2015高考数学解析几何典型题目

已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ，直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 ，则与 C 的位置关系是 A．一定相离 B．.一定相切 C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心
[

【知识点】直线与与圆的位置关系 H4 【答案】 【解析】C 解析：因为直线恒过点 ?1,1? ，且该点在圆的内部，所以直线与圆相交， 又因为圆的圆心坐标为 ?1,0 ? ，直线的斜率存在所以直线不能过圆心，故选择 C. 【思路点拨】根据直线恒过点在圆的内部，可得直线与圆相交，又因为直线恒过的点与圆心 在一条斜率不存在的直线上，而直线斜率存在，所以不过圆心.

已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ，短轴端点到焦点的距离为 2。 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 a b 2

（1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 A,B 是椭圆 C 上的任意两点， O 是坐标原点，且 OA⊥OB ①求证：原点 O 到直线 AB 的距离为定值，并求出该定值； ②任取以椭圆 C 的长轴为直径的圆上一点 P，求 ?PAB 面积的最大值 【知识点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系 H5 H8

x2 2 5 ? y 2 ? 1;（2）① 【答案】【解析】 （1） ;② 1 ? 5 . 4 5
解析：（1）设椭圆的半焦距为 c，由题意

c 3 ，且 a=2， 得 c ? 3 ,b=1,∴所求椭 ? a 2

圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4
2 5 ，原点 O 到直线 AB 的距离 5

（2）①当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 x ? ?

为

2 5 ,当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 5

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 2 则由 ? 4 ，得： （1+4k ）x +8kmx+4m -4=0，△=16（1+4k -m ）＞0， ? y ? kx ? m ?

8km 4m 2 ? 4 5m2 ? 4 ? 4k 2 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ?0 , 得 , 由 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

m2 ?

4 ?1 ? k 2 ? ,∴原点 O 到直线 AB 的距离 d ? 5

m k 2 ?1

?

4 1? k 2 ? ? 2 5 5 , ? 5 1? k 2

综上所述，原点 O 到直线 AB 的距离为

2 5 ; 5

②当直线 AB 的斜率不存在时 AB ?

4 5 ,当直线 AB 的斜率存在时， 5

4 9k 2 , AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1? 16k 4 ? 8k 2 ? 1 5
2

当 k≠0 时， AB ?

4 9 1 1? ? 5 ，当 k ? ? 时等号成立．当 k=0 时， 1 2 5 16k 2 ? 2 ? 8 k

AB ?

4 5 2 5 ．∴|AB|最大值为 5 ．由①知：点 P 到直线 AB 的距离最大值为 ? 2 ,∴ 5 5

S△PAB 的最大值为 1 ? 5 . 【思路点拨】 求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答， 遇到直线 与椭圆位置关系问题，通常联立方程结合韦达定理进行解答. 如图，已知圆 G：x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ，经过椭圆 上顶点 B，过圆外一点 (m,0)(m ? a) 倾斜角为

5? 的直线 l 交椭圆于 C，D 两点， 6

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及 a2 b2

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部，求 m 的取值范围．

【知识点】椭圆方程 直线与椭圆 H5 H8 【答案】 （Ⅰ）

x2 y2 （Ⅱ） 3 ? m ? 2 3 . ? ? 1； 6 2

【解析】解析： （Ⅰ）∵圆 G： x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F、B．

∴F（2，0） ，B（0， 2 ） ， ∴c ? 2 ，b ?

2 ． ∴ a 2 ? 6 ．故椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1． 6 2

? x2 y2 ? ?1 ? ?6 2 3 （Ⅱ）设直线 l 的方程为 y ? ? 消去 y 得 ( x ? m)(m ? 6 ) ．由 ? 3 3 ?y ? ? ( x ? m) ? 3 ?

2x 2 ? 2mx ? (m2 ? 6) ? 0 ．
设 C ( x1 , y1 ) ， D( x2 , y 2 ) ，则 x1 ? x2 ? m ， x1 x 2 ?

m2 ? 6 ， 2

∴ y1 y 2 ? [?

3 3 1 m m2 ． ( x1 ? m)] ? [? ( x2 ? m)] ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 3 3

∵ FC ? ( x1 ? 2, y1 ) ， FD ? ( x2 ? 2, y2 ) ， ∴ FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ? =

4 (m ? 6) m2 x1 x2 ? ( x1 x2 ) ? ?4 3 3 3

2m(m ? 3) ． 3

∵点 F 在圆 G 的外部， ∴ FC ? FD ? 0 ， 即

2m( m ? 3) ? 0 ，解得 m ? 0 或 m ? 3 ． 3

由△= 4m 2 ? 8(m 2 ? 6) ? 0 ，解得 ? 2 3 ? m ? 2 3 ．又 m ?

