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2014年高三数学大一轮复习配套课件(浙江专用·人教版A)第八章 立体几何8.1


数学

浙(理)

§8.1 空间几何体的结构、 三视图和直观图
第八章 立体几何

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

1.多面体的结构特征 (1)棱柱的上下底面 平行 ,侧棱都
平行 且 长度相等 ,上底面和下

1.正

棱柱:侧棱垂直 于底面的棱柱叫 做直棱柱, 底面是 正多边形的直棱 柱叫做正棱柱. 反 之, 正棱柱的底面 是正多边形, 侧棱 垂直于底面, 侧面 是矩形.

底面是 全等 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面 是有一个 公共顶点 的三角形. (3)棱台可由 平行于棱锥底面 的平面 截棱锥得到,其上下底面的两个多 边形 相似 .
基础知识 题型分类
思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其 一边所在直线 旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其 一条直
难点正本 疑点清源

角边所在直线 旋转得到.
(3) 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在 直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋 转得到,也可由 平行于圆锥底面 的平 面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其 直径 旋转得到.
基础知识 题型分类

2.正棱锥:底面是正 多边形,顶点在底 面的射影是底面正 多边形的中心的棱 锥叫做正棱锥.特 别地,各棱均相等 的正三棱锥叫正四 面体.反过来,正 棱锥的底面是正多 边形,且顶点在底 面的射影是底面正 多边形的中心.
练出高分

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

3.空间几何体的三视图

2.正棱锥:底面是正 多边形,顶点在底 空间几何体的三视图是用 正投影 面的射影是底面正 多边形的中心的棱 得到, 这种投影下与投影面平行的平 锥叫做正棱锥.特 面图形留下的影子与平面图形的形 别地,各棱均相等 的正三棱锥叫正四 状和大小是 完全相同 的,三视图包 面体.反过来,正 正视图 俯视图 侧视图 括 、 、 . 棱锥的底面是正多 边形,且顶点在底 面的射影是底面正 多边形的中心.
题型分类
思想方法 练出高分

基础知识

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
3.三视图的长度特征: “长对正、宽相等, 高平齐”,即正视图 和侧视图一样高,正 视图和俯视图一样 长,侧视图和俯视图 一样宽.若相邻两物 体的表面相交,表面 的交线是它们的分界 线,在三视图中,要 注意实、 虚线的画法.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

4.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用 斜二测 画法,基本步骤: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、

y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时, 把它们画成对应的 x′轴、y′轴,两 轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′ = 45°(或135°) .

基础知识·自主学习
要点梳理
直观图中分别平行于
难点正本 疑点清源

(2)已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段,在 3.三视图的长度特征:

x′轴、y′轴 .

“长对正、宽相等, 高平齐 ”,即正视图 和侧视图一样高,正 视图和俯视图一样 长,侧视图和俯视图 一样宽.若相邻两物 体的表面相交,表面 的交线是它们的分界 线,在三视图中,要 注意实、 虚线的画法.
练出高分

(3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观 图中长度 保持不变 , 平行于 y 轴的线段, 长度变为 原来的一半 .

(4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应的 z′轴也垂直于 x′O′y′平面,已知图形中平行于 z 轴的 线 段 , 在 直 观 图 中 仍 平 行 于 z′ 轴 且 长 度 不变 .
基础知识 题型分类
思想方法

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2

答案
①②④ ①②③⑤
C C B

解析

3
4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
思维启迪 解析 答案

【例 1】设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱 柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体 是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必 交于一点. 其中真命题的序号是______.
基础知识 题型分类

探究提高

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
思维启迪 解析 答案

【例 1】设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱 柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体 是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必 交于一点. 其中真命题的序号是______.
基础知识 题型分类

探究提高

利用有关几何体的概念判断所给 命题的真假.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
思维启迪 解析 答案

【例 1】设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱 柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体 是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必 交于一点. 其中真命题的序号是______.
基础知识 题型分类

探究提高

命题①符合平行六面体的定义, 故 命题①是正确的.
底面是矩形的平行六面体的侧棱 可能与底面不垂直,故命题②是 错误的.

因为直四棱柱的底面不一定是平 行四边形,故命题③是错误的.

命题④由棱台的定义知是正确的.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
思维启迪 解析 答案

【例 1】设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱 柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体 是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必 交于一点.

