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2015年高考复习第一章集合与简易逻辑单元测试卷

时间:2015-09-18


第一章

单元测试卷
)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.(2014· 陕西)设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则 M∩N=( A.[0,1] C.(0,1] 答案 B 解析 ∵x2<1,∴-1<x<1,∴

M∩N={x|0≤x<1}.故选 B. 2.(2014· 浙江理)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x2≥5},则?UA=( A.? C.{5} 答案 B 解析 由题意知 U={x∈N|x≥2},A={x∈N|x≥ 5},所以?UA={x∈N|2≤x< 5}={2}.故选 B. 3.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩(?NB)等于( A.{1,5,7} C.{1,3,9} 答案 A 解析 即在 A 中把 B 中有的元素去掉. 3 4.“x>0”是“ x2>0”成立的( A.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 答案 A 3 3 解析 当 x>0 时, x2>0 成立;但当 x2>0 时,得 x2>0,则 x>0 或 x<0,此时不能得到 x>0. 5. 已知命题 p: 所有有理数都是实数; 命题 q: 正数的对数都是负数. 则下列命题中为真命题的是( A.(綈 p)或 q C.(綈 p)且(綈 q) 答案 D 解析 由于命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,因此,命题綈 q 是真命题,于是(綈 p)或(綈 q)是真命 题. 6.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( A.不存在 x∈R,x -x +1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0
3 2

B.[0,1) D.(0,1)

)

B.{2} D.{2,5}

)

B.{3,5,7} D.{1,2,3}

) B.必要不充分条件 D.充要条件

)

B .p 且 q D.(綈 p)或(綈 q)

)

答案 C 解析 应用命题否定的公式即可. 7.原命题:“设 a,b,c∈R,若 a>b,则 ac2>bc2”,在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题 中,真命题的个数为( A.0 C.2 答案 C 解析 c=0 时,原命题为假,逆命题为真,根据命题间的关系应选 C. 8.已知?ZA={x∈Z|x<6},?ZB={x∈Z|x≤2},则 A 与 B 的关系是( A.A?B C.A=B 答案 A 9. B.A?B D.?ZA ?ZB ) ) B .1 D.4

1 1 设全集为 R,集合 M={y|y=2x+1,- ≤x≤ },N={x|y=lg(x2+3x)},则韦恩图中阴影部分表示的 2 2 集合为( )

答案 C 1 1 解析 ∵- ≤x≤ ,y=2x+1,∴0≤y≤2,∴M={y|0≤y≤2}.∵x2+3x>0,∴x>0 或 x<-3,∴N 2 2 ={x|x>0 或 x<-3}, 韦恩图中阴影部分表示的集合为(?RM)∩N, 又?RM={x|x<0 或 x>2}, ∴(?RM)∩N={x|x< -3 或 x>2},故选 C.
2 10.若命题“?x0∈R,使得 x0 +mx0+2m-3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是(

)

A.[2,6] C.(2,6) 答案 A

B.[-6,-2] D.(-6,-2)

2 解析 ∵命题“?x0∈R,使得 x2 0+mx0+2m-3<0”为假命题,∴命题“?x∈R,使得 x +mx+2m

-3≥0”为真命题,∴Δ≤0,即 m2-4(2m-3)≤0,∴2≤m≤6. 11.命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( A.a≥4 B.a≤4 )

