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高中数学竞赛教程:第04讲 集合的概念与运算


第 4 讲 集合的概念与运算
本讲内容包括集合及其性质(集合的元素满足确定性、互异性、无序性) ;元素与集合、 集合与集合的关系(属于、包含、子集、空集、全集) ;集合的运算(交、并、补)及容斥原 理等。 “交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于 运用集合语言描述数学现象,或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算 还有如下一

些常用的性质和公式: 若A
A A
B ? B ,则 B ? A ;

若A
(A (A B) B)

B ? B ,则 A ? B ;

B?B B?B

A; A;

C?A C?A

(B (B

C) ; C) ;

A A

(B (B

C) ? ( A C) ? ( A

B) B)

( A C) ; ( A C) ;

[I ( A

B) ? [I A

[I B ;

[I ( A

B) ? [I A

[I B .

容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时,为了便于计算,常常通过计算 它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们将此 类计数公式通称为容斥原理。 “容”意指这些子集的并集是原集合, “斥”意指这些子集中两 两交集不是空集时,需要将重复的元素个数排斥掉。 通常以 | X | 表示有限集合 X 中元素的个数,参照 Venn 图可以得到如下计数公式:
|A B |?| A | ? | B | ? | A B|

A
|A B C | ?| A| ? | B | ? |C | ?| A B|?| B C |?|C ?| A B C| A|

B

C A B

A 类例题 例 1 已知数集 A ? { a ? 2, (a ? 1) 2 , a 2 ? 3a ? 3} ,
B ? { a ? b , 1, a ? b ? 5} 。

若 A ? B ,求实数 a , b 的值。 分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序 性,集合 A 中三个元素有且仅有一个为 1。椐此可求出 a ,进而求出 b 。 解 由 A ? B ,得 1? A 。
a ? 2 ? 1? a ? ? 1 ; (a ? 1 2 )? ? 1 a? 或 0 a??
2

2 ;

a ? 3a ? 3? 1 ?a?? 或 1 a?? 2 .

由集合 A 中三个元素有且仅有一个为 1,得 a ? 0, A ? {1, 2, 3} , B ? {1, b , 5 ? b} 。
-1-

由 A ? B ,得 b ? 2 或 b ? 3 。 因此,所求实数为 a ? 0, b ? 2 或 a ? 0, b ? 3 。 例 2 集合 M ? { u | u ? 12m ? 8n ? 4l , m , n , l ? Z } N ? {u | u ? 20 p ? 16q ? 12r , p , q , r ? Z } 的关系是 A M ?N (
B M ?N N ?M C M ?N D M ?N



(1989 年全国高中联赛) 分析 1 通过化简,认识这两个集合中元素的特征,进而作出判断。 m? 8 n? 4 l ? 4 (m 3? n 2? ,而 l ) 3m ? 2n ? l 可取任意整数,得集合 M 表示 4 的倍 解1 12 数的集合,即 M ? {u | u ? 4k , k ? Z } 。 20 p ? 16q ? 12r ? 4(5 p ? 4q ? 3r ) ,设 p ? ?q ? k , r ? 0 ,得 N ? {u | u ? 4k , k ? Z } 。 所以, M ? N ,应选 A 。 分析 2 本题供选择的结论中,均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的
?A ? B , 一般方法是“若 a ? A ? a ? B ,则 A ? B ” ;证明集合相等关系的一般方法是“若 ? 则 ?B ? A ,

。 A ? B” 解 2
u?2
u ?1


1 q6 ?
8n ?

u ? M ? u ? 12m ? 8n ? 4l

。 设
M



m? , r

? n2

, q? , l5 则 p

0p ?

r 1? 2 N 。 ?
4l ?。

M?
M?

N



u ? N ? u ? 20 p ? 16q ? 12r
2m ?


