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广西南宁二中2011届高三10月月考数学理试题

时间:2010-10-14


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广西南宁二中 2011 届高三年级 10 月月考

数学试题(理科)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)P(B)<

br />
S = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式
4 V球 = πR 3 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k
次的概率 Pn ( k ) = C n P (1 P )
k k nk

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.定义 A B = {x | x ∈ A且x B}, 若M = {1, 2,3, 4,5}, N = {2,3, 6}, 则N M = ( A.M 2.复数 B.N C.{1,4,5} D.{6} ( ) )

2i 1 + 3i
3 2

的虚部是

A.

B.

1 2

C.

1 2

D.

3 2

3.P :{an } 是等比数列 q为{an } 的公比) Q : {an } 的前 n 项和为 sn = ( ; 且P是Q的 A.充分不必要条件 C.充要条件

a1 (1 q n ) 且a1 q ≠ 0 , 1 q
( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.下列命题中正确的是 ( ) A.平行于同一平面的两条直线必平行 B.垂直于同一平面的两个平面必平行 C.一条直线至多与两条异面直线中的一条平行 D.一条直线至多与两条相交直线中的一条垂直 5.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,现将这 4 人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不 种。 ( ) 能相邻,则不同的排法共有
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A.4 6.若 sin 2α =

B.6

C.8

D.16 ( )

2 , 则 sin 4 α + cos 4 α 的值是 2
B.
n

A.

1 2

3 5

C.

2 2 2

D.

3 4
( )

1 7.若 3 x 的展开式各项系数和为 64,则展开式中的常项数为 x
A.-540 B.-162 C.162 D.540

8.若函数 f ( x ) 存在反函数 f 1 ( x ) ,且函数 f ( x ) 图象在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为

2 x y + 1 = 0 ,则函数 f 1 ( x) 的图象在点 ( f ( x0 ), x0 ) 处的切线方程为
A. 2 x y + 1 = 0 C. x 2 y + 1 = 0 B. x 2 y 1 = 0 D. 2 x + y 1 = 0





9 . 已 知 A( 3, 0), B (0, 3) , O 为 坐 标 原 点 , 点 C 在 ∠AOB 内 , 且 ∠AOC = 60° , 设

uuur uuu uuu r r OC = λ OA + OB (λ ∈ R ) ,则 λ 等于
A.





3 3 1 3

B. 3

C.

D.3

10 . 已 知 f ( x ) 为 偶 函 数 , 且 f (2 + x ) = f (2 x ), 当 2 ≤ x ≤ 0时, f ( x ) = 2 x 若

n ∈ N * , an = f (n), 则a2011 =
A.2011 B.-2011 C.





1 2

D.

1 4

11.设双曲线

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F,右准线 l 与两条渐近线交于 P,Q 两点, a2 b2
( )

如果 PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率为

A.2

B. 3

C. 2

D.

3 3

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12.如果关于 x 的方程 ax + A. {a | a ≤ 0} C. {a | a ≥ 0}

1 = 3 正实数解有且仅有一个,那么实数 a 的取值范围为( x2
B. {a | a ≤ 0或a = 2} D. {a | a ≥ 0或a = 2}



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.函数 y = 2 sin x的图象按向量a 平移后得到的图象解析式为 y = 2 sin( x +

r

π
3

) 1 ,则平

r
移向量 a 的坐标为 。

x y + 5 ≥ 0 14.若实数 x、y 满足 x 3 ≤ 0 且z = 2 x + 4 y 的最小值为—6,则 k= x + y k ≥ 0



15.已知△ABC 的三个顶点在同一球面上,若∠BAC=90°,AB=AC=2,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则该球的半径为 。 16.已知 F1 ( 2, 0), F2 (2, 0) 为焦点的椭圆与直线 x + 3 y + 4 = 0 有且仅有一个交点,则椭圆 的长轴长为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演处步骤。 17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,内角 A、B、C 对边长分别是 a,b,c,已知 c = 2, C = (I)若△ABC 的面积等于 3, 求a, b ; (II)若 sin C + sin( B A) = 2sin 2 A, 求ABC 的面积。

π
3

18. (本小题满分 12 分) 某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序考核,一旦考核
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合格就不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核,若小张参加每次考核合格的概率

1 1 的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过 ,且他直到参 8 2 9 加第二次考核才合格的概率为 32
依次组成一个公差为 (I)求小张第一次参加考核就合格的概率 P1; (Ⅱ)求小张参加考核的次数 ξ 和分布列和数学期望值 Eξ .

