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高考概率统计7个考点解析


高考概率问题七个考点解析
概率试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等 知识为工具,以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性 质及其应用为目标的中档师,预计这也是今后高考概率试题的考查特点和命题趋向。下面 对其常见题型和考点进行解析。 考点 1 考查等可能事件概率计算 在一次实验中可能出现的结果有 n 个, 而且所

有结果出现的可能性都相等。 如果事件 A 包含的结果有 m 个,那么 P(A)=

m 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计 n

算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际 问题的能力。 例 1.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛. (I) 求所选 3 人都是男生的概率; (II)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; (III)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率. 考点 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算 不可能同时发生的两个事件 A、B 叫做互斥事件,它们至少有一个发生的事件为 A+B, 用概率的加法公式 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 计算。 事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,则 A、B 叫做相互独立事 件,它们同时发生的事件为 A? B 。用概率的法公式 P? A ? B ? ? P? A? ? P?B ? 计算。高考常 结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。 例 2.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内,甲、 乙都需要照顾的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为 0.1,乙、丙都需要照顾的概率 为 0.125, (Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少; (Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 考点 3 考查对立事件概率计算
? ?

必有一个发生的两个互斥事件 A、B 叫做互为对立事件。即 B ? A 或 A ? B 。用概 率的减法公式 P? A? ? 1 ? P? A ? 计算其概率。 高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。
1

?_? ? ?

例 3.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与

1 2

2 . 5

(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率. 考点 4 考查独立重复试验概率计算 若在 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果,则此试验 叫做 n 次独立重复试验。若在 1 次试验中事件 A 发生的概率为 P,则在 n 次独立惩处试验 中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn ?k ? ? C n P ?1 ? P ?
k k n?k



高考结合实际应用问题考查 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率的计算方法 和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。 例 4.某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能 否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年 以上的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作, 只更换已坏的灯泡, 平时 不换. (Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的 概率; (Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换 4 只灯泡的概率 (结果保留两个有效数字). 考点 5 考查随机变量概率分布与期望计算 解决此类问题时,首先应明确随机变量可能取哪些值,然后按照相互独立事件同时发 生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列,最后根据分布列和期望、 方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决 实际问题的能力。 例 5.某地最近出台一项机动车驾照考试规定;每位考试者一年之内最多有 4 次参加 考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到 第 4 次为止。如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7, 0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数 ? 的分布列和 ? 的期望,并求李明在一年内 领到驾照的概率. 考点 6 考查随机变量概率分布列与其他知识点结合 1 考查随机变量概率分布列与函数结合 例 6.某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点, 一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4, 0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ 表示客人离开该城市时游览的景点数 与没有游览的景点数之差的绝对值.
2

(Ⅰ)求ξ 的分布及数学期望; (Ⅱ)记“函数 f(x)=x2-3ξ x+1 在区间[2,+∞ ) 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的 概率. 2、考查随机变量概率分布列与数列结合 例 7 甲乙两人做射击游戏,甲乙两人射击击中与否是相互独立事件,规则如下:若 射击一次击中,原射击者继续射击,若射击一次不中,就由对方接替射击。已知甲乙两人 射击一次击中的概率均为

7 ,且第一次由甲开始射击。 8

(1)求前 4 次射击中,甲恰好射击 3 次的概率。 (2)若第 n 次由甲射击的概率为 a n ,求数列 ?a n ?的通项公式;求 lim a n ,并说明极
n??

限值的实际意义。 、考查随机变量概率分布列与线形规划结合 例 8.某工厂生产甲、乙两种产品,每种产 品都是经过第一和第二工序加工而成, 两道工序 的加工结果相互独立, 每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品,两道工序的加工结 果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等 品. (Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加 工结果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; (Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用 ξ 、η 分别表示一件甲、乙产品的利润,在(I) 的条件下,求ξ 、η 的分布列及 Eξ 、Eη ; (Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资 金额如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资金 60 万元.设 x、 分别表示生产甲、 y 乙产品的数量, 在(II)的条件下,x、y 为何值时, z ? xE? ? yE? 最大?最大值是多少? 答时须给出图示) 考点 7 考查随机变量概率分布列性质应用 设离散型随机变量的分布列为

(解

?

x1

x2

?

xi

?

3

P

P1

P2

?

Pi

?