N?

p ? ?q ? 2n ? l , r ? m





?M ? N ? M ? N 。所以应选 A 。 由? ?N ? M

例 3 已知 M ? {( x, y) | y ? x 2}, N ? {( x, y) | x 2 ? ( y ? a) 2 ?1} , A ? M (1) 若 | A |? 3 ,求实数 a 的值; (2) 若 A ? ? ,求实数 a 的取值范围。 分析 首先应对题中的集合语言进行解读。 M

N。

N ,意为由集合 M , N 分别表示的两个

方程组成的方程组的解集。 (1)是求实数 a 的值,使上述方程组有 3 解; (2)是求实数 a 的取 值范围,使上述方程组无解。 解

?y ? x2 , ? 由? ? y 2 ? (2a ? 1) y ? a 2 ? 1 ? 0 2 2 x ? ( y ? a ) ? 1, ? ?

(*)

? ? (2a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 5 ? 4a 。
当a ? 当a ?

5 时, ? ? 0 ,原方程组无解; 4

3 3 5 时, y ? ? x ? ? ,原方程组有两解; 4 2 4 5 当 a ? 时, ? ? 0 ,方程(*)有两个不等的实根 y1 , y 2 。 4

由 x 2 ? y ? 0 ,得方程(*)两根中,一根为正数另一根为 0 时,原方程组有 3 解;方程
-2-

(*)两根均为负根时,原方程组无解。 由 a 2 ? 1 ? 0 ? a ? ?1 ,经验算, a ? 1 时,原方程组有 3 解;
?? ? 0 ? 由 ?2a ? 1 ? 0 ? a ? ?1 ,即 a ? ?1 时,原方程组无解。 ? 2 ?a ? 1 ? 0

所以,若 | A |? 3 ,实数 a ? 1 ; 若 A ? ? ,实数 a 的取值范围是 a ? ?1 或 a ?

5 。 4

情景再现
1.已知数集 {0, ? 1, 2a} ? {a ? 1, ? | a |, a ? 1} ,求实数 a 的值。 (1999 年第十届“希望杯”高一) 2.若 A ? {x | 0 ? x 2 ? ax ? 5 ? 4} 是单元素集合,则实数 a 的值为 ( )

A ?2 3

B ?2

C ?3

D

不存在这样的实数

(1990 年江苏省数学竞赛) 3 .数集 X ? {x | x ? (2n ? 1)? , n ? Z } 与数集 Y ? { y | y ? (4m ? 1)? , m ? Z } 之间的关系是 ( ) A X ?Y
B X ?Y C X ?Y D X ?Y

(1984 年全国高考题) B 类例题 例 4 设集合 A, B, X 满足: A X ? B X ? A B , A B X ? A B。 若 A, B 为已知集合,求集合 X 。 分析 在研究集合之间的运算时,应理解集合运算的意义并注意应用运算的性质。 解1 由 A B X ? A B? X ? A B 设 x? X ? x? A B ? x? A 或 x ? B 因为 x ? X ,得
?x ? A ?x ? B 或? ,即 x ? ( A ? ?x ? X ?x ? X
X) (B X) ? A B。

由 x ? X ? x ? A B ,得 X ? A B 。 A X? A B ? A B ? X 又 所以, X ? A B 。 解 2 由 A B X ? A B? X ? A B, 所以, X ? X ( A B) ? ( A X ) ( B X ) ? A B 。 例 5 已知集合 A ? {x ? R | x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 4 ? 0} ,
B ? {x ? R | x 2 ? (2a ? 3) x ? 2a 2 ? a ? 3 ? 0} ,

-3-

若A

B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

分 析

由 题 意 , 两 个 一 元 二 次 方 程

x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 4 ? 0 和

x 2 ? (2a ? 3) x ? 2a 2 ? a ? 3 ? 0 中,至少有一个方程有实数解。采用直接方法是求两个方程有解

集合的并集;或采用间接方法是求两个方程无解集合的交集的补集。 解 1 由二次方程 x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 4 ? 0 ,得

?1 ? (a ? 2) 2 ? 4(?2a ? 4) ? a 2 ? 4a ? 12 ? 0 ? a ? ?6 或 a ? 2 ;
由二次方程 x 2 ? (2a ? 3) x ? 2a 2 ? a ? 3 ? 0 ,得

?2 ? (2a ? 3) 2 ? 4(2a 2 ? a ? 3) ? ?4a 2 ? 8a ? 21 ? 0 ? ? ? a ? ;
由A
B ? ? ,得所求实数 a 的取值范围是

7 2

3 2

{a | a ? ?6 或 a ? 2} {a | ? ? {a | a ? ?6, ?