19.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB⊥BC,P 为 A1C1 的中点,AB=BC=kPA。 (I)当 k=1 时,求证 PA⊥B1C; (II)当 k 为何值时,直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 —B 的余弦值。

1 ,并求此时二面角 A—PC 4

20.已知函数 f ( x ) = e x(e 是自然数对数的底数)
x

(1)求 f ( x ) 的最小值; (2)不等式 f ( x ) > ax 的解集为 P,若 M = x | 取值范围。



1 ≤ x ≤ 2 , 且M ∩ P = φ ,求实数 a 的 2

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21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 π + 2 = 1 的右准线是 x = 1 ,倾斜角为 α = 的直线l 交椭圆于 A、B 两点, 2 4 a b
1 1 , ) 2 4
2 2

AB 的中点为 M (

(I)求椭圆的方程; (II) P、 是椭圆上满足 | OP | + | OQ | = 若 Q 求证: | kOP kOQ | 是定值。

3 的点, 若直线 OP、 的斜率分别为 kOP , kOQ , OQ 4

22. (本小题满分 12 分) 设数列 {a n },{bn } 满足:

a1 = b1 = 1, an +1 + n, bn +1 = an + (1) n (n ∈ N * ).
(Ⅰ)求 a3 , a5 的值; (Ⅱ)设数列 {an } 通项公式 an ; (Ⅲ)求证:

1 1 1 1 13 + + +L + < . a1 a2 a3 a2 n 4

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参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 60 分) 1—6DBBCCD 7—12 ABCCCB 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ( ,1)

1 3

14.0

15. 3

16. 2 7

三、解答题(本大题共 6 小题) 17.解: (I)由余弦定理及已知条件 a + b ab
2 2

1 = 4, ab sin C = 3 ab = 4 2
联立方程组

a 2 + b 2 ab = 4, ab = 4,
…………4 分

解得 a = 2, b = 2. (II)由题意乔

sin( B + A) + sin( B A) = 4 sin A cos A,

即 sin B cos A = 2 sin A cos A, 当 cos A = 0时, A =

π
2

,B =

π
6

,a =

4 3 2 3 ; ,b = 3 3

当 cos A ≠ 0时,得 sin B = 2 sin A, 由正弦定理得 b = 2a,

a 2 + b 2 ab = 4, 联立方程组 b = 2a,
解得 a =

2 3 4 3 ,b = . 3 3

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所以 ABC的面积S =

1 2 3 ab sin C = . …………10 分 2 3
1 8 9 , 32

18.解: (I)由题意得 (1 p1 )( p1 + ) =

1 5 或 . 4 8 1 5 Q p1 > ,∴ p1 = . 2 8 ∴ p1 =

…………4 分

(II)由(I)知小张 4 次考核每次合格的概率依次为

5 3 7 5 9 , , ,1 ,所以 P (ξ = 1) = , P (ξ = 2) = , 8 4 8 8 32

5 3 7 21 P(ξ = 3) == (1 )(1 ) × = , 8 4 8 256 5 3 7 3 P(ξ = 4) = (1 )(1 )(1 ) × 1 = , 8 4 8 256
所以 ξ 的分布列为

ξ
P

1

2

3

4

5 9 21 3 8 32 256 256 5 9 21 3 379 ∴ Eξ = 1 × + 2 × + 3 × + 4× = . …………12 分 8 32 256 256 256
19. (方法一) (I)连接 B1P,因为在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,P 为 A1C1 的中点, AB=BC,所以 B1P⊥面 A1C。 所以 B1P⊥AP。 又因为当 k=1 时, AB=BC=PA=PC,

∴ ∠ABC = ∠APC = 90°
∴AP⊥PC。 ∴AP⊥平面 B1PC, ∴PA⊥B1C。 (II)取线段 AC 中点 M,线段 BC 中点 N, 连接 MN、MC1、NC1, 则 MN//AB,∵AB⊥平面 B1C,∴MN⊥平面 B1C,

Q ∠MC1 N 是直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角,
∴ sin ∠MC1 N = 1 MN MN 1 ,即 = = , 4 MC1 AP 4

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设 AB=a,Q MN =

1 AB, AB = kPA, 2

1 a 2 = 1 ,∴ k = 1 ∴ a 4 2 k 1 1 即 k = 时,直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 . 2 4
此时,过点 M 作 MH,垂足为 H,连接 BH,

Q BM ⊥ 平面A1C ,
由三垂线定理得 BH⊥PC, 所以 ∠BHM 是二面角 A—PC—B 的平面角。 设 AB=2,则 BC=2,PA=-4, AC = 2 2 , AM = A1 P = 在直角三角形中 AA1P 中

2,

AA1 =

AP 2 A1 P 2 = 14 ,

连接 MP,在直角三角形中 由 MC MP = PC HM得MH = 又由 BM = 解得 BH =

7 , 2

2 ,在直角三角形中 BMH 中,
15 , 2

在直角三角形 BMH 中

MH cos ∠MHB = = BH

7 2 = 105 . 15 15 2 105 . 15

所以二面角 A—PC—B 的余弦值是

(方法一) 以点 B 为坐标原点,分别以直线 BA、BC、BB1 为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系 Oxyz, (I)设 AB=2,则 AB=BC=PA=2 根据题意得: A( 2,0,0), C (0),2,0, B1 (0,0, 2 ), P (1,1, 2 ) 所以 AP = ( 1,1, 2 ), B1C = (0,2, 2 )

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Q AP B1C = 0 + 2 2 = 0, ∴ PA ⊥ B1C
(II)设 AB=2,则 AP =

