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广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试数学理试题(WORD解析版)

时间:2013-10-07


2013 年广东省惠州市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 分) (5 (2013?惠州一模)若集合 A={x|x2 ﹣4x﹣5=0},B={x|x2 =1},则 A∩B=( ) A. ﹣1 B. {﹣1} C. {5,﹣1}

D. {1,﹣1} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 分别求出集合 A 和 B 中一元二次方程的解,确定出两集合,找出两集合的公共元素,即可求出两 集合的交集. 解答: 解:由集合 A 中的方程 x2 ﹣4x﹣5=0, 变形得: (x﹣5) (x+1)=0, 解得:x=5 或 x=﹣1, ∴集合 A={﹣1,5}, 由集合 B 中的方程 x2 =1, 解得:x=1 或 x=﹣1, ∴集合 B={﹣1,1}, 则 A∩B={﹣1}. 故选 B 点评: 此题属于以一元二次方程的解法为平台,考查了交集及其运算,是高考中常考的基本题型. 2. 分) (5 (2013?惠州一模) 已知复数 z=i (1+i) 为虚数单位) 则复数 z 在复平面上所对应的点位于 (i , ( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 )

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 首先进行复数的乘法运算,写成复数的代数形式,写出复数对应的点的坐标,根据点的横标和纵标 和零的关系,确定点的位置. 解答: 解:∵z=i(1+i)=﹣1+i, ∴z=i(1+i)=﹣1+i 对应的点的坐标是(﹣1,1) ∴复数在复平面对应的点在第二象限. 故选 B. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘法运算,考查复数在复平面上对应的点的坐标,本题是一个基础题, 这种题目若出现一定是一个必得分题目. 3. 分) (5 (2011?陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的方程是( A. y =﹣8x
2



B. y =8x

2

C. y =﹣4x

2

D. y =4x

2

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题.

分析: 根据准线方程求得 p,则抛物线的标准方程可得. 解答: 解:∵准线方程为 x=﹣2 ∴ =2 ∴p=4 ∴抛物线的方程为 y2 =8x 故选 B 点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了考生对抛物线基础知识的掌握. 4. 分) (5 (2013?惠州一模)如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为( )

A. 36

(π+



B. 36

(π+2)

C. 108

π

D. 108(



考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 几何体是一个简单的空间组合体,前面是半个圆锥,圆锥的底面是半径为 6 的圆,母线长是 12, 后面是一个三棱锥,三棱锥的底边长是 12、高为 6 的等腰三角形,三棱锥的高是 12,求出两个几 何体的体积,求和得到结果. 解答: 解:由三视图知,几何体是一个简单的空间组合体, 前面是半个圆锥,圆锥的底面是半径为 6 的圆,母线长是 12, ∴根据勾股定理知圆锥的高是 6 ∴半个圆锥的体积是 , =36 , ,

×π×62×6

后面是一个三棱锥,三棱锥的底是边长为 12、高为 6 的等腰三角形,三棱锥的高是 6 ∴三棱锥的体积是 × ×12×6×6 ∴几何体的体积是 36 故选 B. 是一个基础题. +72 =72 =36 , (π+2) ,

点评: 本题考查由三视图求几何体的体积,考查由三视图还原几何体直观图,考查锥体的体积公式,本题

5. 分) (5 (2013?惠州一模)已知向量 A. 2 B. ﹣2

, C. ﹣3

, D. 3

,则 m=(



考点: 平行向量与共线向量;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意求出

,通过共线,列出关系式,求出 m 的值.

解答:

解:因为向量 又 ,



,所以

=(2,1+m) ;

所以﹣1×(1+m)﹣1×2=0, 解得 m=﹣3. 故选 C. 点评: 本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算,考查计算能力. 6. 分) (5 (2013?惠州一模)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4) ,若 P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+2) ,则 a 的值为( ) A. B. C. 5 D. 3

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题. 分析: 根据随机变量符合正态分布, 又知正态曲线关于 x=3 对称, 得到两个概率相等的区间关于 x=3 对称, 得到关于 a 的方程, ,解方程即可. 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4) , ∵P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+2) , ∴2a﹣3 与 a+2 关于 x=3 对称, ∴2a﹣3+a+2=6, ∴3a=7, ∴a= , 故选 A. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义, 本题主要考查曲线关于 x=3 对称, 考查关于直 线对称的点的特点,本题是一个基础题,若出现是一个得分题目. 7. 分) (5 (2013?惠州一模)已知函数 f(x)=3x +x﹣9 的零点为 x0 ,则 x0 所在区间为( A. B. C. D. [﹣ ,﹣ ] [﹣ , ] [ , ] [ , ] )

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 解答: 根据函数 f(x)在 R 上连续,f( )<0,f( )>0,从而判断函数的零点 x0 所在区间为[ , ]. 解:∵函数 f(x)=3x +x﹣9 在 R 上连续,f( )= + ﹣9<0,f( )= + ﹣9>0,

f( )f( )<0,故函数的零点 x0 所在区间为[ , ], 故选 D. 点评: 本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题.