7 3 ?a? } 2 2

7 3 ? a ? 或 a ? 2} . 2 2

解2

由解 1,得

??6 ? a ? 2 ??1 ? 0 7 3 ? ?? ? 7 3 ? M ? {a | ?6 ? a ? ? 或 ? a ? 2} 。 2 2 a ? ? 或a ? ??2 ? 0 ? ? 2 2 由 A B ? ? ,得所求实数 a 的取值范围是
[R M ? {a | a ? ?6, ? 7 ? a ? 3 或 a ? 2}. 2 2 例 6 不大于 1000 的自然数中,既不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数共有多少个? 分析 若不大于 1000 的自然数集合为全集 I ,其中 3 的倍数的集合为 A ,5 的倍数的集 合为 B 。则要求的是|[I ( A B ) |。 解 设不大于 1000 的自然数集合为全集 I ,其中 3 的倍数的集合为 A ,5 的倍数的集合 为 B ,则

1000 1000 1000 | A| ?[ ] ? 333 , | B | ? [ ] ? 200 , | A B | ? [ ] ? 66 。 3 5 15 因此, | A B | ? | A | ? | B | ? | A B | ? 333 ? 200 ? 66 ? 467 。
所 以 , 不 大 于 1000 的 自 然 数 中 , 既 不 是 3 的 倍 数 , 也 不 是 5 的 倍 数 共 有 |[I ( A B ) | ? 1000 ? | A B | ? 533 (个) 。

情景再现
4.已知 A ? {x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0} , C ? {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} ,且
A C ?? , B ? ? ,求实数 a 的值;
B ? A ,求实数 a 的取值范围。

(1)若 A (2)若 A

-4-

5.若非空集合 A ? {x | 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 22} ,则能使 A ? A 有 a 的集合是 A {a |1 ? a ? 9} (
B {a | 6 ? a ? 9}

B 成立的所

) C {a | a ? 9}

D ?

(1998 年全国高中数学联赛) 6.某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计:数学有 21 人优秀,物理有 19 人优秀,化学有 20 人优秀,数学和物理都优秀的有 9 人,物理和化学都优秀的有 6 个,数 学和化学都优秀的有 8 个。若该班有 7 人数学、物理、化学三科中没有一科优秀,试确定该 班总人数 S 的范围及仅数学一科优秀的人数 x 的范围。 C 类例题 例 7 设 a , b ? R , A ? {( x , y) | x ? n , y ? an ? b n ? Z } ,
B ? {( x , y) | x ? m , y ? 3m 2 ? 15 m ? Z} , C ? {( x , y) | x 2 ? y 2 ? 144} ,

是平面 XOY 内的点集,讨论是否存在 a , b 使得 (1) A B ? ? ; (2) (a , b) ? C 同时成立。 (1986 年全国高考题) 分析 首先应对题中的集合语言进行解读。 A B ? ? ,意为由集合 A , B 分别表示的两 个方程组成的方程组有整数解; (a , b) ? C ,则给出了 a , b 的允许值范围。 | ? a x ? b, x } 解 集 合 A, B 可 分 别 化 简 为 A ? { ( x , y )? y
B ? {( x , y) | y ? 3x 2 ? 15 x ? Z} 。

Z

? ? y ? ax ? b ? 3x 2 ? ax ? 15 ? b ? 0 , ? 2 y ? 3 x ? 15 ? ?

