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湖南省长郡中学2014-2015学年高一数学上学期期末试卷(含解析)


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湖南省长沙市长郡中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (3 分)已知全集 U={﹣1,0,1,2,3,4},A={﹣1,0,2,4},则?

UA=() A. φ B. {0,2,4} C. {1,3} D. {﹣1,1,3}

2. (3 分)函数 f(x)= A. [1,2)∪(2,+∞) B. +∞)

的定义域为() (1,+∞) C. [1,2) D. [1,

3. (3 分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是() A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱 4. (3 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα =() A. B. C. ﹣ D. ﹣

5. (3 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增的是() A. f(x)= B. f(x)=x +1
2

C. f(x)=x

3

D. f(x)=2

﹣x

6. (3 分)函数 y=lg(﹣x +2x+8)的增区间为() A. (﹣∞,1] B. [1,+∞) C. (﹣2,1]

2

D. [1,4)

7. (3 分)下列各式中值等于 的是()

A. sin15°cos15°

B.

C. cos

2

﹣sin

2

D.

8. (3 分)下列向量中,可以作为基底的是() A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,﹣2) =(6,10) B. D. =(2,﹣3) , =(1,﹣2) , =(﹣ , ) =(5,7)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 9. (3 分)函数 A. (1,2) 的零点所在的大致区间是() B. (2,3) C. (3,4) D. (e,+∞)

10. (3 分)把函数 y=sin(2x+ 下列说法正确的是() A. f(x)的图象关于 y 轴对称 C. f(x)的图象关于直线 x=

)的图象向右平移

个单位得到函数 f(x)的图象,则

B. f(x)的图象关于原点对称 对称 D. f(x)的图象关于点( ,0)对称

11. (3 分)函数 f(x)=loga(2 +b﹣1) (a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满足的关 系是()

x

A. 0<a <b <1

﹣1

﹣1

B. 0<b <a<1

﹣1

C . 0<b<a <1

﹣1

D. 0<a <b<1

﹣1

12. (3 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为()

A. 4

π

B.

C. 4

π

D.

13. (3 分)已知 sinx+cosx= A. [﹣ C. [﹣ +kπ , +2kπ , +kπ ](k∈Z) +2kπ ](k∈Z)

,则 x 的取值范围是() B. [ D. [ +kπ , +2kπ , +kπ ](k∈Z) +2kπ ](k∈Z)

14. (3 分)现有某种细胞 1000 个,其中有占总数 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞 分裂成 2 个细胞,按这种规律发展下去,经过()小时,细胞总数可以超 过 10 个?(参考 数据:lg3=0.4771,lg2=0.3010) A. 39 B. 40 C. 41 D. 43
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15. (3 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x ﹣2a |﹣3a ) ,若? x∈R,f(x﹣1)≤f(x) ,则实数 a 的取值范围为() A. [﹣ , ] B. [﹣ , ] C. [﹣ , ] D. [﹣ , ]
2 2

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分,把答案填写在题中的横线上. 16. (3 分)求值:tan40°+tan20°+ tan40°?tan20°=. 17. (3 分)如图是一个几何体的三视图,该几何体的体积为.

18 . (3 分)如图,OA 为圆 C 的直径,有向线段 OB 与圆 C 交点 P,且 则 ? =.

=

.若|

|=



19. (3 分)已知函数 f(x)= f(﹣m)=.

+loga

(a>0 且 a≠1) ,且 f(m)=7(m≠0) ,则

20. (3 分)函数 y=f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x) 在[a, b]上的面积, 已知函数 y=sinnx 在 (3x﹣π )+1 在 上的面积为. 上的面积为 , 则函数 y=sin

三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分,要求写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 21. (8 分)已知函数 f(x)=3sin(2x+ (1)求函数 f(x)的最小正周期和初相; (2)若 f( )= ,α ∈( , ) ,求 cosα 的值. ) (x∈R) .

