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江苏省无锡市江南中学2015届高三12月月考数学(文)试卷


江苏省无锡市江南中学 2015 届高三 12 月月考 数学(文)试卷
时量:120 分钟 分值:150 分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。
1.已知 i 为虚数单位,复数 z ? (1 ? i )i 在复平面内对应的点位于( A. 第一象限 B. 第二

象限 C. 第三象限 )

D. 第四象限 )

2.已知命题 p : ?x ? R, x 2 ? 0 ;和命题 q : ?x ? Q, x 2 ? 3, 则下列命题为真的是( A. p ? q B. ( ?p ) ? q C. p ? ( ? q ) ) D. (?p ) ? (?q )

3. 在△ABC 中, “ sin A ? sin B ”是“ A ? B ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 4. 设 a

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 30.5 , b ? log 3 2, c ? cos

2? ,则( 3
*

) C. c ? a ? b D. b ? c ? a

A. c ? b ? a 5.已知函数
1 2
2

B. a ? b ? c

y ? an x ( an ? 0, n ? N )的图象在 x ? 1 处的切线斜率为 2an?1 ? 1( n ? 2, n ? N * ) ,且当 n ? 1

时,其图象经过 ? 2,8 ? ,则 a7 A. B.
x ?1

?(

) C. 6 ) D. (3,4) D. 7

6.函数 f ( x) ? x ? 5 ? 2 A. (0,1)

的零点所在的区间是( C. ( 2,3)

B. (1,2)

7.已知 P 是△ABC 所在平面内一点, PB + PC +2 PA =0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在△ PBC 内的概率是( 1 A. 4 1 B. 3 ) 2 C. 3 1 D. 2 )

8.在△ABC 中,BC=1,∠B=

?
3

,△ABC 的面积 S= 3 ,则 sinC=(

A、

13 13

B、

3 5

C、

4 5

D、

2 39 13

→ → → 9. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若OB=a1OA+a2 014OC,且 A、B、C 三点共线(该直线不过点 O),则 S2 014 等于 ( )

A.1 007

B.1 008

C.2 013

D.2 014

10.已知函数 f ( x) ? ? (A) [?2, 0]

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ,若 | f ( x) |? ax ? 1 恒成立,则 a 的取值范围是 ? ln( x ? 1), x ? 0
(B) [?2,1] (C) [?4, 0] (D) [?4,1]

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡中对应题号后的横线 上。 1 sin ? ? cos ? 11. 已知 tan ? ? ,则 ? ______ 2 sin ? ? cos ?
12. 函数 f ( x) ? x ? ln x 的单调减区间为________________。 13.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 的解析式为 _____

?
2

) 的图

像如图所示,则它

14.已知平面向量 a, b , | a |? 1,| b |? 2 ,且 | 2a ? b |? 10 ,则向量 a 与 a ? 2b 的夹角为 → 2→ 1→ 15. 如下图所示,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且AP= AB+ AC, 5 5 → 2→ 1→ AQ= AB+ AC,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为______. 3 4



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤。
16.(本小题满分 12 分)设集合 A ? x x 2 ? 4 , B ? ? x 1 ?

?

?

? ?

4 ? ?. x ? 3?

(1)求集合 A ? B ; (2)若不等式 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 B ,求 a , b 的值.

17.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cos x,?1) . (1)当 a 与 b 共线时,求 tanx 的值; (2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ??

?

3 2

?

?

?

?

?

?

? ? ? ,0 上的值域. . ? 2 ? ?

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形,SA⊥底面 ABCD,P 中点,AD=2,AB=1.SP 与平面 ABCD 所成角为 (1)求证:平面 SPD⊥平面 SAP. (2)求三棱锥 S-APD 的体积.

为 BC 边的

? . 4

19.

(本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a2 ? 5 , a4 ? a6 ? 22 . ?an ? 的前 n 项和为 S n .