? ? a 2 ? 12(15 ? b) ? 144 ? b 2 ? 180 ? 12b ? ?(b ? 6) 2
仅当 b ? 6 且 a ? ?6 3 (a 2 ? b 2 ? 144) 时, ? ? 0 ,方程组有解。此时,原方程组的解为
? ?x ? ? 3 , 由于,原方程组的解不是整数解,所以满足条件的实数 a , b 不存在。 ? ? ? y ? 24 .

例 8 一次会议有 2005 位数学家参加,每人至少有 1337 位合作者,求证:可以找到 4 位 数学家,他们中每两人都合作过。 分析 按题意,可以构造一种选法,找出符合条件的四位数学家。 解 由题意,可任选两位合作过的数学家 a , b ,设与 a 合作过的数学家的集合为 A , b 与 合作过的数学家的集合为 B 。则 | A |? 1337 , | B |? 1337 。又 | A B |? 2005 。于是, | A B | ? | A | ? | B | ? | A B | ? 1337 ? 1337 ? 2005 ? 669 。 因此,在集合 A B 中,有数学家且不是 a , b 。从中选出数学家 c ,并设与 c 合作过的数 学家的集合为 C 。则 | ( A B) C |? 2005 , | C |? 1337 。于是, | A B C | ? | A B | ? | C | ? | ( A B) C | ? 669 ? 1337 ? 2005 ? 1 因此,在集合 A B C 中,有数学家且不是 a , b , c 。又可从中选出数学家 d 。则数学家

-5-

a , b , c , d ,他们中每两人都合作过。即原命题得证。

情景再现
7. 设 fx () x ? 2 b x ? c? b c (R , ? )
A ? {x | x ? f ( x ) , x ? R } , B ? {x | x ? f ( f ( x)), x ? R} 。 ,

若集合 A 是单元素集,则 A ? B 。 8.计算不超过 120 的合数及质数的个数。

习题 4
1.已知集合 M ? { x | x ? t 2 ? 4t ? 2 , t ? R } ,
N ? { y | y ? x 2 ? 4x ? 2 , x ? R } , P ? {( x , y) | y ? x 2 ? 4x ? 2 , x ? R } ,

则集合 M , N , P 的关系是 A M ?N?P C M ?N?P 2.由 P M ? P A M? N C P [ I M?


B M ?N?P D M ?N?P



N 能够推出 B


P ? M P N P N P ?M [ I



P [I

N

D[I

(1985 年上海数学竞赛) 3.设 a ?R, A ? {x ? R | | x ? a |? 1} , B ? {x ? R | | x ? 1|? a 2} 。若 A 不是 B 的真子集,则 a 的 取值范围是
A ? 1 ? a ?1 B a? ? 2 或 a ? 1

(

)
C ? 2 ?a 1 ? D 2 ? ? a 0 ?

4.已知 A ? {( x, y) | y ? ax ? 1}, B ? {( x, y) | y ? x 2 } ,又 A 5. 设 A ? {x | ?2 ? x ? a} , B ? { y | y ? 2 x ? 3, x ? A} ,
C ? {z | z ? x 2 , x ? A} 且 C ? B ,求实数 a 的取值范围。

B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

6. 设 M ? {a | a ? x 2 ? y 2 , x, y ? Z} ,求证: (1) 一切奇数属于 M ; (2) 形如 4k ? 2 (k ? Z ) 的数不属于 M ; (3) M 中任意两个数的积仍属于 M 。 7. 设 A ? {n |100 ? n ? 600 , n ? N} ,则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数 为__________。 (1994 年江苏省数学竞赛)

x 8 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 函 数 f ( x ) 都 有 定 义 , 且 f 2 ( x) ? 2 x 2 f ( ) , 如 果 集 合 2
A ? { a | f ( a? )
2

a 不是空集,试证明 } (1994 年江苏省数学竞赛) A 是无限集。
-6-

9.设 A, B 是坐标平面上的两个点集, C r ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? r 2 } ,若对任何 r ? 0
Cr A ? Cr B ,则必有 A ? B 。

