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高中数列精选练习题(带答案)


数列
一、选择题 1.知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10= A.138 B.135 C.95 D.23 解析 1.(a3+a5)-(a2+a4)=2d=6,∴d=3,a1=-4, ∴S10=10a1+ 答案:C 2.数列{an}中, a2=2, a6=0 且数列{ 1 A. 2 解析 2.: 设数列{ 1 B. 3

( )

10 ? (10 ? 1)d =95. 2

1 }是等差数列, 则 a4= an ? 1
1 C. 4 1 D. 6

(

)

1 1 1 1 1 1 }的公差为 d, 由 4d= - 得 d= , ∴ = 6 an ? 1 a6 ? 1 a2 ? 1 a4 ? 1 2+1

1 1 +2× ,解得 a4= . 6 2 答案:A 3.等差数列{an}中,a1>0, a10· a11<0, 若此数列的前 10 项和 S10=36, 前 18 项和 S18=12, 则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是 A.24 B.48 C.60 D.84 解析 3.由 a1>0,a10· a11<0 可知 d<0,a10>0,a11<0, ∴T18=a1+?+a10-a11-?-a18=S10-(S18-S10)=60. 答案:C 4 已知实数列-1,x,y,z,-2 成等比数列,则 xyz 等于 A.-4 B.± 4 C.-2 2 D.± 2 2 ( ) ( )

解析 4.xz=(-1)× (-2)=2,y2=2,∴y=- 2( y= 2不合题意),∴xyz=-2 2. 答案:C Sn 5.差数列{an}的通项公式是 an=1-2n,其前 n 项和为 Sn,则数列{ n }的前 11 项和为 ( A.-45 解析 5:Sn= B.-50 C.-55 D.-66 )

(a1+an)n Sn a1+an ,∴ = =-n, n 2 2

Sn ∴{ n }的前 11 项的和为-66. 答案:D

6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a、 b∈R), 且 S25=100, 则 a12+a14 等于 A.16 B.8 C.4 D.不确定

(

)

解析 6.:由数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a、b∈R),可得数列{an}是等差数列,S25 = (a1+a25)· 25 =100,解得 a1+a25=8,所以 a1+a25=a12+a14=8. 2

答案:B 7.已知 a,b∈R+,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大 小关系是 A.ab=AG B.ab≥AG a+b ,G= ab, 2 C.ab≤AG ( D.不能确定 )

解析 7.:依题意 A= ∴AG-ab=

a+b · ab-ab 2

a+b = ab( - ab) 2 ( a- b)2 = ab· ≥0, 2 ∴AG≥ab. 答案:C 8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-18,S13=-52,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7, 则 b15 的值为 A.64 B.-64 C.128 D.-128 ( )

9 13 解析 8.: 因为 S9= (a1+a9)=9a5=-18, S13= (a1+a13)=13a7=-52, 所以 a5=-2, 2 2 a7=-4,又 b5=a5,b7=a7,所以 q2=2,b15=b7· q8=-4× 16=-64. 答案:B 9.等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3=4,a2+a3+a4=-2,则 a3+a4+a5+a6+a7+a8= ( 21 A. 16 19 B. 16 9 C. 8 7 D. 8 )

a2+a3+a4 -2 1 解析 9.:由于 q= = =- , 4 2 a1+a2+a3 1 所以 a3+a4+a5=(a2+a3+a4)× (- )=1, 2 1 1 a6+a7+a8=(a3+a4+a5)× (- )3=- , 2 8 7 于是 a3+a4+a5+a6+a7+a8= . 8

答案:D 10.数列{an}是首项为 1 公比为 3 的等比数列,把{an}中的每一项都减去 2 后,得到一个新 数列{bn}, {bn}的前 n 项和为 Sn, 对任意的 n∈N*, 下列结论正确的是 1 A.bn+1=3bn,且 Sn= (3n-1) 2 1 B.bn+1=3bn-2,且 Sn= (3n-1) 2 1 C.bn+1=3bn+4,且 Sn= (3n-1)-2n 2 1 D.bn+1=3bn-4,且 Sn= (3n-1)-2n 2 解析 10:因为数列{an}是首项为 1 公比为 3 的等比数列,所以数列{an}的通项公式 an=3n 1,则依题意得,数列{bn}的通项公式为 bn=3n 1-2,∴bn+1=3n-2,3bn=3(3n
- - -