22. (8 分)已知 , , 是同一平面内的三个向量,其中 =(2,1) . (1)若| |=3 (2)若| |= ,且 ∠ ,求 的坐标; ,且 +2 与 2 ﹣ 垂直,求 与 的夹角 θ .

23. (8 分)如图(1) ,等腰梯形 OABC 的上、下底边长分别为 1、3,底角为∟COA=60°.记 该梯形内部位于直线 x=t(t>0)左侧部分的面积为 f(t) .试求 f(t)的解析式,并在如 图(2)给出的坐标系中画出函数 y=f(t)的图象.

24. (8 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (x∈R,ω >0,0<φ < 所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f( ﹣ )?f( + )的单调递增区间.

)的部分图象如图

25. (8 分)设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试判断函数 f(x)的单调性,并求使不等式 f(sin2θ +cos2θ )+f(1 ﹣tcosθ )<0 对所有的 θ ∈(0, )均成立的 t 的取值范围;

x

﹣x

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)若 f(1)= ,g(x)=a +a 求 m 的值.
2x ﹣2x

﹣2mf(x) ,且 g(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣1,

湖南省长沙市长郡中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (3 分)已知全集 U={﹣1,0,1,2,3,4},A={﹣1,0,2,4},则?UA=() A. φ B. {0,2,4} C. {1,3} D. {﹣1,1,3} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 U 及 A,求出 A 的补集即可. 解答: 解:∵全集 U={﹣1,0,1,2,3,4},A={﹣1,0,2,4}, ∴?UA={1,3}. 故选:C. 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.

2. (3 分)函数 f(x)= A. [1,2)∪(2,+∞) B. +∞)

的定义域为() (1,+∞) C. [1,2) D. [1,

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 利用分式分母不为零,偶次方根非负,得到不等式组,求解即可. 解答: 解:由题意 解得 x∈[1,2)∪(2,+∝)

故选 A 点评: 本题是基础题,考查函数定义域的求法,注意分母不为零,偶次方根非负,是解题 的关键. 3. (3 分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是() A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱 考点: 由三视图还原实物图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 直接从几何体的三视图:正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状,即可.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:圆柱的正视图为矩形, 故选:A 点评: 本题考查简单几何体的三视图,考查逻辑推理能力和空间想象力,是基础题. 4. (3 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα =() A. B. C. ﹣ D. ﹣

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值. 解答: 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα = = =﹣ , =5.

故选:D. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. 5. (3 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增的是() A. f(x)= B. f(x)=x +1
2

C. f(x)=x

3

D. f(x)=2

﹣x

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断, 判断函数是 偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增,得到本题结论. 解答: 解:选项 A, ,∵f(﹣x)= =f(x) ,∴f(x)是偶函

数,图象关于 y 轴对称. ﹣2 ∵f(x)=x ,﹣2<0,∴f(x)在(0,+∞)单调递减, ∴根据对称性知,f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递增; 适合题意. 2 选项 B,f(x)=x +1,是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,在区间(﹣∞,0)上单调递 减,不合题意. 3 选项 C,f(x)=x 是奇函数,不是偶函数,不合题意. ﹣x 选项 D,f(x)=2 在(﹣∞,+∞)单调递减,不是奇函数,也不是偶函数,不合题意. 故选 A. 点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性、 函数图象与性质, 本题难度不大, 属于基础题. 6. (3 分)函数 y=lg(﹣x +2x+8)的增区间为() A. (﹣∞,1] B. [1,+∞) C. (﹣2,1] 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用.
2

D. [1,4)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 令 t=﹣x +2x+8>0,求得函数的定义域为(﹣2,4) ,函数 y=lgt,本题即求函数 2 t=﹣(x﹣1) +9 在(﹣2,4)上的增区间.再利用二次函数的性质可得结论. 2 解答: 解: 令 t=﹣x +2x+8>0, 求得﹣2<x<4, 故函数的定义域为 (﹣2, 4) , 函数 y=lgt, 2 故本题即求函数 t=﹣(x﹣1) +9 在(﹣2,4)上的增区间. 再利用二次函数的性质可得函数 t 在(﹣2,4)上的增区间为(﹣2,1], 故选:C. 点评: 本题主要考查对数函数、二次函数的性质,复合函数的单调性,体现了转化的数学 思想,属于基础题.
2

7. (3 分)下列各式中值等于 的是()

A. sin15°cos15°

B.