都有

此命题是否正确? (1984 年全国数学联赛) 10.设 S 为满足下列条件的有理数集合: (1)若 a ? S , b ? S ,则 a ? b ? S , ab ? S ; (2)对任意一个有理数 r ,三个关系 r ? S , ? r ? S , r ? 0 有且仅有一个成立。 证明: S 是由全体正有理数组成的集合。 (1972 年奥地利数学竞赛)

答案 情景再现 1. 设 a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ,经检验符合题意; ?|a ? | 0 ? a ? ,经检验不合题意; 0
a ? 1 ? 0? a ? ? 1 ,经检验符合题意。

故所求的值为 a ? ?1 。
2 ? ? x ? ax ? 5 ? 4 2. 集合 A 表示不等式组 ? 的解集。当两个不等式的解集有共同的边界点,或 2 ? ? x ? ax ? 5 ? 0

者两个不等式的解集中,有一个是单元素集时,不等式组解集有可能为单元素集。由此, 不等式 x 2 ? ax ? 5 ? 4 可化简为 x 2 ? ax ? 1 ? 0 , 当 a ? ?2 时 , 此不等式的解集为单元素集。 故应选 B 。 3. 由 2n ? 1 (n ? Z ) 与 4m ? 1 (m ? Z ) 都表示全体奇数,所以, X ? Y 。故应选 C 。 4.
2 B ?{ x | x ? 5 x? 6 ? 0 }? { 2 , , 3}

C ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} ? { ? 4 , 2 } 。

(1) 由 A C ? ?
2 2

且 A
2

B ??

,得 3 是集合 A 的元素。将 3 代入方程

x ? ax ? a ? 19 ? 0 ,得 a ? 3a ? 10 ? 0 ,解此方程得 a ? ?2 或 a ? 5 。经检验,所求 实数 a 的值为 a ? ?2 ; 3 { (2) 由 A B ? A ? A ? B ,又 A C ? ? ,所以集合 A 为 ? 或 {3} . 由(1) , A ?} 不可能。当 A ? ? , 则

? ? a 2 ? 4(a 2 ? 19) ? 0 ? a ? ?

2 57 2 57 或a? . 3 3 2 57 2 57 或a? 。 3 3

因此,所求实数 a 的取值范围是 a ? ? 5.
A? A B 即A? A B 。因此,

? 2a ? 1 ? 3 ? 1 ? a ? 9 。所以,应选 A 。 ? ?3a ? 5 ? 22

6.



A ? {该班数学成绩优秀的学生} B ? {该班物理成绩优秀的学生} C ? {该班化学成绩优秀的学生}
-7-

, ? | | 2A 0 , B| ? 则 | A |? 2 1 , B| ? | 1 9 C | B C | ? 6 , | C A| ? 8 , | A B C | ? k .

|

9 ,

|A

B

C | ?| A| ? | B | ? |C | ?| A ?| A B C|

B|?|B

C |?|C

A|

? 21 ? 19 ? 20 ? 9 ? 6 ? 8 ? k ? 37 ? k .

由A

B

C是A

B,B

C ,C

A 的子集,得

k ? min{ 9 , 6 , 8 } ? 0 ? k ? 6 。

因此, 37 ? 0 ? 7 ? S ? 37 ? 6 ? 7 ? 44 ? S ? 50 。
x ? | A [ I B [ I C | ? | A [ I (B ?| A B C |?| B C| C |) ?| A B C | ?(| B | ? | C | ? | B ? 37 ? k ? (19 ? 20 ? 6) ?k?4 C) |

因此, 4 ? x ? 10 。 所以,该班总人数 S 的范围是 44 ? S ? 50 ; 仅数学一科优秀的人数 x 的范围是 4 ? x ? 10 。 7. 若集合 A 是单元素集,设 A ? {? } 即 f ( x) ? x ? ( x ? ? ) 2 ,则
f ( x) ? ( x ? ? ) 2 ? x ,
f ( f ( x)) ? x ? [( x ? ? ) 2 ? x ? ? ] 2 ? ( x ? ? ) 2 ? x ? x ? ( x ? ? ) 2 [( x ? ? ? 1) 2 ? 1] ( x ? ? ? 1) 2 ? 1 ? 0 ? f ( f ( x)) ? x ? 0 ? x ? ? . ? B ? {? } ? A .