C.a≥5 答案 C

D.a≤5

解析 命题“?x∈[1,2], x2-a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4, 故其充分不必要条件是实数 a 的取 值范围是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为 C. 1 12.已知 f(x)=ln(x2+1),g(x)=( )x-m,若对?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得 f(x1)≥g(x2),则实数 m 2 的取值范围是( 1 A.[ ,+∞) 4 1 C.[ ,+∞) 2 答案 A 1 解析 当 x∈[0,3]时,[f(x)]min=f(0)=0,当 x∈[1,2]时,[g(x)]min=g(2)= -m,由[f(x)]min≥[g(x)]min, 4 1 1 得 0≥ -m,所以 m≥ ,故选 A. 4 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.已知集合 A={1,a,5},B={2,a2+1}.若 A∩B 有且只有一个元素,则实数 a 的值为________. 答案 0 或-2 解析 若 a=2,则 a2+1=5,A∩B={2,5},不合题意舍去. 若 a2+1=1,则 a=0,A∩B={1}. 若 a2+1=5,则 a=± 2.而 a=-2 时,A∩B={5}. 若 a2+1=a,则 a2-a+1=0 无解. ∴a=0 或 a=-2. 14.已知命题 p:α=β 是 tanα=tanβ 的充要条件. 命题 q:??A.下列命题中为真命题的有________. ①p 或 q;②p 且 q;③綈 p;④綈 q. 答案 ①③ 15.已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m+n= ________. 答案 0 解析 由|x+2|<3,得-3<x+2<3,即-5<x<1.又 A∩B=(-1,n),则(x-m)(x-2)<0 时必有 m<x<2, 从而 A∩B=(-1,1),∴m=-1,n=1,∴m+n=0. 16.由命题“存在 x∈R,使 x2+2x+m≤0”是假命题,求得 m 的取值范围是(a,+∞),则实数 a 的 值是________. 答案 1 解析 ∵“存在 x∈R,使 x2+2x+m≤0”是假命题, ) 1 B.(-∞, ] 4 1 D.(-∞,- ] 2

∴“任意 x∈R,使 x2+2x+m>0”是真命题. ∴Δ=4-4m<0,解得 m>1,故 a 的值是 1. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},若 A∪B=A,求实数 a 的值. 答案 a=2 或 a=3 解析 A={1,2},∵A∪B=A,∴B?A,∴B=?或{1}或{2}或{1,2}. 当 B=?时,无解;
? ?1+1=a, 当 B={1}时,? 得 a=2; ?1×1=a-1, ? ?2+2=a, ? 当 B={2}时,? 无解; ?2×2=a-1, ? ? ?1+2=a, 当 B={1,2}时,? 得 a=3. ? ?1×2=a-1,

综上:a=2 或 a=3. 18.(本小题满分 12 分) π 为圆周率,a,b,c,d∈Q,已知命题 p:若 aπ+b=cπ+d,则 a=c 且 b=d. (1)写出 p 的否定并判断真假; (2)写出 p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假; (3)“a=c 且 b=d”是“aπ+b=cπ+d”的什么条件?并证明你的结论. 答案 (1)p 的否定是假命题 (3)充要条件,证明略 解析 (1)原命题 p 的否定是:“若 aπ+b=cπ+d,则 a≠c 或 b≠d”.假命题. (2)逆命题:“若 a=c 且 b=d,则 aπ+b=cπ+d”.真命题. 否命题:若“aπ+b≠cπ+d,则 a≠c 或 b≠d”.真命题. 逆否命题:“若 a≠c 或 b≠d,则 aπ+b≠cπ+d”真命题. (3)“a=c 且 b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充要条件. 证明如下: 充分性:若 a=c,则 aπ=cπ. ∵b=d,∴aπ+b=cπ+d. 必要性:∵aπ+b=cπ+d,∴aπ-cπ=d-b. 即(a-c)π=d-b. ∵d-b∈Q,∴a-c=0 且 d-b=0. 即 a=c 且 b=d. ∴“a=c 且 b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充要条件. (2)都是真命题

