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21 空间几何体的三视图


21 空间几何体的三视图 教材分析
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球体以及简单的组合体,如何将这些空间几何体画在纸 上, 并体现立体感呢?我们常用三视图表示空间几何体. 三视图是观察者从不同位置观察同 一个几何体,画出的平面图形.视图在现实生活中有着广泛的应用,同时是培养空间观念的 基本素材,因此视图知识进入了高中数学课程.由于教材编写比较简明,而多数学生在初中 没有

学过视图,因此,在设计时,补充了视图的一些初步知识,便于学生的学习. 教学重点是能画出一些简单空间几何体的三视图,难点是由三视图识别出所表示的立体模 型.

教学目的
1. 了解投影、视图的一些概念,掌握画简单空间几何体的三视图的方法,能画出一些空间 几何体的三视图. 2. 能由三视图识别出其表示的立体模型. 3. 通过视图的学习,培养学生的空间想象能力和动手操作能力.

任务分析
画空间几何体的三视图是学习立体几何的基本任务之一, 也是学好立体几何的基本功, 对空 间能力的培养有很大帮助. 如何画好空间几何体的视图呢?首先要明确视图的一些概念, 掌 握正投影的规律:平行,形不变;倾斜,形改变;垂直,成一点(或线段).掌握三视图的 画法规则:长对正,宽平齐,高相等,以及画图中的注意事项.画好视图,还要亲自动手画 图,不必画很多,但一定要规范,用心体会方法.同时,要适当进行由三视图所表示的立体 模型的识别训练,逐步培养空间观念.这节课大约为 2 课时.

教学过程 一、问题情景
1. 把一个圆柱形的木块,投影到相互垂直的三个墙面上,阴影分别是什么图形? 2. 一个机器零件,分别从正面、上面、左面观察是下图中的三个平面图形,你能想象出这 个机器零件的大致形状吗?

本节主要解决类似上面的这些问题.

二、建立模型
物体在灯光或日光照射下,会在地面或墙壁上产生影子,这是一种自然现象.投影就是由这 类自然现象抽象出来的.投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,并 在该平面上得到图形的方法. 投影线相互平行的投影称为平行投影. 平行投影按投射方向是否正对着投影面, 分为斜投影 和正投影两种.

视图是指将物体按正投影面投射所得到的图形, 光线自物体的前面向后投射所得的投影称为 主视图或正视图, 自上而下投射所得的投影称为俯视图, 自左向右投射所得的投影称为左视 图.用这三种视图刻画空间几何体的结构,称之为三视图.

如上图,是圆柱在三个相互垂直的投影面上进行正投影得到的三视图.将几何体拿走后,把 投影面 H 向下旋转 90° ,投影面W 向后旋转 90° ,使三个投影面摊平在同一个平面上,如图 21-4.

三视图的位置是:俯视图在主视图的下面,左视图在主视图的右面,主视图反映出物体的 ___________ ,俯视图反映出物体的 ___________ ,左视图反映出物体的 ___________ . 因此,三视图的画法规则可归纳为长对正,宽平齐,高相等.具体为 (1)画辅助线 XY,YZ(图画好后可擦去). (2)确定主视图位置,画出主视图. (3)根据“长对正”与物体的宽度画出俯视图. (4)再根据“高平齐”与“宽相等”画出左视图(宽度:可通过以点 O 为中心旋转画出). (5)标注尺寸,擦去不必要的辅助线. 注意:为了正确表达空间几何体的内外形状,使图形清楚易识,绘图中使用的轮廓线,应符 合统一标准:看得见部分的轮廓用粗实线、看不见部分的轮廓用虚线、尺寸用细实线、对称 轴用点画线等.

三、解释应用
[例 题] 1. 画出下列几何体的三视图.

2. 根据三视图想象物体原形,并画出物体的实物草图.

分析: 由俯视图并结合其中两个视图可以看出, 这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合 而成,圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切,这样便可确定物体原形. 解:根据三视图想象物体原形如下:

注意:根据三视图想象原形,要综合视图全面考虑. [练 习]

1. 找出与下列几何体对应的三视图,并在对应的三视图下面的括号中填上对应的数码.

2. 添线补全下列三视图.

3. 画出下列几何体的三视图.

4. 根据三视图想象物体原形,并画出该物体的实物图.

5. 完成问题情景中的问题 2.

四、拓展延伸
1. 一个正三棱柱(底面是正三角形,高等于侧棱长)的三视图如图 21-13 所示,求这个正 三棱柱的表面积.

2. 某几何体的三视图如图 21-14 所示,问:该几何体是棱台吗?

3. 某楼房由相同的若干个房间组成,该楼的三视图如图 21-15 所示,问: (1)该楼有几层?从前往后最多要走过几个房间? (2)最高一层的房间在什么位置?试画出该楼的大致形状.

4. 根据图 21-16 中一个几何体的三视图,制作一个实物模型.

附:过关检测 (一)选择题. 1. 下列给出的空间几何体中,在任意方向上的视图是全等图形的是( A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆台 D. 球 ) )

2. 如图所示为一个简单几何体的三视图,则对应的实物是(

(二)填空题. 3. 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,分界线和可 视轮廓线都用 ___________ 画出,不可见轮廓线用 ___________ 画出. 4. 如图,下列三视图表示的几何体是 ___________ .

(三)解答题. 5. 在下面的两个小题中,图②是根据图①中实物画出的主视图和俯视图,你认为正确吗? 如果不正确,请找出错误处并改正,然后分别画出它们的左视图.





视图是高中数学课程中新增的内容. 各种版本的新教材都是在学生初中学习视图的基础上展 开的.这篇案例首先通过设置问题,把学生引向要学习的情景,明确本节要解决的主要问 题.视图的画法以实例呈现,便于学生理解掌握.例题与练习的设计,有梯度,全面.最后 给出了具有一定难度的问题,有利于培养学生的探索与研究能力,数学思维能力.


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