它有下面性质:① Pi ? 0(i ? 1,2,?) ② p1 ? p 2 ? ? ? pi ? ? ? 1, 即总概率为 1; ③期望 E? ? x1 P ? ? ? xi Pi ? ?; 方差 D? ? ( x1 ? E? ) P1 ? ? ? ( xi ? E? ) Pi ? ? 1
2 2

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查. 例 9.设随机变量的概率分布为 P(? ? k ) ?

a a 为常数,k=1,2, ? ,则 a= 5k ,

例 10.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100 分, 回答不正确得 100 分.假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互 之间没有影响. ①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望. ②求这名同学总得分不为负分(即 ? ? 0) )的概率.

例 1.本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分 12 分. (I)解: 所选 3 人都是男生的概率为
3 C4 1 ? . 3 C6 5 1 2 C2 C4 3 ? . 3 C6 5

(II)解:所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为

1 2 2 1 C2 C4 ? C2 C 4 4 ? . (III)解:所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为 3 C6 5

2. 解: (Ⅰ)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C,??1 分 则 A、B、C 相互独立,由题意得: P(AB)=P(A)P(B)=0.05 P(AC)=P(A)P(C)=0.1 P(BC)=P(B)P(C)=0.125??????????????????????4 分 解得:P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5
4

所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.5??6 分

、、 (Ⅱ)∵A、B、C 相互独立,∴ A B C 相互独立,??????????????7 分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为

P( A ? B ? C ) ? P( A) P( B) P(C ) ? 0.8 ? 0.75 ? 0.5 ? 0.3 ???????????10 分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 p ? 1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? 0.3 ? 0.7 ??12 分

例 3.解: (Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件 A, “乙投一次命中”为事件 B,则

P( A) ?

1 2 1 3 , P( B) ? , P( A) ? , P( B) ? . 2 5 2 5 1 2

甲、乙两人在罚球线各投球一次,恰好命中一次的概率为 . (Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为

P?

1 1 3 3 9 ? ? ? ? 2 2 5 5 100 9 91 ? . 100 1 0 0 91 . 100

∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率

P ? 1? P ? 1?

答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为

∵“甲、乙两人各投球一次,恰好命中一次”的事件为 A ? B ? A ? B

? P( A ? B ? A ? B) ? P( A ? B) ? P( A ? B) ?

1 3 1 2 1 ? ? ? ? . 2 5 2 5 2
5

例 4.解: (I)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为 p1 , 需要更换 2 只灯泡 的概率为

C52 p13 (1 ? p1 ) 2 ;
(II)对该盏灯来说,在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为(1-p1)2;在第一次未更换 灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1(1-p2),故所求的概率为

p ? (1 ? p1 ) 2 ? p1 (1 ? p 2 );
(III)至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况,换 5 只的概率为 p5(其中 p 为 (II)中所求,下同)换 4 只的概率为 C 5 p (1-p) ,故至少换 4 只灯泡的概率为
5
1 4

1 p3 ? p 5 ? C5 p 4 (1 ? p).

又当p1 ? 0.8, p 2 ? 0.3时, p ? 0.2 2 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.6 ? p3 ? 0.6 5 ? 5 ? 0.6 4 ? 0.4 ? 0.34. 即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.

例 5.解: ? 的取值分别为 1,2,3,4.

? ? 1 ,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故 P( ? ? 1 )=0.6.

? ? 2 ,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了,故
P(? ? 2) ? (1 ? 0.6) ? 0.7 ? 0.28.
ξ =3,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故

P(? ? 3) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.7) ? 0.8 ? 0.096 .
ξ =4,表明李明第一、二、三次考试都未通过,故

P(? ? 4) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.7) ? (1 ? 0.8) ? 0.024 .
∴李明实际参加考试次数ξ 的分布列为 ξ P 1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.024

∴ξ 的期望 Eξ =1×0.6+2× 0.28+3× 0.096+4× 0.024=1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为 1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.9976.

例 6. 解: (I)分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点” , , 为事件 A1,A2,A3. 由已知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5, P(A3)=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3. 相应地,客人没有游览的景点数的可能 取 值为 3,2,1,0,所以 ? 的可能取值为 1,3. P( ? =3)=P(A1·A2·A3)+ P( A1 ? A2 ? A3 )
6

= P(A1)P(A2)P(A3)+P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ) =2× 0.4× 0.5× 0.6=0.24, P( ? =1)=1-0.24=0.76. 所以 ? 的分布列为 E ? =1× 0.76+3× 0.24=1.48. (Ⅱ)解法一 因为 f ( x) ? ( x ?