探究提高

命题①符合平行六面体的定义, 故 命题①是正确的.
底面是矩形的平行六面体的侧棱 可能与底面不垂直,故命题②是 错误的.

因为直四棱柱的底面不一定是平 行四边形,故命题③是错误的.

①④ . 其中真命题的序号是______
基础知识 题型分类

命题④由棱台的定义知是正确的.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
思维启迪 解析 答案

【例 1】设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱 柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体 是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必 交于一点.

探究提高

解决该类题目需准确理解几何 体的定义,要真正把握几何体的 结构特征,并且学会通过反例对 概念进行辨析,即要说明一个命 题是错误的,设法举出一个反例 即可.

①④ . 其中真命题的序号是______
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 A.0
解析

( B ) C.2 D.3

B. 1

命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不

到圆锥.

命题②错,因这腰必须是垂直于两底的腰.
命题③对. 命题④错, 必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

几何体的三视图
如图,某几何体的正视
思维启迪 解析 答案

探究提高

图与侧视图都是边长为 1 的 1 正方形,且体积为 ,则该几 2 何体的俯视图可以是( )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

几何体的三视图
如图,某几何体的正视
思维启迪 解析 答案

探究提高

图与侧视图都是边长为 1 的 1 正方形,且体积为 ,则该几 2 何体的俯视图可以是( )

对于三视图的有关问题, 一定要 抓住“投影”这个关键词, 把握 几何体的形状.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

几何体的三视图
如图,某几何体的正视
思维启迪 解析 答案

探究提高

图与侧视图都是边长为 1 的 1 正方形,且体积为 ,则该几 2 何体的俯视图可以是( )

若该几何体的俯视图是选项 A,则

该几何体的体积为 1, 不满足题意; 若该几何体的俯视图是选项 B, 则 π 该几何体的体积为 , 不满足题意; 4 若该几何体的俯视图是选项 C,则 1 该几何体的体积为2,满足题意; 若该几何体的俯视图是选项 D, 则 π 该几何体的体积为 4 ,不满足题 意.故选 C.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

几何体的三视图
如图,某几何体的正视
思维启迪 解析

答案

探究提高

图与侧视图都是边长为 1 的 1 正方形,且体积为 ,则该几 2 何体的俯视图可以是( C )

若该几何体的俯视图是选项 A,则

该几何体的体积为 1, 不满足题意; 若该几何体的俯视图是选项 B, 则 π 该几何体的体积为 , 不满足题意; 4 若该几何体的俯视图是选项 C, 则 1 该几何体的体积为 ,满足题意; 2 若该几何体的俯视图是选项 D, 则 π 该几何体的体积为 ,不满足题 4 意.故选 C.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

几何体的三视图
如图,某几何体的正视
思维启迪 解析 答案

探究提高

图与侧视图都是边长为 1 的 1 正方形,且体积为 ,则该几 2 何体的俯视图可以是( C )

对于几何体的三视图,要注意以 下几点: ①三视图的排放位置. 正视图、侧视图分别放在左、右 两边, 俯视图放在正视图的下边. ②注意实虚线的区别. ③画三视图的规则:长对正,宽 平齐,高相等.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 一个长方体去掉一个小长方体, 所得几何体的正视 图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为 ( C )

解析

由三视图中的正、侧视图得到几何体的直

观图如图所示,所以该几何体的俯视图为 C.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

空间几何体的直观图
已知△ABC 的直观图
思维启迪 解析

探究提高

A′B′C′是边长为 a 的正三 角形,求原△ABC 的面积.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

空间几何体的直观图
已知△ABC 的直观图
思维启迪 解析

探究提高

A′B′C′是边长为 a 的正三 角形,求原△ABC 的面积.

按照直观图的画法,建立适当的坐 标系将三角形 A′B′C′还原, 并 利用平面几何的知识求出相应的线 段、角,求解时要注意线段和角的 变化规律.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

空间几何体的直观图
已知△ABC 的直观图
思维启迪 解析

探究提高

A′B′C′是边长为 a 的正三 角形,求原△ABC 的面积.