C. cos

2

﹣sin

2

D.

考点: 二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用二倍角公式化简所给的各个式子的值,从而得出结论. 解答: 解:∵sin15°cos15°= sin30°= ,故排除 A.



=

= tan45°= ,故 B 满足条件.

∵cos

2

﹣sin

2

=cos

=

,故排除 C.



=cos

=

,故排除 D,

故选:B. 点评: 本题主要考查二倍角公式的应用,属于基础题. 8. (3 分)下列向量中,可以作为基底的是() A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,﹣2) =(6,10) B. D. =(2,﹣3) , =(1,﹣2) , =(﹣ , ) =(5,7)

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底, 判断各个徐昂项中的两个向量是否 共线,从而得出结论.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底,由于向量(1,2)和向量(5, 7)不共线, 故可以作为基底, 而其它选项中的 2 个向量的坐标对应成比例, 故其它选项中的 2 个向量是共线向量, 不能作 为基底, 故选:D. 点评: 题主要考查基地的定义,两个向量是否共线的判定方法,属于基础题.

9. (3 分)函数 A. (1,2)

的零点所在的大致区间是() B. (2,3) C. (3,4) D. (e,+∞)

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 f(2)?f(3)<0,再利用函数的零点的判定定理可得函数 的零点所在的大致区间. 解答: 解:∵函数 (2)?f(3)<0, 根据函数的零点的判定定理可得函数 的零点所在的大致区间是(2,3) , 满足 f(2)= >0,f(3)=1﹣ln3<0,∴f

故选 B. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.

10. (3 分)把函数 y=sin(2x+ 下列说法正确的是() A. f(x)的图象关于 y 轴对称 C. f(x)的图象关于直线 x=

)的图象向右平移

个单位得到函数 f(x)的图象,则

B. f(x)的图象关于原点对称 对称 D. f(x)的图象关于点( ,0)对称

考点: 函数 y=Asin(ω x +φ )的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性, 可得结论. 解答: 解:把函数 y=sin(2x+ ﹣ 令 x= )+ ]=sin(2x﹣ )的图象向右平移 个单位得到函数 f(x)=sin[2(x

) 的图象, 对称,

,可得函数 f(x)取得最大值为 1,故 f(x)的图象关于直线 x=

故选:C.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性, 属于基础题. 11. (3 分)函数 f(x)=loga(2 +b﹣1) (a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满足的关 系是()
x

A. 0<a <b <1

﹣1

﹣1

B. 0<b <a<1

﹣1

C. 0<b<a <1

﹣1

D. 0<a <b<1

﹣1

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于 a,b 的不等关系是解决本题的关 键.利用好图形中的标注的(0,﹣1)点.利用复合函数思想进行单调性的判断,进而判断 出底数与 1 的大小关系. x 解答: 解:∵函数 f(x)=loga(2 +b﹣1)是增函数, x x 令 t=2 +b﹣1,必有 t=2 +b﹣1>0, x t=2 +b﹣1 为增函数. ∴a>1,∴0< <1, ∵当 x=0 时,f(0)=logab<0, ∴0<b<1. 又∵f(0)=logab>﹣1=loga , ∴b> , ∴0<a <b<1. 故选:D. 点评: 本题考查对数函数的图象性质, 考查学生的识图能力. 考查学生的数形结合能力和 等价转化思想. 12. (3 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为()
﹣1

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. 4 π B. C. 4 π D.