6， 6 ?m?2 3．

∴3? m ? 2 3 ． 【思路点拨】根据圆与 x 轴的交点求得 F（2，0） ，B（0， 2 ） ，可得椭圆方程；设直线 l 的

m2 ? 6 3 ， ( x ? m)(m ? 6 ) 与椭圆方程联立，得到 x1 ? x2 ? m ， x1 x 2 ? 2 3 因为点 F 在圆 G 的外部， 所以 FC ? FD ? 0 ， 即 FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 >0,求得
方程为 y ? ?

3? m? 2 3.

已知 F1 , F2 分别是椭圆的左，右焦点，现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭 圆于点 M , N ，若过 F1 的直线 MF 1 是圆 F2 的切线，则椭圆的离心率为 A． 3 ? 1 B． 2 ? 3 C．

2 2

D．

3 2

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】 【 解 析 】 A 解 析 ： 因 为 过 F1 的 直 线 MF 1 是 圆 F2 的 切 线 ， 所 以 可 得

?F1MF2 ? 90 , MF2 ? c ，因为 F1F2 ? 2c ，所以可得 MF1 ? 3c ，由椭圆定义可得
MF 1 ? MF2 ? c ? 3c ? 2a ，可得题意离心率为 e ?
2 ? 3 ? 1 ，故选择 A. 1? 3

F1F2 ? 2c，?F1MF2 ? 90? ， 从 而 得 到 【 思 路 点 拨 】 由 已 知 条 件 推 导 出 MF2 ? c，
MF1 ? 3c ，由此能求出椭圆的离心率．

椭圆 C 的两个焦点分别是 F1， F2 若 C 上的点 P 满足 e 的取值范围是

， 则椭圆 C 的离心率

【知识点】椭圆的性质. H5 【答案】 【解析】C 解析：∵ PF1 ?

3 F2 F2 ? 3c, ∴ PF2 ? 2a ? 3c ，由三角形中，两边 2

之和大于第三边得 ?

?2c ? 3c ? 2a ? 3c 1 c 1 ? ? ? ，故选 C. ?2c ? 2a ? 3c ? 3c 4 a 2

【思路点拨】利用椭圆定义，三角形的三边关系，椭圆离心率计算公式求得结论.

0 ? 、 B ? 2, 0 ? ,动点 P 与 A 、B 两点连线的斜率 k PA 、k PB 满足 k PA ? k PB ? ? 已知两点 A ? ?2,
(Ⅰ) 求动点 P 的轨迹 E 的方程；

1 . 4

（Ⅱ）H 是曲线 E 与 y 轴正半轴的交点,曲线 E 上是否存在两点 M 、N ,使得 ?HMN 是以 H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,请说明有几个；若不存在,请说明理由. 【知识点】求轨迹方程 直线与圆锥曲线 H5 H8 【答案】(Ⅰ)
x2 （Ⅱ） 3 个. ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 )； 4

【解析】解析：(Ⅰ)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ( x ? ?2 ),则 k PA ? 依题意 k PA ? k PB ? ?

y?0 y?0 , k PB ? ,…2 分 x?2 x?2

1 y y 1 x2 ? ? ? ,化简得 ,所以 ? y 2 ? 1 ,……………4 分 4 x?2 x?2 4 4

所以动点 P 的轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ).……………………………5 分 4

注:如果未说明 x ? ?2 (或注 y ? 0 ),扣 1 分. （Ⅱ） 设能构成等腰直角 ?HMN ,其中 H 为 ? 0,1? ,由题意可知,直角边 HM , HN 不可能垂 直或平行于 x 轴,故可设 HM 所在直线的方程为 y ? kx ? 1 , (不妨设 k ? 0 ),则 HN 所在直线的方程为 y ? ? 联立方程 ?
1 x ? 1 ………………………………7 分 k
2

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y ? 4
2 2

,消去 y 整理得 1 ? 4k

?

2

?x

? 8kx ? 0 ,解得 xM ? ?

8k , 1 ? 4k 2
M

将 xM ? ?

8k ?8k 2 y ? kx ? 1 代 入 可 得 y ? ?1 , 故 点 M 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

的 坐 标 为

? ? 8k ?8k 2 M ?? , ? 1? . 2 2 ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?
8k ? ? 8k 2 ? 8k 1 ? k 2 ? 所以 HM ? ? ? ,………………………………9 分 ? ? ? ? ? 2 ? 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? ? 1 ? 4k ?
同理可得 HN ?
8 1? k 2 ,由 4?k 2
2 2

HM ? HN ,得 k 4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 ,

?