8. 分) (5 (2008?辽宁)设 P 为曲线 C:y=x2 +2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 ,则点 P 横坐标的取值范围是( A. B. [﹣1,0] ) C. [0,1] D.

考点: 导数的几何意义. 专题: 压轴题. 分析: 根据题意知,倾斜角的取值范围,可以得到曲线 C 在点 P 处斜率的取值范围,进而得到点 P 横坐 标的取值范围. 解答: 解:设点 P 的横坐标为 x0 , ∵y=x +2x+3, ∴y' =2x0 +2,
2

利用导数的几何意义得 2x0 +2=tanα(α 为点 P 处切线的倾斜角) , 又∵ ∴ 故选 A. 点评: 本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题. 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 分) (5 (2013?惠州一模)在等差数列{an }中,有 a6 +a7 +a8=12,则此数列的前 13 项之和为 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可知,a6 +a7 +a8=3a7 可求 a7 ,然后代入等差数列的求和公式 =13a7 即可求解 解答: 解:由等差数列的性质可知,a6 +a7 +a8=3a7 =12 ∴a7 =4 ∴ 故答案为:52 点评: 本题主要考查了等差 数列的性质及 等差数列的求和公式的简单应用,属于基础试题 =13a7 =52 ,∴0≤2x0 +2≤1,

52



10. 分) (5 (2013?惠州一模)

展开式中,常数项是 60



考点: 二项式定理. 分析: 据二项展开式的通项公式求得第 r+1 项,令 x 的指数为 0 得常数项.

解答: 解: 令 得 r=2 展开式的通项为 =

故展开式的常数项为 T3 =(﹣2)2 C6 2 =60 故答案为 60. 点评: 二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具.

11. 分) (5 (2013?惠州一模)执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是



考点: 程序框图. 专题: 计算题;图表型. 分析: 框图首先给变量 S,k 赋值 S=2,k=1,然后判断 k<2013 是否成立,成立则执行



否则跳出循环, 输出 S, 然后依次判断执行, 由执行结果看出, 的值呈周期出现, S 根据最后当 k=2013 时算法结束可求得 S 的值. 解答: 解:框图首先给变量 S,k 赋值 S=2,k=1. 判断 1<2013,执行 S= 判断 2<2013,执行 S= 判断 3<2013,执行 S= ,k=1+1=2; ,k=2+1=3; ,k=3+1=4;

判断 4<2013,执行 S= …

,k=4+1=5;

程序依次执行,由上看出,程序每循环 3 次 S 的值重复出现 1 次. 而由框图看出,当 k=2012 时还满足判断框中的条件,执行循环,当 k=2013 时,跳出循环. 又 2013=671×3. 所以当计算出 k=2013 时,算出的 S 的值为 . 此时 2013 不满足 2013<2013,跳出循环,输出 S 的值为 故答案为 . 点评: 本题考查了程序框图,是当型结构,即先判断后执行,满足条件执行循环,不满足条件,跳出循环, 算法结束,解答的关键是算准周期.是基础题. 12. 分) (5 (2013?惠州一模)已知集合 A、B、C,A={直线},B={平面},C=A∪B.若 a∈A,b∈B,c∈C, 给出下列四个命题: ① ② ③ ④ 其中所有正确命题的序号是 ④ .

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;命题的真假判断与应用. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意可知:c 可以是直线,也可以是平面,当 c 表示平面时,①③都不正确;在正方体中举出反 例可得②不正确;而根据空间位置关系进行推理可得④正确,由此可得本题的答案. 解答: 解:对于①,当 c 表示平面时,根据 a∥b 且 c∥b, 不一定有 a∥c 成立,可能 a?c,故①不正确; 对于②,以正方体过同一个顶点的三条棱为 a、b、c, 可得 a⊥b 且 c⊥b,但是 a、c 是相交直线,故②不正确; 对于③,当 c 表示平面时,由 a∥b 且 c⊥b 不能推出 a⊥c 成立,故③不正确; 对于④,用与③相同的方法,可证出 a⊥c 成立,故④正确 综上,正确命题的序号为④ 故答案为:④ 点评: 本题给出关于位置关系的几个命题,叫我们找出其中的真命题.着重考查了平行公理及其推论、线 面平行与线面垂直的判定与性质和命题真假的判断等知识,属于基础题.