(

)

1

-2)=3n-6,

∴bn+1=3bn+4.{bn}的前 n 项和为: Sn=(1-2)+(31-2)+(32-2)+(33-2)+?+(3n 1-2)=(1+31+32+33+?+3n 1)-
- -

2n=

(1-3n) -2n 1-3

1 = (3n-1)-2n. 2 答案:C 1 11 等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7- · a 的值为 2 8 A.4 B.6 C.8 D.10 ( )

解析 11:由已知得:(a2+a10)+(a4+a8)+a6=5a6=80?a6=16,又分别设等差数列首 1 1 1 1 项为 a1,公差为 d,则 a7- a8=a1+6d- (a1+7d)= (a1+5d)= a6=8. 2 2 2 2 答案:C 12 定义:在数列{an}中,an>0 且 an≠1,若 anan+1 为定值,则称数列{an}为“等幂数列”. 已知数列{an}为“等幂数列”,且 a1=2,a2=4,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S2009= ( A.6026 B .6024 C.2 D.4 解析 12:易得 a3=2, a4=4,a5=2,?, 这是一个周期数列. ∴S2009= 答案:A 13 在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么 S100 的值等于 ( ) 2009-1 × (2+4)+2=6026. 2 )

A.2500

B.2600

C.2700

D.2800

解析 13:据已知当 n 为奇数时, an+2-an=0?an=1, 当 n 为偶数时,an+2-an=2?an=n,

?1 故an ? ? ?n
50

( n奇数) ( n这偶数)

,

故S100 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? 2 ?4? 6???? ? ... ? 100 ????? ??? ? ?
50

2+100 =50+50× =2600. 2 答案:B 14 在函数 y=f(x)的图象上有点列{xn,yn},若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列, 则函数 y=f(x)的解析式可能为 A.f(x)=2x+1 B.f(x)=4x2 C.f(x)=log3x ( 3 D.f(x)=( )x 4 )

3 3 解析 14:结合选项,对于函数 f(x)=( )x 上的点列{xn,yn},有 yn=( )xn.由于{xn}是等 4 4 3 ( )x yn+1 4 n+1 3 3 差数列,所以 xn+1-xn=d,因此 = =( )xn+1-xn=( )d,这是一个与 n 无关 yn 3 4 4 ( )xn 4 的常数,故{yn}是等比数列. 答案:D 1 1 1 15.数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N*都有:am+n=am+an+mn,则 + + a1 a2 a3 +?+ 2007 A. 2008 1 = a2008 2007 B. 1004 2008 C. 2009 4016 D. 2009 ( )

解析 15:因为 an+m=an+am+mn,则可得 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,?,则可猜 得数列的通项 an= 1 ∴a =
n

n(n+1) , 2

2 1 1 =2(n- ), n(n+1) n+1

1 1 1 1 ∴ + + +?+ = a1 a2 a3 a2008 1 1 1 1 1 1 4016 2(1- + - +?+ - )=2(1- )= 2 2 3 2008 2009 2009 2009 答案:D

16.已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn=lgan,b3=18,b6= 12,则数列{bn}前 n 项和的最大值等于 A.126 B.130 C.132 D.134 解析 16:由题意可知,lga3=b3,lga6=b6. 又∵b3=18,b6=12,则 a1q2=1018,a1q5=1012, ∴q3=10 6.


(

)

即 q=10 2,∴a1=1022.