8.

不超过 120 的合数的质因数 ? 120 ? 11 ,因此不超过 120 的合数必定是质数 2,3,5, 7 的倍数。 设 I ? {n ? N |1 ? n ? 120} ,
A ? { I 中 2的倍数 } , C ? { I 中 5的倍数 } , B ? { I 中 3的倍数 } , D ? { I 中 7的倍数 } 。



120 120 | A |? [ ? ] 6 0 ,B ? | | [? ] 2 3 120 120 |C |?[ ] ? 24 , | D | ? [ ] ? 17 , 5 7

40 ,

| A B| ?[ |A

120 120 ] ? 20 , | B C | ? [ ]?8, 2?3 3? 5 5,

120 120 C |? [ ] ? 1 2 , B| D ? | [ ? ] 2? 5 3 ? 7

-8-

|A
|A

120 D |? [ ] ? 8 , C| 2? 7
B C |?[ 120 ]?4, 2 ? 3? 5 120 D|?[ ] ?1, 2?5? 7 120 D|?[ ]?2, 2 ? 3? 7

D?|

120 [ ?] 5 ? 7

3,

|A C |A B

|B C

D| ?[

120 ] ? 1, 3? 5? 7

120 ] ? 0. 2 ? 3? 5 ? 7 不超过 120 且是 2,3,5,7 的倍数共有 60 ? 40 ? 24 ? 17 ? 20 ? 12 ? 8 ? 8 ? 5 ? 3 ? 4 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 93 . |A B C D| ?[
所以,不超过 120 的合数共有 93 ? 4 ? 89 (个) (除去四个质数) ; 不超过 120 的质数共有 120 ? 89 ? 1 ? 30 (个) (1 不是质数) 。

习题 4 1. 由 x 2 ? 4 x ? 2 ? ( x ? 2) 2 ? 2 ? ?2 ,得 M ? N ? ( ? ? , ? 2] 。又集合 M , N 表示数集, P 表

示点集,所以, M ? N ? P 。故应选 B 。 2. 解 1 设 P ? {1, 2, 3, 4}, M ? {1, 5} , N ? {2, 5} , 则P M ?P N。 经验算, A , B , C 均不正确,所以,应选 D 。 解2 由 P 所以, [ I P 3.
M ?P ([ I P M) , P N?P ([ I P N) ,

M ? [ I N 。故应选 D 。

A ? { x ? R| | x? a|? 1}? [ a? 1a , ? , 1]
2 B ? { x ? R| | x? 1 ? | 2 a }? [ 1 ? a 2 ,? 1 a

].

?a ? 1 ? 1 ? a 2 , ? ?a ? 1 ? 1 ? a 2 , ? 若 A 是 B 的真子集,则 ? 或 ? 2 2 ? ?a ? 1 ? 1 ? a . ? ?a ? 1 ? 1 ? a .
解得 a ? ?2 或 a ? 1 。所以,若 A 不是 B 的真子集,则 ?2 ? a ? 1 。故应选 C 。
? ? y ? ax ? 1 由题意,方程组 ? 无解。 2 ? ?y ? x ? ? y ? ax ? 1 由方程组 ? ? x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,得 2 y ? x ? ?

4.

-9-

? ? a 2 ? 4 ? 0 ? ? 2 ? a ? 2.
5. 所以实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 2 。 B ? { y | y? 2 x? 3 , x? A}? [ ? 1,a 2? , 3]

?[a 2 , 4], ? C ? {z | z ? x 2 , x ? A} ? ?[0, 4], ? 2 ?[0, a ],

? 2 ? a ? 0, 0 ? a ? 2, a ? 2.

