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2014年全国高中数学青年教师展评课:空间几何体的结构特征教学设计(福建厦门双十中学许波)

时间:2015-02-11


空间几何体的结构教学设计
福建省厦门双十中学数学组 许波

一、教学内容解析 本节课选自人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学 2(必修)第一 章《空间几何体》第 1 节《空间几何体的结构》 。 几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。空间几 何体是几何学的重要组成部分,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际 问题中都有

广泛的应用。三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形,培养 和发展学生的几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一 定的推理论证能力是高中阶段数学必修课程的一个基本要求。在本章,学生将从 对空间几何体的整体观察入手,通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算 等方法认识和探索几何图形及其性质。
柱、锥、台、球的结构特征在立体几何教学中起着承上启下的作用。承上——承接小学 和初中阶段学生对几何图形的直观认识,先整体、进而局部认识空间图形,用语言精确地描 述空间几何体的结构特征;启下——认识清楚了空间几何体的结构特征,就可以利用这些特 征进一步认识几何体的大小和位置关系,进行定量计算。柱体、锥体、台体、球体都是简单 的几何体,复杂的几何体大都是由这些简单的几何体组合而成的。有关柱体、锥体、台体、 球体的研究是研究比较复杂的几何体的基础。把现实世界中的物体抽象成几何图形,体现了 数学模型以及数学建模的基本思想,同时,多个几何体具有同样的结构特征,则体现了特殊 问题一般化的思想,利用不同的结构特征概括现实世界的物体,体现了分类讨论的基本方法。 教学中,通过建立现实世界中的物体和空间几何体的对应关系,并从细节上认识空间几何体 的结构特征,对培养学生数学建模的思想和方法、发展学生的抽象思维能力和空间想象能力 具有重要意义。

二、教学目标设置 1.知识与技能 了解柱、锥、台、球的定义,掌握柱、锥、台、球的结构特征及其关系。 2.过程与方法 在描述和判断几何体结构特征的过程中,通过观察大量实例,运用课堂活动 和合作学习的方式,培养观察能力、空间想象能力、抽象思维能力、几何直观能 力、合情推理能力和运用图形进行交流的能力,渗透分类思想和类比方法,逐步 培养自主探究的学习习惯。 3.情感、态度与价值观 通过对具体事物的抽象,培养探索能力、钻研精神和科学态度。在对空间几 何体进行分类的过程中,培养团结协作的精神。通过探索、质疑、讨论感受数学 探索的成就感,从而激发学习数学的热情,培养学习数学的兴趣,增强学习数学 的信心。 三、教学重点和难点 教学重点:从数学角度合理对空间几何体进行分类,准确描述各类几何体的 结构特征,并能运用这些结构特征判断几何体的形状。 教学难点:准确理解空间几何体尤其是棱柱的概念,学会换角度看问题,透 过现象看本质,准确判断“放倒”几何体的结构特征。 四、学生学情分析
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本节课的教学对象为福建省厦门双十中学(福建省一级达标学校)高一实验 班学生,他们都是初中阶段的优秀学生,具有很好的形象思维能力和扎实的数学 基本功,经过半个学期的高中数学学习,班级学生思维活跃,学习积极性强,学 习兴趣浓厚,形成了良好的学习习惯,基本能做到课前预习、课后复习;有较强的 课堂参与意识和思维能力,课堂上能积极思考,踊跃发言,具有较强的分析问题 和解决问题的能力,抽象思维能力在不断增强。 学生在初中已经对空间图形进行直观认识,能在实物和抽象图形以及抽象图 形和概念之间建立对应关系,对柱体、锥体和球有较为深刻的直观认识。细节上, 学生已初步明确点、线、面、体等几何对象及其关系,并且能够根据长方体等的 平面展开图描述基本几何体或其实物原型。本节课主要通过直观感知、操作确认 来描述空间几何体的概念和基本特征,主要用到分类思想和类比方法,从思维的 角度考虑,本节课是在形象思维的基础上发展抽象思维,学生在初中对几何图形 的认识主要以直观感知为主,这与本节课的做法基本一致,同时,分类思想和类 比方法在初中也有涉及,高中阶段必修 1 的教材中也有很多渗透,比如函数学习 过程中含参问题的分类讨论,运用研究一次函数和二次函数的思路和手段研究指 数函数和对数函数等等。 从非智力层面讲,学生在初中有对图形的直观认识经验,随着时间的推移, 学生的认识结构不断完善,知识不断丰富,学生会更加渴望研究图形的局部性质 和细节。结合现实世界中丰富多彩的图形和建筑,借助实物模型和计算机模拟, 本节课的教学能给学生带来美的享受,善加引导,能够培养学生欣赏数学美、探 索数学美、进而学好数学的积极学习心态。当然,受高中阶段数学课时紧、任务 重等特点的影响,课堂上采用小组合作学习的形式较少,因此,学生的合作学习 经验不足,需要老师善加引导。 五、教学策略分析 1.启发——探究式教学:遵循“数学学习的本质是主体(学生)在头脑中建 构和发展数学认知结构的过程,是主体的一种再创造行为”的理论,坚持以“学 生为主体,教师为主导” 。让学生在问题的解决过程中感受到“没有新知识,新知 识均是旧知识的组合” ,并在问题的提出、分析、探索和解决过程中充分发挥学生 的创造性,增加学生的成就感。本节课的教学首先为学生提供足够的图片和实物 模型,通过启发性的问题引导学生观察、分析、总结,探索和理解空间几何体的 概念和机构特征。 2.小组合作学习:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中, 运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作, 主动建构而获得的。因此,教学应以学习为中心,学生为主体,教师对学生的意 义建构起帮助和促进作用。因此,本节课的教学通过学生的课堂活动,帮助学生 确认和巩固对空间几何体结构的认识,同时,在活动过程中发展学生运用图形语 言进行交流的能力,按照几何体的不同特征自然分成 7 个小组,进行小组合作探 究,小组内成员共享资源,分享成果,小组间互相探讨、互相补充、互相促进。 六、教学过程
教学 过程 展示 与 教 学 内 容
观察校园的各种建筑的 照片,结合展台的模型