考点: 球的体积和表面积;简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得: 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 求出其外接球的 半径,代入表面积公式,可得答案 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其四个顶点是以俯视图为底面,以 2 为高的三棱柱的四个顶点, 故其外接球,相当于一个长,宽,高分别均为 2 的正方体的外接球, 故外接球的半径 R= , 故球的体积 V= =4 ,

故选:A. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 13. (3 分)已知 sinx+cosx= A. [﹣ C. [﹣ +kπ , +2kπ , +kπ ](k∈Z) +2kπ ](k∈Z) ,则 x 的取值范围是() B. [ D. [ +kπ , +2kπ , +kπ ](k∈Z) +2kπ ](k∈Z)

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意可得 sinx+cosx≥0,即 解答: 解:∵sinx+cosx= ∴sinx+cosx≥0,即 ∴2kπ ≤x+ sin(x+ , )≥0, ≤x≤2kπ + ,k∈Z sin(x+ )≥0,解三角不等式可得.

≤2kπ +π ,解得 2kπ ﹣

故选:C 点评: 本题考查和差角的三角函数公式,属基础题.

14. (3 分)现有某种细胞 1000 个,其中有占总数 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞 分裂成 2 个细胞,按这种规律发展下去,经过()小时,细胞总数可以超过 10 个?(参考 数据:lg3=0.4771,lg2=0.3010) A. 39 B. 40 C. 41 D. 43 考点: 对数的运算性质.
10

10

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 现有细胞 1000 个,先求出经过 1、2、3、4 个小时后的细胞总数,得到细胞总数 y 与时间 x (小时) 之间的函数关系为 y=1000× ( ), 由 1000× ( )>10 , 得 x> 由此能求出经过 40 小时,细胞总数超过 10 个. 解答: 解:现有细胞 1000 个,先考虑经过 1、2、3、4 个小时后的细胞总数, 1 小时后,细胞总数为 ×1000+ ×1000×2= 2 小时后,细胞总数为 3 小时后,细胞总数为 4 小时后,细胞总数为 ×1000+ ×1000+ ×1000+ ,
10 x x 10



×1000×2= ×1000, ×1000×2= ×1000×2= ×1000, ×1000,

可见,细胞总数 y 与时间 x(小时)之间的函数关系为: y=1000×( ) ,x∈N
x 10 x *

由 1000×( ) >10 ,得( ) >10 ,两边取以 10 为底的对数, 得 xlg >7,∴x> ∵ = , ≈39.77,

x

7

∴x>39.77. 10 即经过 40 小时,细胞总数超过 10 个. 故选:B. 点评: 本题考查对数函数在生产生活中的具体应用,是中档题,解题时要认真审题,注意 挖掘数量间的等量关系,合理地建立方程.
2

15. (3 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x ﹣2a |﹣3a ) ,若? x∈R,f(x﹣1)≤f(x) ,则实数 a 的取值范围为() A. [﹣ , ] B. [﹣ , ] C. [﹣ , ] D. [﹣ , ]
2 2

考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的判断;函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 把 x≥0 时的 f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性可得 x<0 2 2 时的函数的最大值,由对? x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x) ,可得 2a ﹣(﹣4a )≤1,求解 该不等式得答案. 解答: 解:当 x≥0 时,

f(x)=



11

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 由 f(x)=x﹣3a ,x>2a ,得 f(x)>﹣a ; 2 2 2 当 a <x≤2a 时,f(x)=﹣a ; 2 2 由 f(x)=﹣x,0 ≤x≤a ,得 f(x)≥﹣a . ∴当 x>0 时, ∵函数 f(x)为奇函数, ∴当 x<0 时, . .
2 2 2

∵对? x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x) , ∴2a ﹣(﹣4a )≤1,解得: 故实数 a 的取值范围是 .
2 2



故选:B. 点评: 本题考查了恒成立问题,考查了函数奇偶性的性质,运用了数学转化思 想方法, 2 2 解答此题的关键是由对? x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x)得到不等式 2a ﹣(﹣4a )≤1,是 中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分,把答案填写在题中的横线上. 16. (3 分)求值:tan40°+tan20°+ tan40°?tan20°= . 考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由两角和的正切公式变形可得可得 tan40°+tan20°=tan(40°+20°) (1﹣ t an40°tan20°) ,代入要求的式子化简可得. 解答: 解:由两角和的正切公式可得 tan(40°+20°)= ,

∴tan40°+tan20°+ tan40°?tan20° =tan(40°+20°) (1﹣tan40°tan20°)+ tan40°?tan20° = (1﹣tan40°tan20°)+ tan40°?tan20° = . 故答案为: . 点评: 本题考查两角和与差的正切公式,正确变形是解决问题的关键,属基础题. 17. (3 分)如图是一个几何体的三视图,该几何体的体积为 3π .