(1)求 an 及 S n ; (2)若

f ( x) ?

1 , bn ? f (an ) ( n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . x ?1
2

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos 2 x ? 4 3 sin x cos x ? 1, x ? R 。 (1)求函数的最小正周期、最大值及单调增区间; (2)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ;若 a, b, c 成等比数列, 且 ,求 f ( B ?

?
12

) 的值

21. (本小题满分 13 分)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根 据经验知道,其次品率 P 与日产量 x (万件)之间大体满足关系:

? 1 ,1 ? x ? c, ? ?6 ? x (其中 c 为小于 6 的正常数) P?? ? 2, x?c ? ? 3
(注:次品率=次品数/生产量,如 P ? 0.1 表示每生产 10 件产品,有 1 件为次品,其余为合格品) 已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元, 但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元, 故厂方希望定出合适的日 产量. (1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T (万元)表示为日产量 x (万件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?

文科数学参考答案
一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。
1.已知 i 为虚数单位,复数 z ? (1 ? i )i 在复平面内对应的点位于( B ) A. 第一象限 B. 第二象限
2

C. 第三象限
2

D. 第四象限 C )

2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 0 ;和命题 q : ?x ? Q, x ? 3, 则下列命题为真的是 ( A. p ? q 3. 设 a B. ( ?p ) ? q C. p ? ( ? q ) D. (?p ) ? (?q )

? 30.5 , b ? log 3 2, c ? cos

2? ,则( A ) 3
C. c ? a ? b D. b ? c ? a
*

A. c ? b ? a 4.已知函数
1 2
2

B. a ? b ? c

y ? an x ( an ? 0, n ? N )的图象在 x ? 1 处的切线斜率为 2an?1 ? 1( n ? 2, n ? N * ) ,且当 n ? 1

时,其图象经过 ? 2,8 ? ,则 a7 A. B.
x ?1

?(

B ) C. 6 D. 7

5.函数 f ( x) ? x ? 5 ? 2 A. (0,1)

的零点所在的区间是( C ) C. ( 2,3) D. (3,4)

B. (1,2)

6.已知 P 是△ABC 所在平面内一点, PB + PC +2 PA =0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在△ PBC 内的概率是( D ) 1 A. 4 1 B. 3 2 C. 3 1 D. 2

7.在△ABC 中,BC=1,∠B=

?
3

,△ABC 的面积 S= 3 ,则 sinC=(D )

A、

13 13

B、

3 5

C、

4 5

D、

2 39 13
2 2

8.若 a ? 0, b ? 0 ,且点 (a, b) 在过点 (1,?1) 、 (2,?3) 的直线上,则 S ? 2 ab ? 4a ? b 的最大值是(

A



A.

2 ?1 2

B.

2 ?1

C.

2 ?1 2

D.

2 ?1

9.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,若存在常数 m ? 0 ,对任意 x ? R ,有 f ( x) ≤ m x ,则称 f ( x) 为 F 函数.给出
x ;⑤f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, x ? x ?1 且满足对一切实数 x1 , x2 均有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ 2 x1 ? x2 .其中是 F 函数的序号为( C )

下列函数:①f ( x) ? 0 ;②f ( x) ? x 2 ;③f ( x) ? sin x ? cos x ;④f ( x) ?

2

A.① ② ④

B.② ③ ④

C.① ④ ⑤

D.① ② ⑤

【解析】 f ( x) ≤ m x ? x ? 0 时 f (0) ? 0 , x ? 0 时 ① f ( x) ? 0 显然满足上面性质; ② f ( x) ? x 2 , f (0) ? 0 但 x ? 0 时 ③ f ( x) ? sin x ? cos x , f (0) ? 0 ; ④ f ( x) ?