?

所 以 k 3 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 0 , 整 理 得

? k ? 1? ? k2

? 3 k ?1 ? ?0, 解 得

k ?1 或

k?

3? 5 ……………11 分 2

3? 5 ?3? 5 当 HM 斜率 k ? 1 时, HN 斜率 ? 1 ；当 HM 斜率 k ? 时, HN 斜率 ； 2 2
当 HM 斜率 k ?

3? 5 ?3? 5 时, HN 斜率 , 2 2

综上所述,符合条件的三角形有 3 个.…………………………………………………14 分 【思路点拨】(Ⅰ)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ( x ? ?2 ),由题意列的 k PA ? k PB ? ?
P 的轨迹 E 的方程为

1 ，化简得， 4

x2 （Ⅱ） 直角边 HM , HN 不可能垂直或平行于 x ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 )； 4

轴,故可设 HM 所在直线的方程为 y ? kx ? 1 ,与椭圆方程联立可得 xM ? ? 线得 yM ?

8k ， 代入直 1 ? 4k 2

?8k 2 2 2 8 1? k 2 ，可得 ，由 HM ? HN ,得 k 4 ? k ? 1 ? 4k ,解 ? 1 HN ? 2 2 4?k 1 ? 4k

?

?

得方程有三个解，所以符合条件的三角形有 3 个.

已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P (2, 3) ,且它的离心率 e ?

1 . 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切的直线 l：y ? kx ? t 交椭 圆于 M，N 两点,若椭圆上一点 C 满足 OM ? ON ? ? OC ,求实数 ? 的取值范围.
y N

O M

x

【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】【解析】 (Ⅰ)

x2 y2 ? ? 1 ；(Ⅱ) ( ? 2 , 0) (0, 8 6

2)

解析：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ， a2 b2

?4 3 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? ?a 2 ?c 2 ? a 2 ? b2 ? ?

2 ? ?a ? 8 解得 ? ， 2 ? ?b ? 6

所以椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1 8 6
l
:

( Ⅱ ) 以,

因 为 直 线

y ? kx ? t

与 圆

( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相 切

所

t?k

1? t2 ? 1 ? 2k ? ( t ? 0) ， t 1? k2

x2 y2 把 y ? kx ? t 代 入 ? ? 1 并 整 理 得 : (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 ， 设 8 6

M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 )

,

则

有

x1 ? x 2 ? ?
6t ， 3 ? 4k 2
? 8kt

8kt 3 ? 4k 2

，

y1 ? y 2 ? kx1 ? t ? kx2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ?
?

因为, ? OC ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) , 所以, C ? ? (3 ? 4k 2 ) ? , ? 又因为点 C 在椭圆上, 所以,

? 6t ?， 2 (3 ? 4k ) ? ? ?

8k 2 t 2 6t 2 ? ?1 ， (3 ? 4k 2 )2 ? 2 (3 ? 4k 2 )2 ? 2

? ?2 ?

2t 2 2 ， ? 2 1 1 3 ? 4k 2 ( 2 ) ?( 2 )?1 t t
所以 (

因为 t 2 ? 0 所以

1 2 1 ) ? ( 2 ) ? 1 ? 1， 2 t t
(0, 2) .

0 ? ? 2 ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 ( ? 2 , 0)

【思路点拨】 求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答， 遇到直线 与椭圆位置关系问题，通常联立方程结合韦达定理进行解答. 已知 F1 , F2 分别是椭圆的左，右焦点，现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭 圆于点 M , N ，若过 F1 的直线 MF 1 是圆 F2 的切线，则椭圆的离心率为 A． 3 ? 1 B． 2 ? 3 C．

2 2

D．

3 2

【知识点】椭圆的几何性质 H5

MF1 是 圆 F2 的 切 线 ， 所 以 可 得 【答案】 【 解 析 】 A 解 析 ： 因 为 过 F1 的 直 线

?F1MF2 ? 90 , MF2 ? c

，因为

F1F2 ? 2c

，所以可得

MF1 ? 3c

，由椭圆定义可得

MF 1 ? MF2 ? c ? 3c ? 2a

e?
，可得题意离心率为

2 ? 3 ?1 1? 3 ，故选择 A.

