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2015高考数学解析几何典型题目


已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ,直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则与 C 的位置关系是 A.一定相离 B..一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心
[

【知识点】直线与与圆的位置关系 H4 【答案】 【解析】C 解析:因为直线恒过点 ?1,1? ,且该点在圆的内部,所以直线与圆相交,

又因为圆的圆心坐标为 ?1,0 ? ,直线的斜率存在所以直线不能过圆心,故选择 C. 【思路点拨】根据直线恒过点在圆的内部,可得直线与圆相交,又因为直线恒过的点与圆心 在一条斜率不存在的直线上,而直线斜率存在,所以不过圆心.

已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ,短轴端点到焦点的距离为 2。 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 A,B 是椭圆 C 上的任意两点, O 是坐标原点,且 OA⊥OB ①求证:原点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求出该定值; ②任取以椭圆 C 的长轴为直径的圆上一点 P,求 ?PAB 面积的最大值 【知识点】椭圆方程,直线与椭圆位置关系 H5 H8

x2 2 5 ? y 2 ? 1;(2)① 【答案】【解析】 (1) ;② 1 ? 5 . 4 5
解析:(1)设椭圆的半焦距为 c,由题意

c 3 ,且 a=2, 得 c ? 3 ,b=1,∴所求椭 ? a 2

圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4
2 5 ,原点 O 到直线 AB 的距离 5

(2)①当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x ? ?



2 5 ,当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 5

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 2 则由 ? 4 ,得: (1+4k )x +8kmx+4m -4=0,△=16(1+4k -m )>0, ? y ? kx ? m ?

8km 4m 2 ? 4 5m2 ? 4 ? 4k 2 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ?0 , 得 , 由 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

m2 ?

4 ?1 ? k 2 ? ,∴原点 O 到直线 AB 的距离 d ? 5

m k 2 ?1

?

4 1? k 2 ? ? 2 5 5 , ? 5 1? k 2

综上所述,原点 O 到直线 AB 的距离为

2 5 ; 5

②当直线 AB 的斜率不存在时 AB ?

4 5 ,当直线 AB 的斜率存在时, 5

4 9k 2 , AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1? 16k 4 ? 8k 2 ? 1 5
2

当 k≠0 时, AB ?

4 9 1 1? ? 5 ,当 k ? ? 时等号成立.当 k=0 时, 1 2 5 16k 2 ? 2 ? 8 k

AB ?

4 5 2 5 .∴|AB|最大值为 5 .由①知:点 P 到直线 AB 的距离最大值为 ? 2 ,∴ 5 5

S△PAB 的最大值为 1 ? 5 . 【思路点拨】 求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答, 遇到直线 与椭圆位置关系问题,通常联立方程结合韦达定理进行解答. 如图,已知圆 G:x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,经过椭圆 上顶点 B,过圆外一点 (m,0)(m ? a) 倾斜角为

5? 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点, 6

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及 a2 b2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.

【知识点】椭圆方程 直线与椭圆 H5 H8 【答案】 (Ⅰ)

x2 y2 (Ⅱ) 3 ? m ? 2 3 . ? ? 1; 6 2

【解析】解析: (Ⅰ)∵圆 G: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F、B.

∴F(2,0) ,B(0, 2 ) , ∴c ? 2 ,b ?

2 . ∴ a 2 ? 6 .故椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 2

? x2 y2 ? ?1 ? ?6 2 3 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? ? 消去 y 得 ( x ? m)(m ? 6 ) .由 ? 3 3 ?y ? ? ( x ? m) ? 3 ?

2x 2 ? 2mx ? (m2 ? 6) ? 0 .
设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x 2 ?

m2 ? 6 , 2

∴ y1 y 2 ? [?

3 3 1 m m2 . ( x1 ? m)] ? [? ( x2 ? m)] ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 3 3

∵ FC ? ( x1 ? 2, y1 ) , FD ? ( x2 ? 2, y2 ) , ∴ FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ? =

4 (m ? 6) m2 x1 x2 ? ( x1 x2 ) ? ?4 3 3 3

2m(m ? 3) . 3

∵点 F 在圆 G 的外部, ∴ FC ? FD ? 0 , 即

2m( m ? 3) ? 0 ,解得 m ? 0 或 m ? 3 . 3

由△= 4m 2 ? 8(m 2 ? 6) ? 0 ,解得 ? 2 3 ? m ? 2 3 .又 m ?