又∵{an}为正项等比数列, ∴{bn}为等差数列,且 d=-2,b1=22. 故 bn=22+(n-1)× (-2)=-2n+24. ∴Sn=22n+ n(n-1) × (-2) 2

23 529 =-n2+23n=-(n- )2+ . 2 4 又∵n∈N*,故 n=11 或 12 时, (Sn)max=132. 答案:C 17 已知数列{an}是首项为 a1 的等比数列,则能保证 4a1,a5,-2a3 成等差数列的公比 q 的个数为 A.0 B.1 C.2 ( D.3 )

解析:∵4a1,a5,-2a3 成等差数列, ∴2a5=4a1+(-2a3). 设数列{an}的公比为 q,则 a5=a1q4,a3=a1q2, ∴2a1q4=4a1-2a1q2.∵a1≠0,∴q4+q2-2=0, ∴q2=1 或 q2=-2(舍去),∴q=1 或 q=-1. 答案:C 1 18 等比数列{an}中,a1=317,q=- .记 f(n)=a1· a2· ?· an,则当 f(n)最大时,n 的值为 2 ( A.7 ) B.8 C.9 D.10

1 - 解析:由于 an=317× (- )n 1, 2 1 易知 a9=317× >1,a10<0,0<a11<1,又 a1a2?a9>0,故 f(9)=a1a2?a9 值最大,此 256 时 n=9. 答案:C 二、填空题

5 19 等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则数列{an}的通项公式为 4 解析 19:由 a4=a1q3,a6=a3q3 得 a4+a6 5 1 1 =q3= × = , 4 10 8 a1+a3 1 ∴q= ,又 a1(1+q2)=10, 2 1 - - - ∴a1=8.∴an=a1qn 1=8× ( )n 1=24 n. 2 答案:an=24
-n

.

20.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4= 解析 20:设等比数列的公比为 q,则由 S6=4S3 知 q≠1. ∴S6= 1-q6 4(1-q3) = .∴q3=3.∴a1q3=3. 1-q 1-q

.

答案:3 21 数列{an}的通项公式是 an= 解析 21:∵an= 1 ,若前 n 项和为 10,则项数为 n+ n+1 1 .

= n+1- n, n+ n+1

∴Sn=a1+a2+?+an =( 2-1)+( 3- 2)+?+( n+1- n) = n+1-1, 令 n+1-1=10,得 n=120. 答案:120 22 对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数 列”的通项为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn= 解析 22:∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =2n 1+2n 2+?+22+2+2
- -

.



2-2n +2=2n-2+2=2n. 1-2 2-2n 1 n+1 =2 -2. 1-2
+ +

∴Sn=

答案:2n 1-2 a1 a2 an 23 若数列{an}是正项数列,且 a1+ a2+?+ an=n2+3n(n∈N*),则 + +?+ 2 3 n+1 = .

解析 23:令 n=1,得 a1=4,∴a1=16. 当 n≥2 时, a1+ a2+?+ an-1=(n-1)2+3(n-1). 与已知式相减,得 an=(n2+3n)-(n-1)2-3(n-1)=2n+2, ∴an=4(n+1)2,n=1 时,a1 适合 an. ∴an=4(n+1)2,∴ an =4n+4, n+1

n(8+4n+4) a1 a2 an ∴ + +?+ = =2n2+6n. 2 3 2 n+ 1 答案:2n2+6n 1 2 1 1 24 在数列{an}中, 若 a1=1, a2= , =a + (n∈N*), 则该数列的通项 an= 2 an+1 n an+2 解析 24:由 1 1 1 1 1 1 =a + , - = -a , an+1 n an+2 an+2 an+1 an+1 n 2 .

1 1 1 1 ∴{ }为等差数列.又 =1,d= - =1, an a1 a2 a1 1 1 ∴ =n,∴an= . an n 答案: 1 n

Sn 2n-3 25 设等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若对任意自然数 n 都有T = , 4n-3 n 则 a9 a3 + 的值为 b5+b7 b8+b4 .

解析 25:∵{an},{bn}为等差数列, ∴ ∵ ∴ a9 a3 a9 a3 a9+a3 2a6 + = + = = . 2b6 2b6 b5+b7 b8+b4 2b6 2b6 11-3 19 S11 a1+a11 2a6 2× = = = = , T11 b1+b11 2b6 4× 11-3 41 a9 a3 19 + = . b5+b7 b8+b4 41

19 答案: 41 a11 26 已知数列{an}是等差数列,若它的前 n 项和 Sn 有最小值,且 <-1,则使 Sn>0 成立 a10 的最小自然数 n 的值为 .