解 建立如图所示的 坐 标 系 xOy′ , △A′B′C′ 的 顶 点 C′ 在 y′ 轴 上 , A′B′边在 x 轴上,

把 y′轴绕原点逆时针旋转 45° 得y 轴,在 y 轴上取点 C 使 OC = 2OC′,A、B 点即为 A′、B′点, 长度不变.
已 知 A′B′ = A′C′ = a , 在 △OA′C′中,
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

空间几何体的直观图
已知△ABC 的直观图
思维启迪 解析

探究提高

A′B′C′是边长为 a 的正三 角形,求原△ABC 的面积.

OC′ 由正弦定理得 = sin∠OA′C′ A′C′ , sin 45°

sin 120° 6 所以 OC′= sin 45°a= 2 a,
所以原三角形 ABC 的高 OC= 6a, 1 6 2 所以 S△ABC=2×a× 6a= 2 a .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

空间几何体的直观图
已知△ABC 的直观图
思维启迪 解析

探究提高

A′B′C′是边长为 a 的正三 角形,求原△ABC 的面积.

对于直观图,除了了解斜二测画 法的规则外,还要了解原图形面 积 S 与其直观图面积 S′之间的 2 关系 S′= S,并能进行相关问 4 题的计算.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 正三角形 AOB 的边长为 a, 建立如 图所示的直角坐标系 xOy, 则它的直观图的面积 6 2 a 16 是________.
3 2 解析 正三角形 AOB 的面积为 4 a ,其直观图的面积为原图 2 2 3 2 6 2 形面积的 4 倍,故它的直观图的面积等于 4 · 4 a = 16 a .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 9.三视图识图不准确致误
典例:(4 分)一个空间几何体的三视图,如图所示,则这个 空间几何体的表面积是________.

易 错 分 析

审 题 视 角

解 析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 9.三视图识图不准确致误
典例:(4 分)一个空间几何体的三视图,如图所示,则这个 空间几何体的表面积是________.

易 错 分 析

审 题 视 角

解 析

温 馨 提 醒

不能把三视图反映出的空间几何体的形状、大小准确的还原出来.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 9.三视图识图不准确致误
典例:(4 分)一个空间几何体的三视图,如图所示,则这个 空间几何体的表面积是________.

易 错 分 析

审 题 视 角

解 析

温 馨 提 醒

由三视图还原成直观图或几何体,要注意几何体的不同放置;结合 三视图的规则综合考虑,正确得到原几何体.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 9.三视图识图不准确致误
典例:(4 分)一个空间几何体的三视图,如图所示,则这个

4π+4 . 空间几何体的表面积是________

易 错 分 析

审 题 视 角

解 析

温 馨 提 醒

这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体,其表面积是圆柱 的上下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面 ?1? 1 1 2 积之和,故这个表面积是 2× ×π×1 + ×2π×1×2+2×2+4π×?2?2 2 2 ? ? =4π+4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 9.三视图识图不准确致误
典例:(4 分)一个空间几何体的三视图,如图所示,则这个

4π+4 . 空间几何体的表面积是________

易 错 分 析

审 题 视 角

解 析

温 馨 提 醒

在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根 据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮 廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图 和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问题往往转 化到一个三角形中进行解决.

方 法 与 技 巧

2.旋转体要抓住“旋转”特点,弄清底面、侧面及展开图 形状.
3.三视图画法:(1)实虚线的画法:分界线和可见轮廓线 用实线,看不见的轮廓线用虚线; (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”.

4.直观图画法:平行性、长度两个要素.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与

失 误 与 防 范

底面平行.
2.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.

3.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图;也能 够由空间几何体的直观图得到它的三视图,提升空 间想象能力.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.给出四个命题: ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;②对角面是 全等矩形的六面体一定是长方体;③有两侧面垂直于底面的 棱柱一定是直棱柱;④长方体一定是正四棱柱. 其中正确的命题个数是 A.0 B. 1 C.2 D.3 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.给出四个命题: ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;②对角面是 全等矩形的六面体一定是长方体;③有两侧面垂直于底面的 棱柱一定是直棱柱;④长方体一定是正四棱柱. 其中正确的命题个数是 A.0 B. 1 C.2 D.3 ( A )

解 析
反例:①直平行六面体底面是菱形,满足条件但不是正 棱柱;②底面是等腰梯形的直棱柱,满足条件但不是长 方体;③④显然错误,故选 A.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那 么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 ( )

解 析

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那 么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 ( )

解 析
考虑选项中几何体的三视图的形状、大小,分析可得.
球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等, 首先排除选项 A 和 C.