6, 6 ?m?2 3.

∴3? m ? 2 3 . 【思路点拨】根据圆与 x 轴的交点求得 F(2,0) ,B(0, 2 ) ,可得椭圆方程;设直线 l 的

m2 ? 6 3 , ( x ? m)(m ? 6 ) 与椭圆方程联立,得到 x1 ? x2 ? m , x1 x 2 ? 2 3 因为点 F 在圆 G 的外部, 所以 FC ? FD ? 0 , 即 FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 >0,求得
方程为 y ? ?

3? m? 2 3.

已知 F1 , F2 分别是椭圆的左,右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭 圆于点 M , N ,若过 F1 的直线 MF 1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为 A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C.

2 2

D.

3 2

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】 【 解 析 】 A 解 析 : 因 为 过 F1 的 直 线 MF 1 是 圆 F2 的 切 线 , 所 以 可 得

?F1MF2 ? 90 , MF2 ? c ,因为 F1F2 ? 2c ,所以可得 MF1 ? 3c ,由椭圆定义可得
MF 1 ? MF2 ? c ? 3c ? 2a ,可得题意离心率为 e ?
2 ? 3 ? 1 ,故选择 A. 1? 3

F1F2 ? 2c,?F1MF2 ? 90? , 从 而 得 到 【 思 路 点 拨 】 由 已 知 条 件 推 导 出 MF2 ? c,
MF1 ? 3c ,由此能求出椭圆的离心率.

椭圆 C 的两个焦点分别是 F1, F2 若 C 上的点 P 满足 e 的取值范围是

, 则椭圆 C 的离心率

【知识点】椭圆的性质. H5 【答案】 【解析】C 解析:∵ PF1 ?

3 F2 F2 ? 3c, ∴ PF2 ? 2a ? 3c ,由三角形中,两边 2

之和大于第三边得 ?

?2c ? 3c ? 2a ? 3c 1 c 1 ? ? ? ,故选 C. ?2c ? 2a ? 3c ? 3c 4 a 2

【思路点拨】利用椭圆定义,三角形的三边关系,椭圆离心率计算公式求得结论.

0 ? 、 B ? 2, 0 ? ,动点 P 与 A 、B 两点连线的斜率 k PA 、k PB 满足 k PA ? k PB ? ? 已知两点 A ? ?2,
(Ⅰ) 求动点 P 的轨迹 E 的方程;

1 . 4

(Ⅱ)H 是曲线 E 与 y 轴正半轴的交点,曲线 E 上是否存在两点 M 、N ,使得 ?HMN 是以 H 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由. 【知识点】求轨迹方程 直线与圆锥曲线 H5 H8 【答案】(Ⅰ)
x2 (Ⅱ) 3 个. ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ); 4

【解析】解析:(Ⅰ)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ( x ? ?2 ),则 k PA ? 依题意 k PA ? k PB ? ?

y?0 y?0 , k PB ? ,…2 分 x?2 x?2

1 y y 1 x2 ? ? ? ,化简得 ,所以 ? y 2 ? 1 ,……………4 分 4 x?2 x?2 4 4

所以动点 P 的轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ).……………………………5 分 4

注:如果未说明 x ? ?2 (或注 y ? 0 ),扣 1 分. (Ⅱ) 设能构成等腰直角 ?HMN ,其中 H 为 ? 0,1? ,由题意可知,直角边 HM , HN 不可能垂 直或平行于 x 轴,故可设 HM 所在直线的方程为 y ? kx ? 1 , (不妨设 k ? 0 ),则 HN 所在直线的方程为 y ? ? 联立方程 ?
1 x ? 1 ………………………………7 分 k
2

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y ? 4
2 2

,消去 y 整理得 1 ? 4k

?

2

?x

? 8kx ? 0 ,解得 xM ? ?

8k , 1 ? 4k 2
M

将 xM ? ?

8k ?8k 2 y ? kx ? 1 代 入 可 得 y ? ?1 , 故 点 M 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

的 坐 标 为

? ? 8k ?8k 2 M ?? , ? 1? . 2 2 ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?
8k ? ? 8k 2 ? 8k 1 ? k 2 ? 所以 HM ? ? ? ,………………………………9 分 ? ? ? ? ? 2 ? 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? ? 1 ? 4k ?
同理可得 HN ?
8 1? k 2 ,由 4?k 2
2 2

HM ? HN ,得 k 4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 ,

?