教 师 活 动
引导语:同学们,我们生活在一 个有各种物体构成的世界,达到

学 生 活 动
观察、思考、分析,按照老师的 引导分析教室的构成要素。 通过

设计意图
从客观现实事物引入,通过 对学生所处空间的分析,一

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引入

和你手中的图片,你觉 得这些图片中的物体具 有怎样的形状?这些物 体的形状叫什么?

时刻运转的天体,小到肉眼难见 的原子分子,包括我们身边的各 种建筑和包装,都有自己不同的 形状,正是这些丰富多彩的形状 给了我们美的享受,看看我们的 校园(展示校园各种建筑的照片 及其抽象图形) ,在数学中,我们 把只考虑物体的形状和大小而抽 象出来的空间图形称为空间几何 体,今天,我们在之前对空间图 形直观认识的基础上, 更进一步, 从细节上研究空间几何体的结构 特征。

教室和水立方的比较发现不同 几何体其“形状和大小”不同, 形成空间几何体以及点线面和 平行等位置关系的的初步直观 认识。

方面激起学生学习兴趣,另 一方面,帮助学生建立对点 线面位置关系的认识并形成 对平行等位置关系的直观认 识。

观察 与 思考 交流 与 探索

空间几何体由面构成, 构成几何体的这些面有 什么不同?据此,可怎 样对几何体进行分类? 曲面是怎样形成的?据 此,你认为可对刚才的 标准做怎样的调整? 观察你手中的图片在构 通过提示学生思考“矩形绕一边 旋转形成圆柱”的动画演示,明 确曲面是旋转形成的,进一步对 分类标准进行调整。 引导学生观察、分类,运用图形 进行交流,同时,在活动的过程 中引导学生考虑能否更进一步分 小类研究问题。 观察、思考、探索、比较,形成 对空间几何体明确的分类标准。 提出问题, 通过对图片和模型的 解读引发学生的进一步思考。 观察、操作、回顾、尝试描述, 思考空间几何体的分类标准。

通过对面的分析和展示,引 导学生发现差异,形成初步 的的分类标准。 分类是一种重要的数学思 维,通过此环节的调整,引 导学生形成良好的分类思 想。 合理的分类是后续描述概念 的基础,通过活动给学生交 流的机会,同时,也对分类 标准进行强化。

数学 活动 一

成上的特点,请按我们 讨论的标准从其他同学 的图片中找到和你类似 的几何体?试试看。

观察、思考、分析、归类、总 结, 把空间几何体分类多面体和 旋转体两大类。

活动 小结

什么是多面体,什么是 旋转体?

总结分类结果,展示多面体和旋 转体的基本类型。

观察、比较、讨论、交流,思考 进一步的分类标准。

调节课堂学习状态,培养良 好学习习惯,为进一步分类 研究几何体的结构做铺垫。

我们已经把图中几何体分成了两 大类。请大家再观察,看看围成 观察手中的图片, 结合展台的模 型, 进一步分析空间几何体在面 的形状、位置以及构成上的特 在分类过程中交流共同特点, 形 成共识。 通过几何特征进行分类,一 方面,强化学生运用图形交 流的能力,另一方面,按照 各自不同的特征自热而然的 分组,在分组过程中培养学 生的交流能力、合作意识。 这些几何体的平面(在形状和位 多面体和旋转体可以怎 样进一步进行分类? 置关系上)和曲面(由什么平面图 可以怎样进一步分类?试试看, 找到你的“类”,取个名字,分享 你们的共同特征。

