 万元、11 万元,那么每一年比上一年的产值的增长率都相同,求原计划中每年的产 值. ) B.2 1 D.4

19.(2010~2011· 山东临清实验高中高二期中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n, Sn)在函数 f(x)=2x-1 的图象上,数列{bn}满足 bn=log2an-12(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,当 Tn 最小时,求 n 的值;

(3)求不等式 Tn<bn 的解集.

参考答案
例题 1、 9n-1
练习 1、1、4

9 2 1 2 8 2 2、B [解析] 8·3)n-1=3,∴(3)n-1=27=(3)3∴n=4. ( 3、A [解析] ∵{an}是等比数列,a1+a2=3,a2+a3=6,∴设等比数列的公 比为 q,则 a2+a3=(a1+a2)q=3q=6,∴q=2. =1, ∴a7=a1q6=26=64. 4、A [解析] a4=a1q3=q3=8,∴q=2,∴a5=a4q=16. 5、C [解析] m-k=(a5+a6)-(a4+a7)=(a5-a4)-(a7-a6) =a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6) =(q-1)·4· a (1-q2) =-a4(1+q)(1-q)2<0(∵an>0,q≠1). 6、B [解析] 设公比为 q,由已知得 a1q2·1q8=2(a1q4)2,即 q2=2, a a2 1 2 因为等比数列{an}的公比为正数,所以 q= 2,故 a1= q = = 2 ,故选 B. 2 ∴a1+a2=a1+a1q=3a1=3,∴a1

7、B

[解析]

?a =-b ?2 由条件知?b =ac=9 ?c2=-9b ?
2

?a2≥0, ? ,∵? ∴a2>0,∴b<0,∴b=-3 ? ?a≠0,

8、 an=Sn-Sn-1=2n -1-[2n-1 -1]=2n-2n-1=2n-1,an2 是以 a12=1 为首项,4 为公比的等比数列;S=4n-1/3 9、 a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 组成公比为 q 的等比数列, (1) 所以 q3=(a+b-c)/(a+b+c) , 2=(c+a-b)/(a+b+c) q q=(b+c-a)/(a+b+c),q3+q2+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1 (2)因为 a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列,公比为 q 所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q ∴q=[(c+a-b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.

例题2、

解 an-an-1=3n-1

将 n=2,3,4,5代入得:a? -a? =3? a? -a? =3? a? -a? =3? ...............
an-an-1=3n-1

将上面的式子相加得:an-a1 = 3? +3? +3? +.......+3n-1

an = 1+3? +3? +3? +.......+3n-1=(1/2)(3?-1)

练习 1、C

[解析]

1 ∵a2,2a3,a1 成等差数列,∴a3=a2+a1,

∵{an}是公比为 q 的等比数列,∴a1q2=a1q+a1, ∴q2-q-1=0,∵q>0,∴q= 2、C 5+1 2 . ∴ a3+a4 a3+a4 5-1 1 = =q= 2 . a4+a5 ?a3+a4?q

[解析] ∵a,b,c 成等比数列, ∴b2=ac>0. 又∵Δ=b2-4ac=-3ac<0,∴方程无实数根.

3、 an+2) ( /2=√(2Sn)

2 Sn= n+2)/8 (a

2 Sn+1= n+1+2)/8 (a

an+1=Sn+1-Sn=an+12/8+a(n+1)/2-an2/8-an/2 an=-2+4n

an+12/8-a(n+1)/2-an2/8-an/2=0 2 3

an+12-4an+1-an2-4an=0 4 (n-1)

a(n+1)=an+4

例题3、 xSn=x+3x +5x +7x +...+(2n-3)x

+(2n-1)xn ① ②

因为 Sn=1+3x+5x2+7x3+9x4+...+(2n-1)x(n-1) ②-①得,(1-x)Sn=1+2[x+x2+x3+x4+.....+xn-1]-(2n-1)xn (1-x)Sn=1+2[(x-xn)/(1-x)]-(2n-1)xn (1-x)Sn=1+(2x-2xn)/(1-x)-2nxn+xn (1-x)Sn=1+2x/(1-x)-2xn/(1-x)-2nxn+xn (1-x)Sn=1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}xn Sn={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]xn}/(1-x)

练习1、在等比数列中,依次每 k 项之和仍成等比数列。(S12-S8)/(S8-S4)=(S8-S4)/S4
S12-S8=(S8-S4)2/S4=(20-4)2/4=64
2、B [解析]

∴S12=64+20=84

∵q2=

a3+a4 =9,∴q=± 3,因此 a4+a5=(a3+a4)q=27 或-27 a2+a1

3、B [解析]

设 A=a1a4a7…a28,B=a2a5a8…a29,C=a3a6a9…a30,则 A、B、C 成等比数列,

公比为 q10=210,由条件得 A· C=230,∴B=210,∴C=B·10=220. B· 2 4、A [解析] 设 bn+1 a2+1 an+1 2 n 2 bn=an,则 b = a2 =( a ) =q2,∴{bn}成等比数列; n n n

2an+1 cn+1 ?n+1?an+1 ?n+1?q =2an+1-an≠常数;当 an<0 时 lgan 无意义;设 cn=nan,则 c = na = n ≠ 2an n n 常数.