对于如图所示三棱锥 O-ABC,

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练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那 么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 ( D )

解 析
当 OA、OB、OC 两两垂直且 OA=OB=OC 时,
其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项 B.

不论圆柱如何设置,其三视图的形状都不会完全相同,
故答案选 D.

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3. (2011· 课标全国)在一个几何体的三视图中, 正视图 和俯视图如图所示, 则相应的侧视图可以为( )

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3. (2011· 课标全国)在一个几何体的三视图中, 正视图 和俯视图如图所示, 则相应的侧视图可以为( D )

解 析
由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体的底面为半圆 和等腰三角形,其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边 上的高构成的平面图形,故应选 D.
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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.如图是一个物体的三视图,则此三视图所 描述物体的直观图是 ( )

解 析

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.如图是一个物体的三视图,则此三视图所 描述物体的直观图是 ( D )

解 析
由俯视图可知是 B 和 D 中的一个,由正视图和侧视 图可知 B 错.

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形, 原三角形的面积为________.

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形, 6 原三角形的面积为________ . 2

解 析
由斜二测画法,知直观图是边长为 1 的正三角形, 其原图是一个底为 1, 高为 6的三角形, 所以原三角 6 形的面积为 . 2

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练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.如图所示, E、 F 分别为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 ADD1A1 、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面 DCC1D1 上的投影是 ________.(填序号)

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.如图所示, E、 F 分别为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 ADD1A1 、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面 DCC1D1 上的投影是

② ________ .(填序号)

解 析
四边形在面 DCC1D1 上的投影为②,B 在面 DCC1D1 上的投 影为 C, F、 E 在面 DCC1D1 上的投影应在边 CC1 与 DD1 上, 而不在四边形的内部,故①③④错误.
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思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7 .图中的三个直角三角形是一 个体积为 20 cm 的几何体的 三视图,则 h=________cm.
3

解 析

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7 .图中的三个直角三角形是一 个体积为 20 cm 的几何体的
3

解 析

4 三视图,则 h=________cm.

如图是三视图对应的直观图, 这是 一个三棱锥, 其中 SA⊥平面 ABC, BA⊥AC.

1 1 1 由于 V=3S△ABC· h=3×2×5×6×h =5h,∴5h=20,∴h=4.

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8. (10 分)一个几何体的三视图及 其相关数据如图所示,求这个 几何体的表面积.

解 析

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8. (10 分)一个几何体的三视图及

解 析



这个几何体是

其相关数据如图所示,求这个 一个圆台被轴截面割出来的一半. 几何体的表面积. 根据图中数据可知圆台的上底面半
径为 1,下底面半径为 2,高为 3, 母线长为 2, 几何体的表面积是两个 半圆的面积、 圆台侧面积的一半和轴 截面的面积之和, 故这个几何体的表 1 1 1 2 2 面积为 S=2π×1 +2π×2 +2π× 1 11π (1 + 2)×2 + 2 ×(2 + 4)× 3 = 2 + 3 3.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9. (12 分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为 30 cm 和 20 cm, 且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9. (12 分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为 30 cm 和 20 cm, 且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.

解 析



如图所示, 正三棱台 ABC—A1B1C1

中,O、O1 分别为两底面中心,D、D1 分别为 BC 和 B1C1 的中点,则 DD1 为棱台的斜高.

10 3 由题意知 A1B1=20,AB=30,则 OD=5 3,O1D1= 3 , 1 3 由 S 侧=S 上+S 下,得 ×(20+30)×3DD1= ×(202+302), 2 4 13 解得 DD1= 3 3, 2 在直角梯形 O1ODD1 中,O1O= DD2 - ? OD - O D ? 1 1 1 =4 3,

所以棱台的高为 4 3 cm.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

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1

B组

专项能力提升
7

2 3 4 6 5 1.(2011· 山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形,给定

下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视 图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如 右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其 中真命题的个数是 A.3 B. 2 C.1 ( D.0 )

解 析

基础知识

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1

B组

专项能力提升
7

2 3 4 6 5 1.(2011· 山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形,给定

下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视 图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如 右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其 中真命题的个数是 A.3 B. 2 C.1 ( A ) D.0