19.(本小题满分 12 分) 设关于 x 的不等式 x(x-a-1)<0(a∈R)的解集为 M,不等式 x2-2x-3≤0 的解集为 N. (1)当 a=1 时,求集合 M; (2)若 M?N,求实数 a 的取值范围. 答案 (1){x|0<x<2} (2)[-2,2] 解析 (1)当 a=1 时,由已知得 x(x-2)<0,解得 0<x<2.所以 M={x|0<x<2}. (2)由已知得 N={x|-1≤x≤3}. ①当 a<-1 时,因为 a+1<0,所以 M={x|a+1<x<0}. 因为 M?N,所以-1≤a+1<0,所以-2≤a<-1. ②当 a=-1 时,M=?,显然有 M?N,所以 a=-1 成立. ③当 a>-1 时,因为 a+1>0,所以 M={x|0<x<a+1}. 因为 M?N,所以 0<a+1≤3,所以-1<a≤2. 综上所述,a 的取值范围是[-2,2]. 20.(本小题满分 12 分) 已知 p:指数函数 f(x)=(2a-6)x 在 R 上是单调减函数;q:关于 x 的方程 x2-3ax+2a2+1=0 的两根 均大于 3,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 5 7 答案 ( ,3]∪[ ,+∞) 2 2 7 解析 p 真,则指数函数 f(x)=(2a-6)x 的底数 2a-6 满足 0<2a-6<1,所以 3<a< . 2 q 真,令 g(x)=x2-3ax+2a2+1,易知其为开口向上的二次函数.因为 x2-3ax+2a2+1=0 的两根均 大于 3,所以①Δ=(-3a)2-4(2a2+1)=a2-4>0,a<-2 或 a>2;②对称轴 x=- 5 即 32-9a+2a2+1=2a2-9a+10>0,所以(a-2)(2a-5)>0.所以 a<2 或 a> . 2 -3a 3a = >3;③g(3)>0, 2 2

? ?3a>3, 由? 2 5 ? ?a<2或a>2,

a<-2或a>2, 5 得 a> . 2

7 5 p 真 q 假,由 3<a< 及 a≤ ,得 a∈?. 2 2 7 5 5 7 p 假 q 真,由 a≤3 或 a≥ 及 a> ,得 <a≤3 或 a≥ . 2 2 2 2 5 7 综上所述,实数 a 的取值范围为( ,3]∪[ ,+∞). 2 2 21.(本小题满分 12 分) 我们知道,如果集合 A?S,那么把 S 看成全集时,S 的子集 A 的补集为?SA={x|x∈S,且 x?A}.类似 的,对于集合 A,B,我们把集合{x|x∈A,且 x?B}叫做集合 A 与 B 的差集,记作 A-B.

据此回答下列问题: (1)若 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},求 A-B; (2)在下列各图中用阴影表示出集合 A-B;

1 (3)若集合 A={x|0<ax-1≤5},集合 B={x|- <x≤2},有 A-B=?,求实数 a 的取值范围. 2 答案 (1){1,2} (2)略 (3){a|a<-12 或 a≥3 或 a=0} 解析 (1)根据题意知 A-B={1,2}. (2)

(3)∵A-B=?,∴A?B. A={x|0<ax-1≤5},则 1<ax≤6. 当 a=0 时,A=?,此时 A-B=?,符合题意; 1 6 6 当 a>0 时,A=( , ],若 A-B=?,则 ≤2,即 a≥3; a a a 6 1 6 1 当 a<0 时,A=[ , ),若 A-B=?,则 >- ,即 a<-12. a a a 2 综上所述,实数 a 的取值范围是{a|a<-12 或 a≥3 或 a=0}. 22.(本小题满分 12 分) 已知 P={x|x2-8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}. (1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件.若存在,求实数 m 的取值范围; (2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件.若存在,求实数 m 的取值范围. 答案 (1)m 不存在 (2)m≤3

解析 (1)P={x|-2≤x≤10}, S={x|1-m≤x≤m+1}. 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,
?1-m=-2, ? ∴? ∴m 不存在. ?1+m=10, ?

(2)若存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件, ∴S?P. 若 S=?,即 m<0 时,满足条件.

m+1≥1-m, ? ? 若 S≠?,应有?1-m≥-2, ? ?m+1≤10, 解之得 0≤m≤3. 综上得,m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

1.(2015· 广东广州测试)已知集合 A={x|x∈Z 且 A.2 C.4 答案 C

3 ∈Z},则集合 A 中的元素个数为( 2-x

)