解析 26:由已知得,a1<0,d>0,a10<0,a11>0,a1+a19<0,a10+a11>0,∴a1+ a20>0,∴S19<0,S20>0,故 n=20.

答案:20 27.“欢欢”按如图所示的规则练习数数, 记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的 数 列 为 {an} , 则 数 到 2 008 时 对 应 的 指 头 是 = 指). 解析:注意到数 1,9,17,25,?,分别都对应着大拇指,且 1+8× (251-1)=2 001,因此 数到 2 008 时对应的指头是食指.对应中指的数依次是:3,7,11,15,?,因此数列{an}的 通项公式是 an=3+(n-1)× 4=4n-1. 27:食指 4n-1 , 数 列 {an} 的 通 项 公 式 an

.(填出指头的名称,各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小

Sn 28.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4-a2=8,a3+a5=26.记 Tn= 2,如果存在正整数 n M,使得对一切正整数 n,Tn≤M 都成立,则 M 的最小值是 解析 28:∵{an}为等差数列,由 a4-a2=8,a3+a5=26, 可解得 Sn=2n2-n, 1 ∴Tn=2-n,若 Tn≤M 对一切正整数 n 恒成立,则只需 Tn 的最大值≤M 即可. 1 又 Tn=2- <2,∴只需 2≤M,故 M 的最小值是 2. n 答案:2 29 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第 1 名得全部资金的一半多一万元,第 二名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第 10 名恰好 资金分完,则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励. .

1 解析 29:设第 10 名到第 1 名得的奖金数分别是 a1,a2,?,a10,则 an= Sn+1,则 2 1 a1=2, an-an-1= an,即 an=2an-1,因此每人得的奖金额组成以 2 为首项,以 2 为 2 公比的等比数列,所以 S10= 答案:2046 1 30 已知函数 f(x)=a· bx 的图象过点 A(2, ),B(3,1),若记 an=log2f(n)(n∈N*),Sn 是数 2 列{an}的前 n 项和,则 Sn 的最小值是 解析 30:将 A、B 两点坐标代入 f(x)得 . 2(1-210) =2046. 1-2

?a ? 1 ?1 2 ? ? ab ? 8, , 解得 ? ?2 ? ? ?1 ? ab ?b ? 2

1 x ∴f(x)= · 2, 8 1 n - ∴f(n)= · 2 =2n 3, 8 ∴an=log2f(n)=n-3. 令 an≤0,即 n-3≤0,n≤3. ∴数列前 3 项小于或等于零,故 S3 或 S2 最小. S3=a1+a2+a3=-2+(-1)+0=-3. 答案:-3 三、解答题 31.数列{an}中,a1=3,an+an-1+2n-1=0(n∈N*且 n≥2). (1)求 a2、a3 的值; (2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解析 31(1)∵a1=3,an+an-1+2n-1=0(n∈N*且 n≥2), ∴a2=-a1-4+1=-6,a3=-a2-6+1=1. (2)∵ = an+n (-an-1-2n+1)+n = an-1+(n-1) an-1+n-1

-an-1-n+1 =-1(n≥2), an-1+n-1

∴数列{an+n}是首项为 a1+1=4,公比为-1 的等比数列, ∴an+n=4× (-1)n 1,


即 an=4× (-1)n 1-n,


当 n=1 时,a1=4-1=3, ∴{an}的通项公式是 an=4× (-1)n 1-n(n∈N*).


(3)∵an=4× (-1)n 1-n(n∈N*),


Sn=a1+a2+…+an =[4(-1)0-1]+[4(-1)1-2]+[4(-1)2-3]+?+ [4(-1)n 1-n]


=4[(-1)0+(-1)1+(-1)2+…+(-1)n 1]-(1+2+3+?+n)


=2[1-(-1)n]-

n(n+1) . 2

32.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2 =64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn;

1 1 1 (2)求 + +?+ . Sn S1 S2 解析 32(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数, an=3+(n-1)d,bn=qn 1.


依题意有 ?