f ( x) ≤ m ,即过原点的弦斜率有界. x

f ( x) ? x 无界; x

f ( x) 1 4 x , f (0) ? 0 且 x ? 0 时 ? 2 ≤ ; x x ? x ?1 3 x ? x ?1
2

⑤如右图所示, f ( x) 是奇函数则 f (0) ? 0 ;又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ 2 x1 ? x2 恒成立,所以所有的弦斜率绝对 值有界 2 ,自然 2 也是过原点的弦的界,所以
f ( x) . ≤ 2 (也可以直接取 x2 ? 0 得到) x

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将答案填在答题卡中对应题号后的横线 上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 10.某校有 4000 名学生,各年级男、女生人数如表,已知在全校学生中随机抽取一名志愿者,抽到高一男生的 概率是 0.2 ,则高二的学生人数为______.1200
高一 女生 高二 高三

600

y

650

男生

x

z

750

11. 函数 f ( x) ? x ? ln x 的单调减区间为________________。(0,1) 12.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的图像如图所示,则它的解析式为 _____

y ? 2sin(

?

x? ) 4 4

?

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.如果实数 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2 x ? y 的最大值为______.1 ?x ? y ?1 ? 0 ?

?
14.已知平面向量 a, b , | a |? 1,| b |? 2 ,且 | 2a ? b |? 10 ,则向量 a 与 a ? 2b 的夹角为 .2 15.对于集合 A ? {a1 , a 2 , ? , a n } (n∈N*,n≥3),定义集合 S ? {x | x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? n} ,记集合 S 中的元 素个数为 S(A). (1)若集合 A={1,2,3,4},则 S(A)= 5 . (2)若 a1,a2,?,an 是公差大于零的等差数列,则 S(A)= 2n-3 (用含 n 的代数式表示). 【解析】 (1)据题意,S={3,4,5,6,7},所以 S(A)=5.

(2)据等差数列性质,当 i ? j ? n 时, ai ? a j ? a1 ? ai ? j ?1 ,当 i ? j ? n 时, ai ? a j ? an ? ai ? j ? n . 由题 a1<a2<?<an, 则 a1 ? a 2 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a n ? a 2 ? a n ? a3 ? a n ? ? ? a n ?1 ? a n . 所以 S ( A) ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? 2n ? 3 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤。
16.(本小题满分 12 分)设集合 A ? x x 2 ? 4 , B ? ? x 1 ?

?

?

? ?

4 ? ?. x ? 3?

(1)求集合 A ? B ; (2)若不等式 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 B ,求 a , b 的值. 解: A ? x x 2 ? 4 ? x ? 2 ? x ? 2 ,……3 分

?

? ?

?

? ? 4 ? ? x ?1 B ? ?x 1 ? ? 0? ? ?x ? 3 ? x ? 1? ,… ? ? ?x x ? 3? ? x ? 3 ? ?
(1)? A ? B ? x ? 2 ? x ? 1 ;…. 8 分

6分

?

?

(2)因为 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 B ? x ? 3 ? x ? 1 ,所以 ? 3和1 为 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根,……… 10 分

?

?

? a ? ? ?3 ? 1 ? ? 2 故? ,所以 a ? 4 , b ? ?6 .……………… ? b ? ?3 ? 1 ? ?2
? 3 2
?

………….

12 分

17.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cos x,?1) . (1)当 a ∥ b 时,求 tan x 的值; (2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ?? 解: (1)∵ a ∥ b ,∴ ∴ tan x ? ?

?

?

?

?

?

? ? ? ,0 上的值域. . ? 2 ? ?
????????????3 分 ????????????6 分

?

?

3 cos x ? sin x ? 0 , 2

3 , 2
? 1 2

(2)∵ a ? b ? (sin x ? cos x, ) ,∴ f ( x) ? (a ? b ) ? b ? ∵?

?

?

?

?

2 ? sin( 2 x ? ) , ???8 分 2 4

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

3? ? ? ? 2x ? ? , 4 4 4

∴ ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)?

2 , 2

??????????????10 分

∴?