B .3 D.5

3 解析 ∵ ∈Z,x∈Z,∴2-x 的取值有-3,-1,1,3,x 值分别为 5,3,1,-1,故集合 A 中的元素 2-x 个数为 4,故选 C. 2. 设集合 M 是 R 的子集, 如果点 x0∈R 满足: ?a>0, ?x∈M,0<|x-x0|<a, 称 x0 为集合 M 的聚点. 则 下列集合中以 1 为聚点的有( )

n 2 ①{ |n∈N};②{ |n∈N*};③Z;④{y|y=2x}. n n+1 A.①④ C.①② 答案 A n n 解析 ①集合中{ |n∈N}中的元素是极限为 1 的数列,1 是集合{ |n∈N}的聚点; n+1 n+1 2 1 1 ②集合{ |n∈N*}中的元素是极限为 0 的数列, 最大值为 2, 即|x-1|≤1, 对于 a= , 不存在 0<|x-1|< , n 3 3 2 所以 1 不是集合{ |n∈N*}的聚点; n ③对于某个 a<1, 比如 a=0.5, 此时对任意的 x∈Z, 都有 x-1=0 或者 x-1≥1, 也就是说不可能 0<|x -1|<0.5,从而 1 不是整数集 Z 的聚点; ④该集合为正实数集,从而 1 是集合{y|y=2x}的聚点. 3.对于任意实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,如[1.1]=1,[-2.1]=-3.定义在 R 上的函数 f(x) =[2x]+[4x]+[8x],若 A={y|y=f(x),0<x<1},则 A 中元素的最大值与最小值之和为( A.11 C.14 答案 A 1 解析 当 0<x< 时,[2x]=0,[4x]=0,[8x]=0; 8 B.12 D.15 ) B.②③ D.①②④

7 当 ≤x<1 时,[2x]=1,[4x]=3,[8x]=7; 8 ∴A 中元素的最大值与最小值之和为 7+3+1=11,选 A. 4.(2015· 朝阳期中)同时满足以下 4 个条件的集合记作 Ak:①所有元素都是正整数;②最小元素为 1; ③最大元素为 2 014;④各个元素可以从小到大排成一个公差为 k(k∈N*)的等差数列.那么集合 A33∪A61 中元素的个数是( A.96 C.92 答案 B 解析 A33 中元素是首项为 1,公差为 33 的等差数列,那么设项数为 m,则有 1+33(m-1)=2 014, 解得 m=62;A61 中元素是首项为 1,公差为 61 的等差数列,那么设项数为 n,则有 1+61(n-1)=2 014, 解得 n=34;A33∩A61 中元素是首项为 1,公差为 33×61 的等差数列,那么设项数为 q,则有 1+33×61(q -1)=2 014,解得 q=2.所以设 P 表示元素个数,则有:P(A33∪A61)=P(A33)+P(A61)-P(A33∩A61)=34+ 62-2=94. 5.(2015· 顺义第一次统练)设非空集合 M 同时满足下列两个条件: ①M?{1,2,3,?,n-1}; ②若 a∈M,则 n-a∈M(n≥2,n∈N*). 则下列结论正确的是( ) ) B.94 D.90

n A.若 n 为偶数,则集合 M 的个数为 2 个 2 n B.若 n 为偶数,则集合 M 的个数为 2 -1 个 2 n-1 C.若 n 为奇数,则集合 M 的个数为 2 个 2 n+1 D.若 n 为奇数,则集合 M 的个数为 2 个 2 答案 B 解析 当 n=2 时,M?{1},且满足 1∈M,2-1∈M,故集合 M 的个数为 1 个;当 n=3 时,M?{1,2}, 且 1∈M,3-1=2∈M,故集合 M 的个数为 1 个;当 n=4 时,M?{1,2,3},且 1∈M,4-1=3∈M,2∈M,4 -2=2∈M.故集合 M 的个数为 3,故可排除 A,C,D,选 B. 2x 6.(2015· 湖北天门调研)设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x|| |<1,i 为虚数单位,x 1- 3i ∈R},则 M∩N 等于( A.(0,1) C.[0,1) 答案 C 1+ 3i 解析 M={y|y=|cos2x|,x∈R}=[0,1],N={x|| x|<1}={x||x|<1}={x|-1<x<1},M∩N=[0,1), 2 ) B.(0,1] D.[0,1]

故选 C.


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