解 析
底面是等腰直角三角形的三棱柱,当它的一个矩形侧面放置在水 平面上时, 它的正视图和俯视图可以是全等的矩形, 因此①正确; 若长方体的高和宽相等,则存在满足题意的两个相等的矩形,因 此②正确;当圆柱侧放时(即侧视图为圆时),它的正视图和俯视 图可以是全等的矩形,因此③正确.
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1 2

B组
3

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4 5 6 7

2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视 图、侧视图如图所示,则其俯视图为 ( )

解 析

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1 2

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4 5 6 7

2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视 图、侧视图如图所示,则其俯视图为 ( C )

解 析
依题意可知该几何体的直观图如图所示, 故其俯视图应为 C.
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1 2

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4 5 6 7

3.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,过对角线 BD1 的 一个平面交 AA1 于 E,交 CC1 于 F,得四边形 BFD1E,给出 下列结论: ①四边形 BFD1E 有可能为梯形; ②四边形 BFD1E 有可能为菱形; ③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D; 6 ⑤四边形 BFD1E 面积的最小值为 . 2 其中正确的是 A.①②③④
基础知识

( B.②③④⑤
题型分类

)

C.①③④⑤
思想方法

D.①②④⑤
练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
四边形 BFD1E 为平行四边形,①显然不成立,当 E、F 分别 为 AA1、CC1 的中点时,②④成立,四边形 BFD1E 在底面的 投影恒为正方形 ABCD.当 E、F 分别为 AA1、CC1 的中点时, 6 四边形 BFD1E 的面积最小,最小值为 . 2
答案 B

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1 2

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3

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4 5 6 7

4.在如图所示的直观图中, 四边形 O′A′B′C′为 菱形且边长为 2 cm,则在 xOy 坐标系中,四边形 ABCO 为________,面积为________ cm2.

解 析

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1 2

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4.在如图所示的直观图中, 四边形 O′A′B′C′为 菱形且边长为 2 cm,则在 xOy 坐标系中,四边形

矩形 ,面积为________ 8 ABCO 为________ 解 析

cm2.

由斜二测画法的特点,知该平面图形的直观图的原图,即在 xOy 坐标系中,四边形 ABCO 是一个长为 4 cm,宽为 2 cm 的矩形,所以四边形 ABCO 的面积为 8 cm2.

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1 2

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3

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4 5 6 7

5.用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒 的高是________.

解 析

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1 2

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4 5 6 7

5.用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒 3 的高是________ 2r .

解 析
由题意可知卷成的圆锥的母线长为 r, 设卷成的圆锥的底面 1 半径为 r′,则 2πr′=πr,所以 r′= r, 2

所以圆锥的高 h=

r

2

?1 ? -?2r?2= ? ?

3 2 r.

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专项能力提升
7

1 2 3 4 6 5 6.如图, 点 O 为正方体 ABCD—A′B′C′D′的中心,

点 E 为面 B′BCC′的中心, 点 F 为 B′C′的中点, 则空间四边形 D′OEF 在该正方体的各个面上的投 影可能是________(填出所有可能的序号).

解 析

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专项能力提升
7

1 2 3 4 6 5 6.如图, 点 O 为正方体 ABCD—A′B′C′D′的中心,

点 E 为面 B′BCC′的中心, 点 F 为 B′C′的中点, 则空间四边形 D′OEF 在该正方体的各个面上的投

①②③ 填出所有可能的序号). 影可能是________(

解 析
空间四边形 D′OEF 在正方体的面 DCC′D′上的投影 是①;在面 BCC′B′上的投影是②;在面 ABCD 上的 投影是③,故填①②③.
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4 5 6 7

7.(13 分)已知正三棱锥 V—ABC 的正视图、 侧视图和俯视图如图所示. (1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积.

解 析

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1 2

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3

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4 5 6 7

7.(13 分)已知正三棱锥 V—ABC 的正视图、 侧视图和俯视图如图所示. (1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积.

解 析
解 (1)直观图如图所示:

(2)根据三视图间的关系可得 BC=2 3,
∴侧视图中 VA= 4
2

?2 -? ?3× ?

? 3 ? ×2 3?2=2 3, 2 ?

1 ∴S△VBC=2×2 3×2 3=6.
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