2 , k

根据题意:A(2,0,0) ,C(0,2,0) 又因为 A1 P = 所以 AA1 =

1 A1C1 = 2 , 2

AP 2 A1 P 2 =
4 2) k2

4 2 , k2

∴ B1 (0,0, ∴ P(1,1,

4 2) k2

4 2) k2 Q AB ⊥ 平面B1C AP = (1,1,
所以由题意得 | cos < AP, AB >|=

1 4 = 1 , 4

即|

AP AB | AP | AB

|=

1 ,即 4

2 1+1+ 4 22 k2

1 Q k > 0, 解得 . 2 1 1 即 k = 时,直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 . 2 4

∴ B1 P ⊥ APC.
∴ 平面APC 的法向量 B1 P = (1, , ) 00
设平面 BPC 的一个法向量为

n = ( x, y, z ),Q BC = (0,2,0), BP(1,1, 14 )


BC n = 0 BP n = 0

,得

2 y = 0 x + y + 14 z = 0 n B1 P | n || B1 P | |=|



∴ cos < n, B1 P >=|

14 15 × 2

|=

105 15

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所以此时二面角 A—PC—B 的余弦值是 20. 分)解: (12 (I) f ' ( x) = e x 1 f ' ( x) = 1得x = 0 由

105 . 15

当 x > 0时,f ' ( x) > 0, 当x < 0时, f ' ( x) < 0 , 故 f ( x)在( ∞,+∞) 连续, 故 f min ( x) = f (0) = 1 (II)Q M I P ≠ φ , 即不等式 f ( x ) > ax 在区间 [ ,2] 有解 …………4 分

1 2

f ( x) > ax可化为(a + 1) x < e x ex 1 ∴ g ( x) = 1, x ∈ [ ,2] x 2 a< ex 1 1 在区间 [ ,2]a < g max ( x) x 2

Q g ' ( x) =

( x 1)e x 1 故g ( x)在区间[ ,1] 递减, 2 2 x
…………8 分

在区间[1,2]递增

1 g( ) = 2 e 1 2 1 2 1 又 g ( 2) = e 1, 且g ( 2) f g ( ) 2 2 1 2 ∴ g max = ( x) = g (2) = e 1 2 1 2 所以,实数 a 的取值范围为 (∞, e 1) …………12 分 2 π 1 1 21.解: (I)由于直线 AB 的倾斜角为 且过点 M ( , ) , 4 2 4 3 所以直线的方程为 y = x + . 4
代入椭圆方程,整理得 (b + a ) x +
2 2 2

3 2 9a 2 a x+ a 2b 2 = 0 , 2 16

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x1 + x 2 1 3 a2 1 = × ( ) × 2 = , 2 2 2 2 b +a 2
即 a = 2b .
2 2



a2 = 1 ,联立 a 2 = b 2 + c 2 , c
2

求得 a =

1 2 1 ,b = . 2 4
2 2

所以椭圆方程为 2 x + 4 y = 1. …………6 分
2 2 (II)设 P ( x3 , y 3 ), Q ( x 4 , y 4 ) 都在椭圆 2 x + 4 y = 1 上,

由 | OP | + | OQ | =
2 2

3 2 2 2 2 得x 3 + y 3 + x 4 + y 4 = 4

1 2 1 2 (1 2 x3 ) (1 2 x 4 ) 2 2 2 2 1 1 2( x 3 + x 4 ) + 4 x 3 x 4 4 4 = 2 2 2 2 4 x3 x 4 x3 x 4 1 = . …………12 分 2
22. 分) (12

Q bn+1 = a n + (1), ∴当n ≥ 2时, bn = a n 1 + (1) n1 ,
代入 a n +1 = bn + n, 得a n +1 = a n 1 + ( 1)
n`

+ n.
…………2 分

(I) a 3 = a1 1 + 2 = 2, a 5 = a3 1 + 4 = 5, (II)由(I)知 a 3 = a1 + 1,

a 5 = a3 + 3
……

a 2 n 1 = a 2 n3 + (2n 3), ∴ a 2 n 1 = a 2 + (n 1)(1 + 2n 3) = n 2 2 n + 2. 2

同理 a 4 = a 2 + 4

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a 6 = a 4 + 6,
L

a 2 n = a 2 m 2 + 2 n, ∴ a2n = a2 + (n 1)(4 + 2n) . 2 又a 2 = b1 + 1 = 2,∴ a 2 n = n 2 + n.

故a 2 n 1 = n 2 2n + 2, a 2 n = n 2 + n.
…………6 分 (III) (理科)当 n ≥ 3时,a 2 n 1 = n 2n + 2 > n 2n,
2 2

∴ ∴

1 a 2 n 1

<

1 1 1 ( ), 2 n2 n

1 1 1 1 < ( ), a5 2 1 3

1 1 1 1 < ( ), a7 2 2 4

1 1 1 1 < ( ), a9 2 3 5 LL 1 1 1 1 = = Q a 2 n n(n + 1) n n + 1 ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +L + = 1 + +L = 1 <1 a2 a4 a 2n 2 2 3 n n +1 n +1
1 1 1 1 1 1 3 13 + + +L + < + + 1 + = …………12 分 a1 a 2 a 3 a 2 n a1 a3 4 4



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