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2015年北京西城高三一模数学(理科)试题及答案

时间:2015-04-09


2015 年北京西城高三一模数学(理科)试题及答案

北京市西城区2015 年高三一模试卷

数学(理科)

2015.4

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1 至2 页,第Ⅱ卷3 至6 页,共150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和

答 题纸一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共40 分)
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 1.设集合 A ={0,1},集合B ={x | x > a},若 A

B=? ,则实数a的取值范围是( )

A.a≤1 B.a≥1 C.a≥0 D.a≤0 2.复数z 满足z ? i = 3 ? i,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在极坐标系中,曲线ρ = 2cosθ 是( ) A.过极点的直线 B.半径为2 的圆 C.半于极点对称的图形 D.关于极轴对称的图形 4.执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为3,则输出的n 的值为( )

A.4 B.5 C.6 D.7 5. 设函数 f (x)的定义域为R,则“? x∈R,f (x +1) > f (x) ”是“函数 f (x)为增函数”的 ( )
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A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是 ( )

7. 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元,而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之 和小于20 元,那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( ) A.2 枝玫瑰的价格高 B.3 枝康乃馨的价格高 C.价格相同 D.不确定 8. 已知抛物线 所围成的封闭曲线如图所示,给定点 A(0,a),若

在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A 对称,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(2,4) C. (

3 ,3) 2

D. (

5 ,3) 2

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共30 分. 9. 已知平面向量a , b满足a = (1, ?1), (a + b) ⊥ (a ? b),那么|b|= 10. 已知双曲线

.

x2 y 2 - ? 1? a ? 0,b ? ? ? 的一个焦点是抛物线 y2 = 8x的焦点, 且双曲线C 的离心率为2, a 2 b2
.

那么双曲线C 的方程为

11.在△ABC 中,角 A, B, C所对的边分别为a , b , c ,若 则a = .


12.若数列?an?满足a1 ?? 2,且对于任意的m, n ? N ,都有 am?n ? am ? an ?, 则 a3 ?? 数列?? an??? 前10 项的和S10 ?? .



第2页

13.某种产品的加工需要 A, B, C , D, E五道工艺,其中 A必须在D的前面完成(不一定相 邻) ,其它工艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间, B 与C 必须相 邻,那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. (用数字作答) 14.如图,四面体 ABCD的一条棱长为 x,其余棱长均为 1,记四面体 ABCD的体积为F?x?, 则函数F?x?的单调增区间是 ;最大值为 .

三、解答题:本大题共6 小题,共80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分13 分) 设函数

(Ⅰ)当

, 时,求函数 f (x)的值域;

(Ⅱ)已知函数 y = f (x)的图象与直线 y =1有交点,求相邻两个交点间的最短距离.

16. (本小题满分13 分)
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2014 年12 月28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价.具体如下表. (不 考虑公交卡折扣情况)

已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶 然亭出站的乘客中随机选出120 人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.

(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人,试估计此 人乘坐地铁的票价小于5 元的概率; (Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人,记X 为这2 人乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车 所花交通费也是5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里, 试写出s 的取值范围. (只需写出结论)

17. (本小题满分14 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD是边长为 4 的正方形,EF∥AD ,平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD,且BC = 2EF , AE = AF ,点G 是EF 的中点。
第4页

(1)证明: AG ⊥平面ABCD 。 (2)若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为

6 ,求AG 的长。 9
AM 的值;若不存在,说明理 MC

(3)判断线段AC 上是否存在一点M ,使MG∥平面ABF ?若存在,求出 由。

18. (本小题满分13 分) 设n∈N*,函数 ,函数 ,x∈(0,+∞),

(1)当n =1时,写出函数 y = f (x) ?1零点个数,并说明理由; (2)若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线l : y =1的两侧,求n的所有可能取值。

19. (本小题满分14 分) 设F 1 ,F 2分别为椭圆

3 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? ? ? 的左、右焦点,点P(1, ) 在椭圆E 上,且点 2 2 a b 3 ) 对称。 4

P 和F1 关于点C(0,

(1)求椭圆E 的方程; (2)过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A,B两点,过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于 另一点Q ,问是否存在直线l ,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l 的方 程;若不存在,说明理由。

20. (本小题满分13 分) 已知点列 (k∈N*,k≥2)满足P 1(1,1) ,

第5页

中有且只有一个成立. ⑴写出满足k = 4且P 4(1,1)的所有点列; ⑵证明:对于任意给定的k (k∈N*,k≥2),不存在点列T ,使得 ;

⑶当k = 2n ?1且

时,求

的最大值.

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第 10 页

第 11 页

第 12 页

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第 14 页


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