? 2 1 2 1? ? f ( x) ? ,∴函数 f ( x) 的值域为 ?? , ? .??????????12 分 2 2 2 2? ?

18. (本小题满分 12 分)数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2-2an+1+an=0(n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn=

1 m (n∈N*) ,Sn=b1+b2+?+bn,是否存在最大的整数 m,使得任意的 n 均有 Sn> 总 n(12 ? a n ) 32

成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由. 解析: (1)∵an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*) . ∴{an}是等差数列.设公差为 d, 又 a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,∴d=-2.∴an=-2n+10. ?????????4 分 (2)bn=

1 1 = n(12 ? a n ) 2n(n ? 1)

1 1 1 ( - ) ,???????????????????????6 分 2 n n ?1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=b1+b2+?+bn= [ (1- )+( - )+?+( - ) ] 2 2 2 3 n n ?1
= =

n 1 1 (1- )= .???????????????????9 分 2(n ? 1) 2 n ?1
m 总成立. 32

假设存在整数 m 满足 Sn> 又 Sn+1-Sn=

n ?1 n 1 - = >0,∴数列{Sn}是单调递增的. 2(n ? 2) 2(n ? 1) 2(n ? 2)(n ? 1)

∴S1=

1 m 1 为 Sn 的最小值,故 < ,即 m<8.又 m∈N*, 4 32 4

∴适合条件的 m 的最大值为 7. ????????????????????12 分 19 (本小题满分 13 分)已知关于 x 的一元二次方程 x ? 2(a ? 2) x ? b ? 16 ? 0 .
2 2

(Ⅰ)若 a、 b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率; (Ⅱ)若 a ? [2, 6],b ? [0, 4] ,求方程没有实根的概率. 解 :( Ⅰ ) 基 本 事 件 (a, b ) 共 有 36 个 , 方 程 有 正 根 等 价 于 a ? 2 ? 0,16 ? b ? 0, ? ≥ 0 , 即
2

a ? 2, ?4 ? b ? 4, (a ? 2) 2 ? b 2 ≥ 16 。

设“方程有两个正根”为事件 A ,则事件 A 包含的基本事件为 (6,1), (6, 2), (6,3), (5,3) 共 4 个, 故所求的概率为

P( A) ?

4 1 ? ; 36 9

?????6 分 ,其面积为 S (?) ? 16

(Ⅱ)试验的全部结果构成区域 设“方程无实根”为事件 B ,则构成事件 B 的区域为

B ? {(a, b) 2 ≤ a ≤ 6, 0 ≤ b ≤ 4, (a ? 2) 2 ? b 2 ? 16} ,

1 ? ? ? 42 ? 4? 4 4? ? 故所求的概率为 P ( B ) ? ? 16 4
其面积为 S ( B ) ?

?????13 分

20. (本小题满分 13 分)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根 据经验知道,其次品率 P 与日产量 x (万件)之间大体满足关系:

? 1 ,1 ? x ? c, ? ?6 ? x (其中 c 为小于 6 的正常数) P?? 2 ? , x?c ? ? 3
(注:次品率=次品数/生产量,如 P ? 0.1 表示每生产 10 件产品,有 1 件为次品,其余为合格品) 已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元, 但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元, 故厂方希望定出合适的日 产量. (1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T (万元)表示为日产量 x (万件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润? 解: (1)当 x ? c 时, P ? 当 1 ? x ? c 时, P ?

2 1 2 ,? T ? x ? 2 ? x ?1 ? 0 3 3 3

1 1 9 x ? 2 x2 1 )? x?2? ( ) ? x ?1 ? ,? T ? (1 ? 6? x 6? x 6? x 6? x

综上,日盈利额 T (万元)与日产量 x (万件)的函数关系为:

? 9x ? 2x2 ,1 ? x ? c ? ?????6 分 T ? ? 6? x ? 0, x?c ?
(2)由(1)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0 当 1 ? x ? c 时, T ?