考点: 由三视图求面积、体积.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 计算题. 2 分析: 由三视图知几何体是一个圆柱,圆柱的底面直径是 2,底面的面积是 π ×1 =π , 圆柱的高是 3,用底面积乘以高做出几何体的体积. 解答: 解:由三视图知几何体是一个圆柱, 2 圆柱的底面直径是 2,底面的面积是 π ×1 =π 圆柱的高是 3, ∴几何体的体积是 3π 故答案为:3π 点评: 本题考查由三视图还原几何体, 并且求几何体的体积, 本题解题的关键是看出几何 体的形状和各个部分的长度.

18. (3 分)如图,OA 为圆 C 的直径,有向线段 OB 与圆 C 交点 P,且 则 ? = .

=

.若|

|=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 连接 AP,可得 AP⊥OP,Rt△APO 中,AOcos∟AOP=OP,则有 ? = = 可求.

解答: 解:连接 AP,则可得,AP⊥OP, ∵ = ,| |= ,

Rt△APO 中,AOcos∟AOP=OP= ∴ ? = = =

故答案为: 点评: 本题主要考查了向量数量积的定义的应用, 解题的关键是锐角三角函数定义的灵活 应用.

19. (3 分)已知函数 f(x)= f(﹣m)=﹣5. 考点: 函数奇偶性的性质.

+loga

(a>0 且 a≠1) ,且 f(m)=7(m≠0) ,则

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 函数的性质及应用. 分析: 构造函数 g(x)=f(x)﹣2,得到 f(x)=﹣g(﹣x) ,代入即可得到 f(﹣m)的 值. 解答: 解:设 g(x)=f(x)﹣2= +loga ﹣2= +loga ,

∴g(﹣x)=

+loga

=﹣

﹣loga

=﹣f(x) ,

∴f(x)=﹣g(﹣x) ,g(x)=f(x)﹣2, ∴f(﹣m)=﹣g(m)=﹣f(m)+2=﹣7+2=﹣5, 故答案为:﹣5 点评: 本题考查了函数的奇偶性的应用,关键是构造函数 g(x)=f(x)﹣2,属于中档 题. 20. (3 分)函数 y=f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x) 在[a, b]上的面积, 已知函数 y=sinnx 在 (3x﹣π )+1 在 上的面积为 . 上的面积为 , 则函数 y=sin

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦函数的图象. 新定义. 根据三角函数的面积的定义,利用三角函数的关系即可得到所求函数的面积. 解:对于函数 y=sin3x 而言,n=3, ]上的面积为: , 得到 y=sin(3x﹣π )=sin3(x﹣ )的图象,此时 y=sin(3x﹣

∴函数 y=sin3x 在[0, 将 y=sin3x 向右平移 π )在

上的面积为 , 上

将 y=sin(3x﹣π )向上平移一个单位得到 y=sin(3x﹣π )+1,此时函数在 上的面积为 故答案为: . ,

14

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点评: 本题主要考查曲线面积的求法, 根据三角函数面积的定义以及三角函数的图象关系 是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分,要求写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤. 21. (8 分)已知函数 f(x)=3sin(2x+ (1)求函数 f(x)的最小正周期和初相; (2)若 f( )= ,α ∈( , ) ,求 cosα 的值. ) (x∈R) .