13. 分) (5 (2013?惠州一模)设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x﹣2y 的最小值



﹣4



考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 先根据条件画出可行域,设 z=3x﹣2y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y 轴上的截距最 大,只需求出直线 z=3x﹣2y,过可行域内的点 A 时的最小值,从而得到 z 最小值即可. 解答: 解:在坐标系中画出可行域,如图所示 由 z=3x﹣2y 可得 y= ,则﹣ 表示直线 z=3x﹣2y 在 y 轴上的截距,截距越大,z 越小

平移直线 3x﹣2y=0 经过点 A 时,z 最小, 由 可得 A(0,2) ,此时最小值为:﹣4,

则目标函数 z=3x﹣2y 的最小值为﹣4. 故答案为:﹣4.

点评: 借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的 最优解,通常是利用平移直线法确定 14. 分) (5 (2013?惠州一模) (坐标系与参数方程选做题) 若直线 l 的极坐标方程为 大值为 . ,曲线 C:ρ=1 上的点到直线 l 的距离为 d,则 d 的最

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出直线的直角坐标方程,圆的直角坐标方程,通过圆心到直线的距离求出 d 的最大值. 解答: 解:直线的直角坐标方程为 x+y﹣6=0,曲线 C 的方程为 x2 +y2 =1,为圆; d 的最大值为圆心到直线的距离加半径,即为 故答案为: . 点评: 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线与圆的位置关系,考查计算能力.

15. (2013?惠州一模) (几何证明选做题) 如图圆 O 的直径 AB=6, 是 AB 的延长线上一点, P 过点 P 作圆 O 的切线, 切点为 C, 连接 AC, 若∠CPA=30°, 则 PC= 3 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 压轴题;直线与圆. 分析: 连接 OC,由 PC 是⊙O 的切线,可得 OC⊥PC,于是 ,即可解出.

解答: 解:连接 OC,∵PC 是⊙O 的切线,∴OC⊥PC, 又∵∠CPA=30°,R=3, ∴ ∴ . ,

故答案为 . 点评: 熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2013?惠州一模)已知 f(x)=Asin(ωx+φ)+1, (x∈R,其中 的周期为 π,且图象上一个最低点为 M( (1)求 f(x)的解析式; (2)当 时,求 f(x)的值域. ) )

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)通过函数的周期求出 ω,利用函数图象上一个最低点求出 A,列出关系式求出 φ,推出函数 的解析式. (2)利用函数的解析式,通过 x 的范围,求出相位的范围,利用正弦函数的值域求解函数的值域 即可. 解答: 解: (1)因为函数的周期为 π,所以 T= 因为函数图象上一个最低点为 M( 所以﹣A+1=﹣1,所以 A=2, 并且﹣1=2sin(2× +φ)+1,可得 sin(2× +φ)=﹣1, ,所以 ω=2, )

=2kπ﹣ φ=2kπ﹣ 因为

,k∈Z,

,k∈Z, ,所以 k=1,解得 φ= . )+1. ,2x+ ) ∈[ , ],

函数的解析式为:f(x)=2sin(2x+ (2)因为 sin(2x+ 2sin(2x+ ) )+1 ,所以

,∴2sin(2x+ ,

所以 f(x)的值域为: . 点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,函数的值域的求法,基本知识的应用,考查计算能力. 17. (12 分) (2013?惠州一模)在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科 目.已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表: 科目甲 第一小组 1 科目乙 5 总计 6 6 12

第二小组 2 4 总计 3 9 现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况.