1 1 当 ?2 ? a ? 0 时, 2a ? 3 ? 4 ? a ? ? . ? ? ? a ? 0 ; 2 2 1 当 0 ? a ? 2 时, 2a ? 3 ? 4 ? a ? ? . ? 0 ? a ? 2 ; 2
当 a ? 2 时, 2a ? 3 ? a 2 ? ? 1 ? a ? 3. ? 2 ? a ? 3.

1 综上,所求实数 a 的取值范围是 ? ? a ? 3 。 2 6。 (1)奇数集合可表示为 P ? {a | a ? 2n ? 1 , n ? Z } 。
a ? P ? a ? 2n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? a ? M ;

(2)

x 2 ? y 2 ? ( x ? y)( x ? y) 。

因为 x ? y 与 x ? y 同为奇数或同为偶数,所以, x 2 ? y 2 或为 2m ? 1 (m ? Z ) ,或为
4m (m ? Z ) ,不可能为形如 4k ? 2 (k ? Z ) 的数。故形如 4k ? 2 (k ? Z ) 的数不属于 M ;
2 2 2 2 (3) 设 p , q ? M ,则 p ? x1 ? y1 , q ? x2 ? y2

x1 , x 2 , y1 , y 2 ? Z ,

所以,
2 2 2 2 p ? q ? ( x1 ? y1 )( x 2 ? y2 ) ? ( x1 x2 ? y1 y 2 ) 2 ? ( x1 y 2 ? x2 y1 ) 2 ? M 。

7. 设 B ? {b ? A | b ? 7k ? 2, k ? N} 。

600 ? 2 99 ? 2 ] ?[ ] ? 85 ? 13 ? 72 ; 7 7 由 100 ? 57k ? 600 ? 2 ? k ? 10 。
则 | B |? [ 又 57 k ? 7 ? 8k ? k ,故当 k ? 2 或 9 时, 57 k 被 7 除余 2。 所以,集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为 72 ? 2 ? 70 (个) 。 8. 由题意,存在非零实数 x ? A ,得 f ( x) ? x 2 ? 0
x x x f 2 ( x) ? 2 x 2 f ( ) ? f 2 ( x) ? 2 x 2 f ( ) ? 2 f 2 ( x) f ( ) 2 2 2 x ? x 2 ? f ( x) ? 2 f ( x) f ( ) 2 2 x x x ? f( )? ? ( ) 2. 2 2 2

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x x f ( ) ? ( ) 2 。又非零实数 x 可无限平分,所以原命题得证。 2 2 9. 命题不正确。反例如下: 取 A ? {( x, y) | y ? x, ? 1 ? x ? 1} ,
即 由 f ( x) ? x 2

?

B ? { ( x , y ) |y ?

x, ? x 且 0 A ? Cr

? x , R} B ,但集合 A 不是集合 B 的子集。

则集合 A, B 满足 C r 10。

由(2)知, 0 ? S 。 对任意非零有理数 r ,由(2) ,得 r ? S 或 ? r ? S 。再由(1)
r ? r ? (?r )(?r ) ? r 2 ? S 。于特例中,取 r ? 1 ? 1 ? S 。

于(1)中,由 1 ? S ? 1 ? 1 ? 2 ? S ? 1 ? 2 ? 3 ? S ? 元素。 p 设任意正有理数 r ? , p, q ? N *, ( p, q ) ? 1 。 q

,得全体正整数都是集合 S 的

1 1 1 p 由 p, q ? N * ? p, q ? S ? pq ? S ,又 ? Q ? 2 ? S ,则 pq ? 2 ? ? S 。即全体 q q q q

正有理数都是集合 S 的元素。 又由(2) ,全体负有理数不可能是集合 S 的元素,所以集合 S 是由全体正有理数组成 的集合。

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