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)正弦函数 y=Asin(ω x+θ )的周期 T= (2)把 f( )= 代入函数解析式求得 sin(α + ,初相是 φ ; )= ,然后利用公式 sin α +cos α =1 )﹣ ],利用两角和
2 2

和 α 的取值范围得到 cos(α +

)=﹣ ,所以 cos=cos[(α +

与差的余弦将其展开,并代入相关数值进行求值即可. 解答: 解: (1)函数 f(x)的最小正周期 T= (2)由 f( 3sin(α + 又 α ∈( ∴α + )= ,得 )= ,则 sin(α + , ) , ,π ) , )=﹣ ) ﹣ ]=cos (α + ) cos +sin (α + ) sin =﹣ × + × = )= , =π ,初相 φ = ;

∈(

∴cos(α +

因此, cos=cos[ (α + ﹣ .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查了正弦函数的图象,熟记公式的解题的关键,难度不大,属于基础题.

22. (8 分)已知 , , 是同一平面内的三个向量,其中 =(2,1) . (1)若| |=3 (2)若| |= ,且 ∠ ,求 的坐标; ,且 +2 与 2 ﹣ 垂直,求 与 的夹角 θ .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)因为 ∠ ,所以设 = =(2λ ,λ ) ,再由| |=3 ,得到 λ .

(2) +2 与 2 ﹣ 垂直得到数量积为 0,求出 解答: 解: (1)因为| |=3 解得 λ =±3, 所以 =(6,3)或(﹣6,﹣3) ; (2)因为| |= ,且 +2 与 2 ﹣ 垂直,所以 ,且 ∠ ,设 =

,再由数量积公式求出向量的夹角 θ . =(2λ ,λ ) ,则 = =3 ,

( +2 )?(2 ﹣ )=0 即 2 解得 = …(10 分)

=0,∴2×5﹣2× ﹣3

=0,

所以 cosθ =

=﹣1,又 θ ∈[0,π ],所以 θ =π , 与 的夹角为 π .

点评: 本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用, 是基 础题.解题时要认真审题,仔细解答 23. (8 分)如图(1) ,等腰梯形 OABC 的上、下底边长分别为 1、3,底角为∟COA=60°.记 该梯形内部位于直线 x=t(t>0)左侧部分的面积为 f(t) .试求 f(t)的解析式,并在如 图(2)给出的坐标系中画出函数 y=f(t)的图象.

考点: 函数解析式的求解及常用方法.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 函数的性质及应用. 分析: 过 C、B 分别作 OA 的垂线,垂足分别为 D、E,设直线 x=t 与 x 轴的交点为 P, 讨论 P∈OD、DE、EA 以及 Ax 时,求出函数 f(t)的解析式,利用分段函数写出 f(t)的解 析式并画出函数的图象. 解答: 解:如图所示,过 C、B 分别作 OA 的垂线,垂足分别为 D、E, 设直线 x=t 与 x 轴的交点为 P, 则|OD|=|DE|=|EA|=1,|C D|=|BE|= ; 所以,①当 P∈OD,即 t∈(0,1]时, f(t)= ?t? t= t;
2

②当 P∈DE,即 t∈(1,2]时, f(t)= ?[(t﹣1)+t]? = (2t﹣1) ;

③当 P∈EA,即 t∈(2,3]时, f(t)= ?(1+3)? ﹣ ?(3﹣t) =
2

(﹣t +6t﹣5) ;

2

④当 P∈Ax,即 t∈(3,+∞)时, f(t)= ?(1+3)? =2 ;

综上,f(t)=



画出函数 f(t)的图象如图 2 所示.

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点评: 本题考查了求分段函数的解析式、画分段函数的图象的应用问题,是基础题目. 24. (8 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (x∈R,ω >0,0<φ < 所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f( ﹣ )?f( + )的单调递增区间.

