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高中数学第二章第四节2.4等比数列课件必修5

时间:2014-03-08


教学目标
一、知识目标:理解并掌握等比数列的定义和通项公 式,并加以初步应用。 二、能力目标:通过慨念、公式和例题的教学,渗透 类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学 思想,着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方 面的思维能力,并进—步培养运算能力,分析问题和解决 问题的能力,增强应用意识。 三、品质素养目标:在传授知识培养能力的同时,培 养学生勇于

探求,敢于创新的精神,同时帮助学生树立克 服困难的信心,培养学生良好的学习习惯意志品质。

等差数列定义 如果一个数列从第 二项起,每一项与它 的前一项的差等于同 一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数 列的公差

1.等比数列定义:

如果一个数列从第 二 __项起,每一项与它 比 _ 的前一项的 _等于 同 一个常数,那么这个 数列就叫做 这个常数叫做等 比 数 公比 列的 _____ 公比通常用字母q表示

公差通常用字母d表示

等差数列
由于等差数列是 作差 故a 1 d 没 有要求
判断数列是等差数列的方法

等比数列

由于等比数列的每一 项都有可能作分母, 故a 1 ≠0 且 q ≠0
判断数列是等比数列的方法

an –an-1=d(n≥2)

an ? q(n ? 2) a n?1
a n ?1 或 ? q(n ? 1) an

或 an+1-an=d(n≥1)

等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列: (1)1,±3 , 9 (3)-12, ±6 ,-3 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的 且是一对相反数。

等比中项。同号两数才有等比中项,

G ? ? ab

即G ? ab
2

等差数列通项公式推导:
设公差为 d 的 等差数列{ a n },则有:
a 2 -a 1 = d a 3 -a 2 = d a 4 -a 3 = d

等比数列通项公式推导:
设公比为 q的等比数列{ a n} ,则有:

q a2 ? ___ a1 a3 q ? ___ a2 ×) q an ? ___ a n ?1 …

n-1个

n-1个

……
+ ) a n -a
n -1

=d (n≥2)

a n - a 1 = ( n- 1 ) d

等差数列 { a n } 的首项为 a 1, 公差为 d 的通项公式为 a n = a 1 + ( n-1 ) d,n ∈N + ________________

an ? q n ?1 (n≥2) a1 首项为 a 1,公比为 q 的等比数 列的通项公式:

a n= a 1 q n-1 (a 1 ≠0 且

q ≠0

n ∈ N +)

等差数列
等差数列通项公式:
首项为 a 1,公差为 d 的通项公式为
a n = a 1 + ( n-1 ) d,n ∈N +

等比数列
等比数列通项公式: 首项为 a 1,公比为 q 的 的通项公式:
a n= a 1 q n - 1
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)

________________

常数列都是等差数列

但常数列却不一定 是等比数列,

如0,0,0,0,……

等比数列的通项公式:
an=a1qn-1 (n∈N﹡,q≠0) an=amqn-m
(n ? 1,1 ? m ? n、n、m ? N *)

特别地,等比数列{an}中,a1≠0,q≠0 ,an ≠0

若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是:

an=2 n-1 ______
上式还可以写成

1 an ? ? 2 n 2

an 8 7

·

可见,表示这个等比数列 x 1 的各点都在函数 2 的图象上,如右图所示。

6
5 4

y ? ?2

·

3

· ?an ?的图象是其对应的 结论: 等比数列
1

2

·
2

函数的图象上一些孤立 的点

0

1

3

4

n

例题讲解:

在等比数列 ?a ? 中,
n

(1)a4 ? 27, q ? ?3, 求a7 ; (2)若a2 ? 18, a4 ? 8, 求a1与q;

(3)a5 ? 4, a7 ? 6, 求a9 ;
?

(4)a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6, 求a3 .

课堂小结 (1)等比数列的定义 (2)等比数列的通项公式及推导方法 (3)等比数列的有关性质 (4)学习的思想方法: 类比方法、累乘法


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