F1F2 ? 2c，?F1MF2 ? 90? ， 从 而 得 到 【 思 路 点 拨 】 由 已 知 条 件 推 导 出 MF2 ? c，
MF1 ? 3c ，由此能求出椭圆的离心率．

已知椭圆 c： 0)，且

=1(a>6>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，上顶点为 B，Q 点坐标为(3， =0．

(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过定点 P(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点(M 在 P，N 之 间)，设直线 l 的斜率 为 k(k>0)，在 x 轴上是否存在点 A(m，0)， 使得以 AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形?若存 在，求出实 数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案】(1)

x2 y 2 3 ? ? 1 (2)m ? ? 4 3 6

【解析】(1)由题意知 Q（3,0）, F 1 B ? QB ,所以 c=1. 在 Rt ?F 中点，故 BF2 =2c-2,所以 a=2,b= 3 , 1 BQ 中， F2 为线段 FQ 1

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)设 y=kx+2(k>0) M( x1 , y1 ) N( x2 , y2 ),取 MN 中点 E( x0 , y0 ) 假设存在点 A（m,0）使得以 AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形，则 AE ? MN

? y ? kx ? 2 1 ? 2 ? (4k 2 ? 3) x2 ?16kx ? 4 ? 0 由 ? ? 0 得 k> ?x y2 2 ?1 ? ? 3 ?4
16k 8k 6 ,所以 x0 ? ， y0 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 6 ?0 2 1 1 4 k ? 3 ?? 因为 AE ? MN ，所以 k AE ? ? ，即 ?8k k k ?m 2 4k ? 3 2k 2 整理得 m= ? 2 = 3 4k ? 3 4k ? k
因为 x1 ? x2 ? 因为 k>

3 1 ， 4k ? ?4 3， k 2

1 4k ? 3 k

? (0,

3 3 ) ，所以)m ? ? 6 12

【思路点拨】根据椭圆中 a,b,c 的关系求出方程，根据直线与椭圆联立求出 m 的范围。

设 F1 , F2 分别为双曲线 x ? y ? 1的左， 右焦点， P 是双曲线上在 x 轴上方的点， ?F1PF
2 2

为直角，则 sin ?PF 1F2 的所有可能取值之和为

A．

8 3

B．2

C．

6

D．

6 2

【知识点】双曲线的性质. H6 【答案】 【解析】D 解析：设 P 是第一象限点，且 PF 1 ? m, PF2 ? n ，则

? ?m ? n ? 2 m?n 2 3 6 ?m ? 3 ? 1 ? ，所以所求= ，故选 D. ? ? ? 2 ? 2 2c 2 2 2 ?m ? n ? 8 ? ?n ? 3 ? 1
【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得 P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距 的比值为所求.

已知过点 M (

p ,0) 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A，B 两点，且 2

OA OB ? ?3 ，其中 O 为坐标原点．
(1)求 p 的值； (2)当 AM ? 4 BM 最小时，求直线 l 的方程． 【知识点】抛物线的定义及其标准方程；直线与抛物线的位置关系；基本不等式求最值. H7 H8 E6

【答案】 【解析】 （1）2；(2) 4x ? 2 y ? 4 ? 0 . 解析： （1）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，直线 l 的方程为 x ? my ?

p . 2

p ? ? x ? my ? 2 2 由? 2 消去 x 得 y ? 2 pmy ? p ? 0 . ? y 2 ? 2 px ?
所以 y1 ? y2 ? 2 pm, y1 y2 ? ? p2 . ∵ OA ? OB ? ?3,? x1x2 ? y1 y2 ? ?3 ，又 x1 x2 ?
2 y12 y2 p2 ， ? ? 2p 2p 4

∴

p2 ? p 2 ? ?3 ? p 2 ? 4. 4

p ? 0,? p ? 2 .----4 分
p p ? x1 ? 1, BM ? x2 ? ? x2 ? 1 , 2 2

（2）由抛物线定义， AM ? x1 ?

∴ AM ? 4 BM ? x1 ? 4 x2 ? 5 ? 2 4 x1 x2 ? 5 ? 9 ，当且仅当

x1 ? 4 x2 时取等号. ----------8 分
将 x1 ? 4 x2 代入 x1 x2 ?

p2 1 ? 1 中得 x2 ? ? (负值舍去). 2 4

将 x2 ?

1 ?1 ? 2 代入 y ? 4 x 得 y2 ? ? 2 ，即点 B 坐标为 ? , ? 2 ? .---10 分 2 ?2 ?

将点 B 坐标代入 x=my+1,得 m ? ?

2 . 4

∴ l 的方程为 x ? ?

2 y ? 1 ，即 4x ? 2 y ? 4 ? 0 .----12 分 4