数学 活动 二

形旋转得到) 又有什么样的不同, 点,进一步对几何体进行分类,

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1. 找出与图 1 具有相同 的结构特征的物体,并 描述这些相同的结构特 征。 1.结合具体的实物和模型,引导 学生从点、线、面两个角度描述 棱柱的概念和结构特征。 2.通过引导学生思考“柱”的形 象,观察几何体的基本构造,通 过对基本特征的简化达到对数学 2.简化为 “有两个面互相 平行,其余各面都是四 边形,每相邻两个四边 形的公共边都平行:可 以吗? 1.如图, 过长方体的一条 棱 BC 截去长方体的一 角,所得的几何体是不 是棱柱? 1.提出问题,引导学生讨论:如 何判定一个几何体是不是棱柱, 请学生上台摆放模型,最终得出 结论。 2.观察下面的棱柱, 共有 多少对平行平面?能作 为棱柱的底面的有几 对? 2.引导学生结合棱柱概念,矫正 长方体可能带来的负迁移:即任 何两个互相垂直的面都可以作为 棱柱的底面。明确棱柱的底面是 特定的,强化学生对棱柱概念的 认识和理解。 3. 引 导 学 生 观 察 图 片 和 实 物 模 型,结合对棱柱的只管认识形成 3. 棱 柱 概 念 能 否 再 简 化?有两个面互相平 行,其余各面都是平行 四边形,由这些面围成 的几何体一定是棱柱 吗? 准确认识。 1.观察、思考、动手操作,讨论 判定棱柱的标准——概念, 进而 通过改变棱柱放置的位置, 判断 是否符合棱柱定义的三个条件。 2. 思考、表达、讨论、交流,形 成认知冲突, 通过对概念的重新 研读形成正确认识。 3.通过实物模型的演示,发现这 样的几何体其实可以看做是两 个棱柱的组合,因此,不能称之 为棱柱。 这是本节课的难点,通过学 生的直观感知、操作确认, 帮助学生树立透过现象看本 质和实践是检验真理的唯一 标准的哲学观。通过问题 3 的探究进一步引导学生认识 数学概念的形成和完善过 程, 明确认识数学概念的 “最 简”特征。 概念的简化。 1.讨论、交流、质疑,描述棱柱 的主要结构特征; 2 .结合老师的启发, 描述棱柱的 概念, 体会数学概念发展过程和 由繁到简的数学思维模式。 此处是本节课的重点和难点 之一,讨论清楚棱柱的相关 概念和结构特征,则棱锥、 棱台可依样画葫芦,借助大 量棱柱模型和反例,让学生 在讨论和质疑中形成对棱柱 的准确认识,并建立基本的 认知框架。

棱柱 的 结构 特征

棱柱 概念 的再 认识

棱柱 的 分类 棱柱 的 研究

各种各样的棱柱,主要 有什么不同?怎么分 类? 研究棱柱的基本程序和 方法是什么?

引导学生重新研读棱柱的概念, 发现主要差别,进而分类。

回顾棱柱的主要结构特征, 发现 侧面都是平行四边形,底面各 异,进而分类。 回顾、思考,总结棱柱的研究方 棱柱是本节课的重点和难点 所在,也是本节课的研究范 本,通过总结研究方法,为 得到棱柱的分类标准。

引导学生总结研究方法。

法:观察(一类图形的特征)— —抽象 (共同特征) ——描述 (概

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方法
1 图中的多面体除了棱 柱还有哪些?

念和结构特征)——理解。

进一步研究其他几何体做好 准备。

小组 合作 学习 一

1.引导学生再次运用图形进行交 流,发现共同特征并讨论交流。 描述和理解概念。通过展示实物 模型, 引导学生发现棱台的概念。 观察、比较、分析、讨论,描述 特征,并在课堂进行交流。 2.指导学生小组合作讨论、交流, 棱锥和棱台的有关概念和结构 2.参照棱柱的学习过程, 请小组合作进行讨论, 并描述其概念和结构特 征。 这是我校校训“诚”的象征,是

已经建立了对多面体进行研 究的基本方法和研究体系, 通过小组合作学习,强化对 方法的理解,体会发现学习 带来的乐趣和成就感。

数学概念来源于生活但又不 课后测量、计算,通过实践体会 数学的实际应用以及和实际的 区别与联系。 完全与生活概念一致,通过 学生的实践,让学生体会数 学与生活的联系和区别,培 养学生应用数学的能力和动 手能力。

课外 实践
如图所示的几何体是棱 台吗? 图 13 是我们非常熟悉的 圆柱,请找出与它具有 相同结构特征的几何 体,并描述它的结构特

一个鼎,它是台状物,那它是我 们数学中的棱台吗?请大家课后 实地测量相关数据并计算,体会 数学与生活的联系和区别。

圆柱 的 结构 特征

通过对圆柱的研究,明确圆 引导学生结合引入时的展示描述 圆柱的形成过程,重点关注对旋 转轴的描述。 回顾、观察、描述圆柱的形成过 程和结构特征。 柱的概念和结构特征,展示 旋转体的研究思路,圆锥、 圆台和球的教学做方法铺 垫。

征。 1. 不全由平面围成的几 何体除了上述的圆柱和 圆锥外,还有哪些?它 们具有怎样的结构特 征?