? ? S 2 b2 ? (6 ? d )q ? 64, 2 ? ? S 3 b3 ? (9 ? 3d )q ? 960,

?d ? ? 6 , 5 ?d ? 2 ? ? 解得 ? 或? ( 舍去 ) 40 ?q ? 8 ? q? . ? ? 3
故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1.


(2)Sn=3+5+?+(2n+1)=n(n+2), 1 1 1 所以 + +?+ Sn S1 S2 = 1 1 1 1 + + +?+ 1× 3 2× 4 3× 5 n(n+2)

1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +?+n- ) 2 3 2 4 3 5 n+2 1 1 1 1 = (1+ - - ) 2 2 n+1 n+2 2n+3 3 = - . 4 2(n+1)(n+2) 33.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中 k 是常数. (1)求 a1 及 an; (2)若对于任意的 m∈N*,am,a2m,a4m 成等比数列,求 k 的值. 解析 33(1)由 Sn=kn2+n,得 a1=S1=k+1, an=Sn-Sn-1=2kn-k+1(n≥2). a1=k+1 也满足上式,所以 an=2kn-k+1,n∈N*. (2)由 am,a2m,a4m 成等比数列,得 (4mk-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1), 将上式化简,得 2km(k-1)=0, 因为 m∈N*,所以 m≠0,故 k=0,或 k=1. 34.已知数列{an}中,a1=-1,且(n+1)an,(n+2)an+1,n 成等差数列. (1)设 bn=(n+1)an-n+2,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

n 1 解析 34(1)证明:由已知得(n+2)an+1= (n+1)an+ , 2 2 ∵b1=2a1-1+2=-1, ∴ bn+1 (n+2)an+1-(n+1)+2 = bn (n+1)an-n+2

n 1 (n+1)an+ -(n+1)+2 2 2 = (n+1)an-n+2 n 1 (n+1)an- +1 2 2 1 = = . (n+1)an-n+2 2 ∴数列{bn}是等比数列. 1 - (2)由(1)得 bn=-( )n 1,即(n+1)an-n+2 2 1 - =-( )n 1. 2 ∴an=- 1 1 n-1 n-2 ( ) + . n+1 2 n+1

33.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n2+cn(c∈R,n=1,2,3?), S2 S3 且 S1, , 成等差数列. 2 3 (1)求 c 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解析 35(1)∵nSn+1-(n+1)Sn=n2+cn(n=1,2,3,?), Sn+1 Sn n2+cn ∴ - = (n=1,2,3,?). n+1 n n(n+1) S2 S3 S2 S1 S3 S2 ∵S1, , 成等差数列,∴ - = - . 2 3 2 1 3 2 ∴ 1+c 4+2c = , 2 6

∴c=1. Sn+1 Sn (2)由(1)得 - =1(n=1,2,3,?). n+1 n Sn S1 ∴数列{ n }是首项为 ,公差为 1 的等差数列. 1 Sn S1 ∴ n = +(n-1)· 1=n. 1 ∴Sn=n2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. 当 n=1 时,上式也成立∴an=2n-1(n=1,2,3,?).

1 3 36.已知数列{an}满足:a1= ,a2= ,an+1=2an-an-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 b1< 4 4 0,3bn-bn-1=n(n≥2,n∈N*),数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项 an; (2)求证:数列{bn-an}为等比数列. 解析 36(1)证明∵2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*), ∴{an}是等差数列. 1 3 1 1 2n-1 又∵a1= ,a2= ,∴an= +(n-1)· = , 4 4 4 2 4 n 1 (2)证明:∵bn= bn-1+ (n≥2,n∈N*), 3 3 n+1 2n+1 1 2n-1 1 ∴bn+1-an+1= bn+ - = bn- 3 3 4 3 12 2n-1 1 1 = (bn- )= (bn-an). 3 4 3 1 又∵b1-a1=b1- ≠0, 4 1 1 ∴{bn-an}是以 b1- 为首项,以 为公比的等比数列. 4 3 37.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a2=3,S6=36. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}是等比数列且满足 b1+b2=3, b4+b5=24.设数列{an· bn}的前 n 项和为 Tn, 求 Tn. 解析 37(1)∵数列{an}是等差数列, ∴S6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36. ∵a2=3,∴a5=9,∴3d=a5-a2=6,∴d=2, 又∵a1=a2-d=1,∴an=2n-1. (2)由等比数列{bn}满足 b1+b2=3,b4+b5=24, 得 b4+b5 3 =q =8,∴q=2, b1+b2