?

所 以 k 3 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 0 , 整 理 得

? k ? 1? ? k2

? 3 k ?1 ? ?0, 解 得

k ?1 或

k?

3? 5 ……………11 分 2

3? 5 ?3? 5 当 HM 斜率 k ? 1 时, HN 斜率 ? 1 ;当 HM 斜率 k ? 时, HN 斜率 ; 2 2
当 HM 斜率 k ?

3? 5 ?3? 5 时, HN 斜率 , 2 2

综上所述,符合条件的三角形有 3 个.…………………………………………………14 分 【思路点拨】(Ⅰ)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ( x ? ?2 ),由题意列的 k PA ? k PB ? ?
P 的轨迹 E 的方程为

1 ,化简得, 4

x2 (Ⅱ) 直角边 HM , HN 不可能垂直或平行于 x ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ); 4

轴,故可设 HM 所在直线的方程为 y ? kx ? 1 ,与椭圆方程联立可得 xM ? ? 线得 yM ?

8k , 代入直 1 ? 4k 2

?8k 2 2 2 8 1? k 2 ,可得 ,由 HM ? HN ,得 k 4 ? k ? 1 ? 4k ,解 ? 1 HN ? 2 2 4?k 1 ? 4k

?

?

得方程有三个解,所以符合条件的三角形有 3 个.

已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P (2, 3) ,且它的离心率 e ?

1 . 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭 圆于 M,N 两点,若椭圆上一点 C 满足 OM ? ON ? ? OC ,求实数 ? 的取值范围.
y N

O M

x

【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】【解析】 (Ⅰ)

x2 y2 ? ? 1 ;(Ⅱ) ( ? 2 , 0) (0, 8 6

2)

解析:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a2 b2

?4 3 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? ?a 2 ?c 2 ? a 2 ? b2 ? ?

2 ? ?a ? 8 解得 ? , 2 ? ?b ? 6

所以椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1 8 6
l
:

( Ⅱ ) 以,

因 为 直 线

y ? kx ? t

与 圆

( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相 切



t?k

1? t2 ? 1 ? 2k ? ( t ? 0) , t 1? k2

x2 y2 把 y ? kx ? t 代 入 ? ? 1 并 整 理 得 : (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 , 设 8 6

M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 )

,





x1 ? x 2 ? ?
6t , 3 ? 4k 2
? 8kt

8kt 3 ? 4k 2



y1 ? y 2 ? kx1 ? t ? kx2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ?
?

因为, ? OC ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) , 所以, C ? ? (3 ? 4k 2 ) ? , ? 又因为点 C 在椭圆上, 所以,

? 6t ?, 2 (3 ? 4k ) ? ? ?

8k 2 t 2 6t 2 ? ?1 , (3 ? 4k 2 )2 ? 2 (3 ? 4k 2 )2 ? 2

? ?2 ?

2t 2 2 , ? 2 1 1 3 ? 4k 2 ( 2 ) ?( 2 )?1 t t
所以 (

因为 t 2 ? 0 所以

1 2 1 ) ? ( 2 ) ? 1 ? 1, 2 t t
(0, 2) .

0 ? ? 2 ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 ( ? 2 , 0)

【思路点拨】 求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答, 遇到直线 与椭圆位置关系问题,通常联立方程结合韦达定理进行解答. 已知 F1 , F2 分别是椭圆的左,右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭 圆于点 M , N ,若过 F1 的直线 MF 1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为 A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C.

2 2

D.

3 2

【知识点】椭圆的几何性质 H5

MF1 是 圆 F2 的 切 线 , 所 以 可 得 【答案】 【 解 析 】 A 解 析 : 因 为 过 F1 的 直 线

?F1MF2 ? 90 , MF2 ? c

,因为

F1F2 ? 2c

,所以可得

MF1 ? 3c

,由椭圆定义可得

MF 1 ? MF2 ? c ? 3c ? 2a

e?
,可得题意离心率为

2 ? 3 ?1 1? 3 ,故选择 A.

F1F2 ? 2c,?F1MF2 ? 90? , 从 而 得 到 【 思 路 点 拨 】 由 已 知 条 件 推 导 出 MF2 ? c,
MF1 ? 3c ,由此能求出椭圆的离心率.