)的部 分图象如图

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角函数的图象求出 A,ω 和 φ 的值即可求函数 f(x)的解析式; (2)求出 g(x)的表达式,利用三角函数的单调性即可求出单调递增区间. 解答: 解: (1)由图象知函数的周期 T=2( 即ω= =2, )=π ,

则 f(x)=Asin(2x+φ ) , ∵0<φ < , +φ =π , ) ,

∴由五点对应法知 2× 解得 φ =

,即 f(x)=Asin(2x+ = =1,

∵f(0)=Asin

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴A=2, 即函数 f(x)的解析式 f(x)=2sin(2x+ (2)g(x)=f( ﹣ (x+ ) cosx)=2sin x+2 ≤2kπ +
2

) ; + )?2sin(x+ + )=4sinxsin

)?f( +

)=2sin(x﹣

=4sinx( sinx+ 由 2kπ ﹣ ≤2x﹣

sinxcosx=1﹣cos2x+ ≤x≤kπ +

sin2x=2sin(2x﹣ ,k∈Z,

)+1,

,k∈Z 得 kπ ﹣ ,kπ +

即 g(x)的单调递增区间为[kπ ﹣

],k∈Z.

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出 A,ω 和 φ 的值是解决本题 的关键.综合考查三角函数的性质. 25. (8 分)设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试判断函数 f(x)的单调性,并求使不等式 f(sin2θ +cos2θ )+f(1 ﹣tcosθ )<0 对所有的 θ ∈(0, (2)若 f(1)= ,g(x)=a +a 求 m 的值. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) 由f (0) =0 求出 k 的值, 分离参数得到 t>2sinθ +2cosθ =2 根据三角形函数的性质即可求出 t 范围. (2)由 f(1)= ,可解得 a=2,于是可得 f(x)=2 ﹣2 ,g(x)=2 +2
x ﹣x 2 2 2 x ﹣x 2x ﹣2x 2x ﹣2x x ﹣x

)均成立的 t 的取值范围; ﹣2mf(x) ,且 g(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣1 ,

sin (θ +

) ,

﹣2m(2 ﹣2 ) ,

x

﹣x

令 t=2 ﹣2 ,则 g(x)=h(t)=t ﹣2mt+2=(t﹣m) +2﹣m ,t∈[ ,+∞) ,通过对 m 范围 的讨论,结合题意 h(t)min=﹣1,即可求得 m 的值 x ﹣x 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. ∴f(0)=0, ∴1﹣(k﹣1)=0, 解得 k=2, x ﹣x ∴f(x)=a ﹣a , ∵f(1)=a﹣ >0,且 a>0 且 a≠1, ∴a>1, ∴f(x)是定义域为 R 的奇函数且单调递增,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵f(sin2θ +cos2θ )+f(1﹣tcosθ )<0 对所有的 θ ∈(0, ∴sin2θ +cos2θ +1﹣tcosθ <0, 2 即 tcosθ >sin2θ +cos2θ +1=2sinθ cosθ +2cos θ , ∵θ ∈(0, ) , )均成立,

∴cosθ (0,1) , 则 t>2sinθ +2cosθ =2 又当 θ = 时,2 sin(θ + ) , ,

sin(θ +

)的最大值为 2

∴t>2 , ∴t 的取值范围为(2 ,+∞) ; x ﹣x (Ⅱ)由(1)知,f(x)=a ﹣a , ∵f(1)= , ∴a﹣ = ,解得 a=2. 故 f(x)=2 ﹣2 ,g(x)=2 +2 令 t=2 ﹣2 ,则 2 +2
2 x ﹣x 2x ﹣2x 2 x ﹣x 2x ﹣2x

﹣2m(2 ﹣2 ) ,

x

﹣x

=t +2,由 x∈[1,+∞) ,得 t∈[ ,+∞) ,
2 2

∴g(x)=h(t)=t ﹣2mt+2=(t﹣m) +2﹣m ,t∈[ ,+∞) , 当 m≥ 时,当 t=m 时,h(t)min=2﹣m =﹣1,解得 m= 当 m< 时,当 t= ,h(t)min=
2

,或 m=

(舍去) ,

﹣3m=1,解得 m= (舍去) .

综上,m 的值是 2 . 点评: 本题考查指数函数的综合应用,考查函数的奇偶性与单调性,函数恒成立的问题, 突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用,属于难题.

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