9x ? 2x2 9 ? 15 ? 2[(6 ? x) ? ] ? 15 ? 12 ? 3 6? x 6? x

当且仅当 x ? 3 时取等号 所以 (i ) 当 3 ? c ? 6 时, Tmax ? 3 ,此时 x ? 3

(ii ) 当 1 ? c ? 3 时,由 T ? ?

2 x 2 ? 24 x ? 54 2( x ? 3)( x ? 9) ? 知 (6 ? x) 2 (6 ? x) 2

函数 T ?

9x ? 2x2 9c ? 2c 2 在 [1,3] 上递增,? Tmax ? ,此时 x ? c 6? x 6?c

综上,若 3 ? c ? 6 ,则当日产量为 3 万件时,可获得最大利润 若 1 ? c ? 3 ,则当日产量为 c 万件时,可获得最大利润?????13 分 21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 的极值;新
2

mx , (m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极小值 2. x ?n
2



标 第 一 网

(3)设函数 g ( x) ? x ? 2ax ? a ,若对于任意 x1 ? R ,总存在 x 2 ? [?1,1] ,使得 g ( x 2 ) ? f ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围. 解: (1)∵函数 f ( x) ?

mx , (m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极小值 2 x ?n
2

? f (1) ? 2 ∴? ? f ' (1) ? 0
又 f ' ( x) ?

??1 分

m( x 2 ? n) ? 2mx 2 mn ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? n) 2 ( x ? n) 2

? m ? 2 ?? ① ? ∴ ?1 ? n ?mn ? m ? 0 ?? ② ?

由②式得 m=0 或 n=1,但 m=0 显然不合题意 ∴ n ? 1 ,代入①式得 m=4 ∴ m ? 4, n ? 1 ??2 分 ??3 分

经检验,当 m ? 4, n ? 1 时,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 2

∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ?

4x x ?1
2

??4 分
? 4( x ? 1)( x ? 1) ( x 2 ? 1) 2

(2)∵函数 f ( x) 的定义域为 R 且由(1)有 f ' ( x) ?

令 f ' ( x) ? 0 ,解得: x ? ?1

??5 分 ??7 分 1 0
极大值

∴当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(??,?1)

-1 0
极小值

(?1,1)

(1,??)




+





f ( x)

-2

2

∴当 x ? ?1 时,函数 f ( x) 有极小值-2;当 x ? 1 时,函数 f ( x) 有极大值 2
(3)依题意只需 g ( x) min ? f ( x) min 即可.

??8 分

∵函数 f ( x) ?

4x 在 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;在 x ? 0 时, f ( x) ? 0 且 f (0) ? 0 x ?1
2

∴ 由(2)知函数 f ( x) 的大致图象如图所示:

∴当 x ? ?1 时,函数 f ( x) 有最小值-2 又对任意 x1 ? R ,总存在 x 2 ? [?1,1] ,使得 g ( x 2 ) ? f ( x1 ) ∴当 x ? [?1,1] 时, g ( x) 的最小值不大于-2 又 g ( x) ? x ? 2ax ? a ? ( x ? a ) ? a ? a
2 2 2

①当 a ? ?1 时, g ( x) 的最小值为 g (?1) ? 1 ? 3a ∴ 1 ? 3a ? ?2 得 a ? ?1 ; ②当 a ? 1 时, g ( x) 的最小值为 g (1) ? 1 ? a ∴ 1 ? a ? ?2 得 a ? 3 ; ③当 ? 1 ? a ? 1 时, g ( x) 的最小值为 g (a ) ? a ? a
2

∴ a ? a 2 ? ?2 得 a ? ?1 或 a ? 2 又∵ ? 1 ? a ? 1 ∴此时 a 不存在 综上所述,a 的取值范围是 (??,?1] ? [3,??) .

??12 分 ??13 分


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