?
P

1 0.76

3 0.24

3 2 9 ?) ?1? ? 2, 2 4 3 所以函数 f ( x) ? x 2 ? 3?x ? 1在区间[ ? ,??) 上单调递增, 2 3 4 要使 f ( x)在[2,??) 上单调递增,当且仅当 ? ? 2, 即? ? . 2 3 4 从而 P( A) ? P(? ? ) ? P(? ? 1) ? 0.76. 3
解法二: ? 的可能取值为 1,3.

[ 当 ? =1 时,函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1在区间 2,??) 上单调递增,
2

[ 当 ? =3 时,函数 f ( x) ? x ? 9 x ? 1在区间 2,??) 上不单调递增.0
2

所以 P( A) ? P(? ? 1) ? 0.76.

例 7 解:记 A 为甲射击,B 为乙射击,则 1)前 4 次射击中甲恰好射击 3 次可列举为 AAAB,AABA,ABAA 其概率为 P=

2)第 n ? 1 次由甲射击这一事件,包括第 n 次由甲射击,第 n ? 1 次继续由甲射击这 一事件以 第 n 次由乙射击, n ? 1 由甲射击这一事件, 第 这两事件发生的概率是互斥的

7 7 1 7 1 1 1 1 7 63 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 8 8 8 8 8 8 8 8 512

1 1 3 1 7 7 a n 与 (1 ? a n ) 则有关系式 a n ?1 ? a n + (1 ? a n ) = a n ? 8 8 4 8 8 8 1 3 1 1 ? 为等比数列。 其中 a1 ? 1 。 a n ?1 ? = ( a n ? ) ?数列 ? a n ? , 2 4 2 2 1 1 3 ? a n ? ? ( ) n ?1 2 2 4
且发生的概率分别为
7

1 1 3 1 ? lim a n = lim ( ? ( ) n ?1 ) = n?? n ?? 2 2 4 2
实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时,甲、乙两分别射击的次数接近相等。 例8 (Ⅰ)解: P ? 0.8 ? 0.85 ? 0.68, 甲

P 0.75 ? 0.8 ? 0.6. ????2 分 乙

、 (Ⅱ)解:随机变量 ? 、 ? 的分别列是

?
P

5 0.68

2.5 0.32

?
P

2.5 0.6

1.5 0.4

E? ? 5 ? 0.68 ? 2.5 ? 0.32 ? 4.2, E? ? 2.5 ? 0.6 ? 1.5 ? 0.4 ? 2.1. ????6 分
?5 x ? 10 y ? 60, ? (Ⅲ)解:由题设知 ?8 x ? 2 y ? 40, 目标函数为 z ? xE? ? yE? ? 4.2 x ? 2.1y. ??8 ? ? x ? 0, ? y ? 0. ?

分 作出可行域(如图) : 作直线 l : 4.2 x ? 2.1y ? 0, 将 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上 的点 M 点与原点距离最大,此时 z ? 4.2 x ? 2.1y ????10 分

取最大值. 解方程组 ?

?5 x ? 10 y ? 60, ?8 x ? 2 y ? 40.

得 x ? 4, y ? 4. 即 x ? 4, y ? 4 时,z 取最大值,z 的最大值为 25.2 .?????12 分

1 1 1 a 例 9 (2004 年湖北高考题)解:由分布列的性质得 a ( ? 2 ? ?) ? a. 5 ? ? 1. 1 4 5 5 1? 5 ?a ? 4

8

例 10.解: ? 的取值为 ? 300 ,?100 ,100 ,300 .

P( ? ? ?300 ) ? 0.2 2 ? 0.008 ; P( ? ? ?100 ) ? 3 ? 0.2 ? 0.8 2 ? 0.096; P( ? ? 100 ) ? 3 ? 0.2 ? 0.8 2 ? 0.384; P( ? ? 300 ) ? 0.8 2 ? 0.512
所以的概率分布为 § P

? 300
0.008

? 100
0.096

100 0.384

300 0.512

? E? ? ?300 ? 0.008 ? 100 ? 10096 ? 100 ? 0.384 ? 300 ? 0.512 ? 180
这名同学总得分不为负分的概率为

P(? ? 0) ? P(? ? 100 ) ? P(? ? 300 ) ? 0.384 ? 0.512 ? 0.896
概率问题是每年高考新课程卷的必考内容.其考查特点一是重视对等可能事件的概率 计算公式,互斥事件的概率加法公式,对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法 公式,事件在 n 次独立重复试验种恰好发生 k 次的概率计算公式等五个基本公式的应用和离 散型随机变量的分布列,期望,方差及抽样方法,抽样概率等问题的考查;二是试题多为课本 例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率分布列的性质及其应 用,实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率试题.

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