已知椭圆 c: 0),且

=1(a>6>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 B,Q 点坐标为(3, =0.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过定点 P(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点(M 在 P,N 之 间),设直线 l 的斜率 为 k(k>0),在 x 轴上是否存在点 A(m,0), 使得以 AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形?若存 在,求出实 数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案】(1)

x2 y 2 3 ? ? 1 (2)m ? ? 4 3 6

【解析】(1)由题意知 Q(3,0), F 1 B ? QB ,所以 c=1. 在 Rt ?F 中点,故 BF2 =2c-2,所以 a=2,b= 3 , 1 BQ 中, F2 为线段 FQ 1

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)设 y=kx+2(k>0) M( x1 , y1 ) N( x2 , y2 ),取 MN 中点 E( x0 , y0 ) 假设存在点 A(m,0)使得以 AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形,则 AE ? MN

? y ? kx ? 2 1 ? 2 ? (4k 2 ? 3) x2 ?16kx ? 4 ? 0 由 ? ? 0 得 k> ?x y2 2 ?1 ? ? 3 ?4
16k 8k 6 ,所以 x0 ? , y0 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 6 ?0 2 1 1 4 k ? 3 ?? 因为 AE ? MN ,所以 k AE ? ? ,即 ?8k k k ?m 2 4k ? 3 2k 2 整理得 m= ? 2 = 3 4k ? 3 4k ? k
因为 x1 ? x2 ? 因为 k>

3 1 , 4k ? ?4 3, k 2

1 4k ? 3 k

? (0,

3 3 ) ,所以)m ? ? 6 12

【思路点拨】根据椭圆中 a,b,c 的关系求出方程,根据直线与椭圆联立求出 m 的范围。

设 F1 , F2 分别为双曲线 x ? y ? 1的左, 右焦点, P 是双曲线上在 x 轴上方的点, ?F1PF
2 2

为直角,则 sin ?PF 1F2 的所有可能取值之和为

A.

8 3

B.2

C.

6

D.

6 2

【知识点】双曲线的性质. H6 【答案】 【解析】D 解析:设 P 是第一象限点,且 PF 1 ? m, PF2 ? n ,则

? ?m ? n ? 2 m?n 2 3 6 ?m ? 3 ? 1 ? ,所以所求= ,故选 D. ? ? ? 2 ? 2 2c 2 2 2 ?m ? n ? 8 ? ?n ? 3 ? 1
【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理,求得 P 到两焦点的距离,这两距离和与焦距 的比值为所求.

已知过点 M (

p ,0) 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A,B 两点,且 2

OA OB ? ?3 ,其中 O 为坐标原点.
(1)求 p 的值; (2)当 AM ? 4 BM 最小时,求直线 l 的方程. 【知识点】抛物线的定义及其标准方程;直线与抛物线的位置关系;基本不等式求最值. H7 H8 E6

【答案】 【解析】 (1)2;(2) 4x ? 2 y ? 4 ? 0 . 解析: (1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 x ? my ?

p . 2

p ? ? x ? my ? 2 2 由? 2 消去 x 得 y ? 2 pmy ? p ? 0 . ? y 2 ? 2 px ?
所以 y1 ? y2 ? 2 pm, y1 y2 ? ? p2 . ∵ OA ? OB ? ?3,? x1x2 ? y1 y2 ? ?3 ,又 x1 x2 ?
2 y12 y2 p2 , ? ? 2p 2p 4



p2 ? p 2 ? ?3 ? p 2 ? 4. 4

p ? 0,? p ? 2 .----4 分
p p ? x1 ? 1, BM ? x2 ? ? x2 ? 1 , 2 2

(2)由抛物线定义, AM ? x1 ?

∴ AM ? 4 BM ? x1 ? 4 x2 ? 5 ? 2 4 x1 x2 ? 5 ? 9 ,当且仅当

x1 ? 4 x2 时取等号. ----------8 分
将 x1 ? 4 x2 代入 x1 x2 ?

p2 1 ? 1 中得 x2 ? ? (负值舍去). 2 4

将 x2 ?

1 ?1 ? 2 代入 y ? 4 x 得 y2 ? ? 2 ,即点 B 坐标为 ? , ? 2 ? .---10 分 2 ?2 ?

将点 B 坐标代入 x=my+1,得 m ? ?

2 . 4

∴ l 的方程为 x ? ?

2 y ? 1 ,即 4x ? 2 y ? 4 ? 0 .----12 分 4


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