∵b1+b2=3,∴b1+b1q=3,∴b1=1,bn=2n 1,

2 ∴an· bn=(2n-1)·

n-1

.
n-2

2 ∴Tn=1× 1+3× 2+5× 22+?+(2n-3)·

2 +(2n-1)·

n-1



2 则 2Tn=1× 2+3× 22+5× 23+?+(2n-3)·

n-1

+(2n-1)· 2n,


2 两式相减得(1-2)Tn=1× 1+2× 2+2× 22+?+2· 2n 2+2·
-Tn=1+2(21+22+?+2 2
n-1

n-1

-(2n-1)· 2n,即

)-(2n-1)· 2n

=1+2(2n-2)-(2n-1)· 2n=(3-2n)· 2n-3,

∴Tn=(2n-3)· 2n+3. 38.某一电视频道在一天内有 x 次插播广告的时段,一共播放了 y 条广告,第 1 次播放了 1 1 1 条和余下的 y-1 条的 ,第 2 次播放了 2 条以及余下的 ,第 3 次播放了 3 条以及余 8 8 1 下的 ,以后每次按此规律插播广告,在第 x 次播放了余下的 x 条(x>1). 8 (1)设第 k 次播放后余下 ak 条,这里 a0=y,ax=0,求 ak 与 ak-1 的递推关系式; (2)求这家电视台这一天内播放广告的时段 x 与广告的条数 y. 解析 38(1)依题意,第 k 次播放了 1 1 7 k+ (ak-1-k)= ak-1+ k, 8 8 8 1 7 ∴ak=ak-1-( ak-1+ k). 8 8 8 ∴ak-1=k+ ak, 7 8 即 ak 与 ak-1 的递推关系式为 ak-1=k+ ak. 7 8 (2)∵a0=1+ a1 7 8 8 =1+ (2+ a2) 7 7 8 8 =1+2× +( )2a2 7 7 8 8 8 =1+2× +3× ( )2+( )3a3 7 7 7 =? 8 8 8 - 8 =1+2× +3× ( )2+?+x× ( )x 1+( )xax. 7 7 7 7 ∵ax=0, 8 8 8 - ∴y=1+2× +3× ( )2+?+x× ( )x 1. 7 7 7 8x 用错位相减法求和,可得 y=49+(x-7)× x-1. 7

? x ? 7, ? y ? N ? ,? x ? 7 ? 0. ? ? ? y ? 49.
故这家电视台这一天播放广告的时段为 7 段,广告的条数为 49. 39.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,a1=1,且 a1,a2,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 bn= 2S n 64bn ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:2Tn-9bn-1+18> (n>1). 2n-1 (n+9)bn+1

解析 39(1)∵a1,a2,a7 成等比数列,
2 ∴a2 =a1· a7,即(a1+d)2=a1(a1+6d),

又 a1=1,d≠0,∴d=4. ∴Sn=na1+ n(n-1) d=n+2n(n-1)=2n2-n. 2 2n(2n-1) 2Sn = =2n, 2n-1 2n-1

(2)证明:由(1)知 bn=

∴{bn}是首项为 2,公差为 2 的等差数列, ∴Tn= n(2+2n) =n2+n, 2

∴2Tn-9bn-1+18=2n2+2n-18(n-1)+18 =2n2-16n+36=2(n2-8n+16)+4=2(n-4)2+4≥4,当且仅当 n=4 时取等号.① 64bn 64× 2n 64n = = = (n+9)bn+1 (n+9)× 2(n+1) n2+10n+9 9 当且仅当 n= ,即 n=3 时取等号.② n 又①②中等号不能同时取到, ∴2Tn-9bn-1+18> 64bn (n>1). (n+9)bn+1 64 64 ≤ =4. 9 6+10 n+n+10


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