小组 合作 学习 二

请学生描述圆锥的形成过程和结 构特征,并运用几何画板进行动 画演示,特别关注学生对旋转轴 的描述。 小组合作,描述圆锥、圆台、球 的形成过程和结构特征。

认识旋转体,通过旋转轴的 不同选择和变式理解,深化 对旋转体的认识。

2. 参照圆柱柱的学习过
程,请小组合作进行讨 论,并描述其概念和结 构特征。

柱体 锥体

棱柱、棱锥、棱台都是 多面体,它们在结构上

展示几何画板动画,引导学生观 察、思考,形成认识。

观察、思考、发现,描述三者之 间的关系。

引导学生建立知识之间的横 向联系,为后续研究空间几

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台体 的 联系

有哪些相同点和不同 点?圆柱、圆柱、圆台 呢? 棱柱和圆柱统称为柱 体,圆柱和棱柱在结构 引导学生回顾祖冲之计算圆周率 的方法,类比,尝试建立圆柱和 棱柱的横向联系。通过几何画板 动画演示加深学生认识。

何体的表面积和体积做铺 垫。

问题 探究

特征上有哪些类似之 处?可否通过某种手段 让底面是正多边形的棱 柱接近圆柱?

观察、类比,发现:当 n 无限变 大时, 圆柱的以正 n 边形为底的 内接棱柱无限接近圆柱。

从学生熟悉的圆周率计算开 始,运用类比的手段在多面 体和旋转体之间建立横向联 系,渗透简单的极限思想。

自主 小结

通过本节课的学习,你 对空间几何体有了哪些 新的认识?试做描述。

通过学生自己反思和小结, 引导学生一起回顾、讨论、描述、 回顾、反思、描述,完善对空间 总结。 几何体的初步认识。 让学生明确空间几何体的基 本结构和分类,掌握空间几 何体的简单结构特征。 1.1.1 空间几何体的结构

板 书 设 计

1.空间几何体: (1)多面体、旋转体、? (2)柱体、锥体、台体、球、? 2.多面体:棱柱、棱锥、棱台 3.旋转体:圆柱、圆锥、圆台、球

棱柱:1、6、16、19、30、32 (1)有两个面互相平行; (2)其余各面都是平行四边形; (3)每相邻两个四边形的公共边互相平行。

七、教学反思 1.第一次以活动的形式进行概念课的探究教学,总体来讲,活动的过程还是比较顺利的, 学生很配合,也能很快按照老师的预设分好组,在分组过程中,个别学生相对被动,但总体 上学生的讨论是积极、热烈的,效果也不错,说明这种形式学生还是认可和接受的,以后可 以进一步尝试。 2.棱柱的概念和结构特征是本节课的重点和难点所在,也花费了最多的时间,通过对相关 几何体图片的分析,请学生分析其共同特征,通过一定的简化给出棱柱的概念,在对概念的 理解过程中进一步引导学生思考能否进一步简化概念。通过这个过程,启发学生思考数学概 念的形成、发展和简化过程,体会数学概念的精确性,渗透数学思维和科学精神,总体来讲, 这个过程是令人满意的。期间有学生提出从运动变化的角度理解棱柱,这是我曾经考虑但最 终放弃的一个设计,能有学生自己提出,着实令人欣喜。 3.通过布置课外实践达到课内、课外的统一,也让学生体会数学源于生活、回归生活但不 完全等同于生活的数学生活化理念,引导学生在生活中留意数学的应用,并适时用数学的观 点解释生活,渗透数学应用的意识和能力。 4.本节课的教学存在容量大、概念多、重复性强的特点,通过学生活动和小组合作探究, 一定程度上解决了重复啰嗦的困惑,如何更好解决这个问题值得进一步思考。由于时间限制, 本节课对棱锥和旋转体的教学略显仓促,留给学生的探究时间不足,第 2 课时应适当予以补 充。 5.课堂语言不够精炼,一定程度上浪费了时间,影响了课堂教学的效率,应下功夫锻炼和 雕琢课堂语言的准确和精炼。

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附件:空间几何体的结构

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29 分 类 名 称 图片编号 几何模型

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31 结构特征 面

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