5、D [解析]

a2a10=a5a7=6.

?a2a10=6 ?a2=2 ?a2=3 由? ,得? 或? . ?a2+a10=5 ?a10=3 ?a10=2

a18 a10 3 2 ∴a = a =2或3.故选 D.
10 2

?2b=a+c 6、D [解析] ? 2 消去 a 得:4b2-5bc+c2=0, ?a =bc ∵b≠c,∴c=4b,∴a=-2b,代入 a+3b+c=10 中得 b=2,∴a=-4. 7、 B[解析] 设前三项分别为 a1,a1q,a1q2,后三项分别为 a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1.

所以前三项之积 a3q3=2,后三项之积 a3q3n-6=4.两式相乘得,a6q3(n-1)=8,即 a2qn-1=2. 1 1 1 1
n 又 a1·1q·1q2· a1qn-1=a1q a a …·

n?n-1? 2 n-1 n 2 n 2 2 =64,即(a1q ) =64 ,即 2 =64 .所以 n=12.

?a1q>a1 ? ? ?a2>a1 8、 0<q<1[解析] ∵? ∴? 2 ∴0<q<1. ? ? ?a3>a2 ?a1q<a1q

13 9、16 [解析]

∵a1,a3,a9 成等比∴a2=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),∴d=a1,∴an=a1+(n-1)d 3

a1+a3+a9 13 d 13 =nd,∴ = = . a2+a4+a10 16 d 16 10、3 或 27 [解析]

?2a=3+b ?a=3 ?a=15 设此三数为 3、a、b,则? ,解得? 或? , 2 ??a-6? =3b ?b=3 ?b=27

∴这个未知数为 3 或 27.

b 11、由题意设此四个数为q,b,bq,a,则有 2bq=a+b, ab2q=-80, 4 所以这四个数为 1,-2,4,10 或-5,-2,-5,-8. 12、A [解析]

? ? ?

b3=-8,

解得 b=-2,

? ? ?q=-2

a=10,

?a=-8, ?b=-2, 或? ?q=5. ? 2

解法 1:a=log23,b=log26=log2 3+1,c=log2 12=log2 3+2.∴b-a=c-b.

13、C [解析] 依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11 构成以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故 a11= a1×25=64,a12=a11+2=66.故选 C. 14、A[解析] an ap ap-an [a1+?p-1?d]-[a1+?n-1?d] 设等差数列首项为 a1,公差为 d,则 q=a =a = = an-ak [a1+?n-1?d]-[a1+?k-1?d] k n

p-n n-p = = .故选 A. n-k k-n 15、D [解析] 由题意可知 1 是方程之一根,若 1 是方程 x2-5x+m=0 的根则 m=4,另一根为 4,

设 x3,x4 是方程 x2-10x+n=0 的根,则 x3+x4=10,这四个数的排列顺序只能为 1、x3、4、x4,公比为 2、

m 1 x3=2、x4=8、n=16、 n =4;若 1 是方程 x2-10x+n=0 的根,另一根为 9,则 n=9,设 x2-5x+m=0 之 两根为 x1、x2 则 x1+x2=5,无论什么顺序均不合题意. 16、4,12,36 [解析] ∵a、b、c 成等比数列,公比 q=3,∴b=3a,c=9a,又 a,b+8,c 成等差数 列,∴2b+16=a+c, 即 6a+16=a+9a,∴a=4,∴三数为 4,12,36. 3 17、 5 [解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识.等比数列的通项公式为 an=(-3)n-1.所以此

数列中偶数项都为负值,奇数项全为正值.若 an≥8,则 n 为奇数且(-3)n-1=3n-1≥8,则 n-1≥2,∴n≥3, 4 3 ∴n=3,5,7,9 共四项满足要求.∴p=1-10=5. 18、原计划三年产值成等差数列,设为 a-d,a,a+d,d>0,由三年总产值为 300 万元,得 a=100 万 元,又 a+10-d,a+10,a+11+d 成等比数列,得(a+10)2=(a+10-d)(a+11+d),∴(110-d)(111+d) =1102?d2+d-110=0?d=10,或 d=-11(舍). ∴原计划三年的产值依次为 90 万元, 100 万元,110 万元. 19、(1)依题意:Sn=2n-1(n∈N*),∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-2n 1=2n 1. 当 n=1,S1=a1=1,∴an=2n-1(n∈N*). n2-25n 1 25 625 (2)因为 bn=log2an-12=n-13,所以数列{bn}是等差数列.∴Tn= 2 =2(n- 2 )2- 8 . 故当 n=12 或 13 时,数列{bn}的前 n 项和最小. n2-25n n2-27n+26 ?n-1??n-26? (3)∵Tn-bn= 2 -(n-13)= = <0, 2 2 ∴1<n<26,且 n∈N*,所以不等式的解集为{n|1<n<26,n∈N*}.
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