(1)求选出的 4 人均选科目乙的概率; (2)设 ξ 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 ξ 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (1)设“从第一小组选出的 2 人选科目乙”为事件 A,“从第二小组选出的 2 人选科目乙”为事件 B, 利用古典概型的概率计算公式可求得 P(A) 、P(B) ,再利用独立事件同时发生的概率公式可得答 案; (2)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,根据古典概型的概率计算公式分别求得 P(ξ=0) ,P(ξ=1) ,P (ξ=3) ,再用对立事件的概率求得 P(ξ=2) ,从而可得分布列,由数学期望的定义可得 ξ 的数学期 望; 解答: 解: (1)设“从第一小组选出的 2 人选科目乙”为事件 A,“从第二小组选出的 2 人选科目乙”为事件 B, 由于事件 A、B 相互独立,且 P(A)= 所以选出的 4 人均选科目乙的概率为: P(A?B)=P(A)?P(B)= (2)ξ 可能的取值为 0,1,2,3, ; ,P(B)= ,

则 P(ξ=0)=

,P(ξ=1)=

+

=

,P(ξ=3)=

=

,P(ξ=2)=1﹣P(ξ=0)

﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=3)= , ξ 的分布列为:

所以 ξ 的数学期望为:0×

+1×

+2× +3×

=1.

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及古典概型的概率计算公式,考查学生对表格的理解 应用能力,属中档题. 18. (14 分) (2013?惠州一模)如图,ABC﹣A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2, 点 M,N 分别为 A1B 和 B1C1 的中点. (1)证明:MN∥平面 A1 ACC1 ; (2)求二面角 N﹣MC﹣A 的正弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) 如图所示, A1 B1 的中点 P, 取 连接 MP, 利用三角形的中位线定理可得 NP∥A1 C1 , NP. MP∥B1 B; 再利用线面平行的判定定理可得 NP∥平面 A1 ACC1 ;MP∥平面 A1 ACC1 ;利用面面平行的判定定 理可得平面 MNP∥平面 A1 ACC1 ;进而得到线面平行 MN∥平面 A1 ACC1 ; (2)通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得出. 解答: 解: (1)如图所示,取 A1 B1 的中点 P,连接 MP,NP. 又∵点 M,N 分别为 A1 B 和 B1 C1 的中点,∴NP∥A1 C1 ,MP∥B1 B, ∵NP?平面 MNP,A1 C1 ?平面 MNP,∴NP∥平面 A1 ACC1 ; 同理 MP∥平面 A1 ACC1 ; 又 MP∩NP=P, ∴平面 MNP∥平面 A1 ACC1 ; ∴MN∥平面 A1 ACC1 ; (2)侧棱与底面垂直可得 A1 A⊥AB,A1 A⊥AC,及 AB⊥AC,可建立如图所示的空间直角坐标

系. 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) 1 (0,0,2) 1 (2,0,2) 1 (0,2,2) ,A ,B ,C , N(1,1,2) ,M(1,0,1) . ∴ =(﹣1,2,﹣1) , =(1,﹣1,2) , =(x1 ,y1 ,z1 ) ,则 =(0,2,0) . ,令 x1 =1,则 z1 =

设平面 ACM 的法向量为 ﹣1,y1 =0. ∴ =(1,0,﹣1) .

设平面 NCM 的法向量为 z2 =﹣1. ∴ =(3,1,﹣1) .

=(x2 ,y2 ,z2 ) ,则

,令 x2 =3, y2 =1, 则



=

=

=



设二面角 N﹣MC﹣A 为 θ,则 故二面角 N﹣MC﹣A 的正弦值为 .

=

=



点评: 本题综合考查了线面平行、面面平行、二面角、三角形的中位线定理、平面的法向量等基础知识, 考查了空间想象能力、推理能力和计算能力.

19. (14 分) (2013?惠州一模)已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的方程;

的椭圆过点(



) .

(2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 求△ OPQ 面积的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (1)设出椭圆的方程,将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参 数的等式,解方程组求出 a,b,c 的值,代入椭圆方程即可. (2)设出直线的方程,将直线方程与椭圆方程联立,消去 x 得到关于 y 的二次方程,利用韦达定 理得到关于两个交点的坐标的关系,将直线 OP,PQ,OQ 的斜率用坐标表示,据已知三个斜率成 等比数列,列出方程,将韦达定理得到的等式代入,求出 k 的值,利用判别式大于 0 得到 m 的范 围,将△ OPQ 面积用 m 表示,求出面积的范围. 解答: 解: (1)由题意可设椭圆方程为 (a>b>0) ,则





所以,椭圆方程为



(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0) ,P(x1 ,y1 ) ,Q(x2 ,y2 ) ,



消去 y 得

(1+4k2 )x2+8kmx+4(m2 ﹣1)=0, 则△ =64k2 b2 ﹣16(1+4k2 b2 ) 2 ﹣1)=16(4k2 ﹣m2 +1)>0, (b 且 , .

故 y1 y2 =(kx1 +m) (kx2+m)=k2 x1 x2 +km(x1 +x2 )+m2 . 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 所以 =k2 ,



+m =0,又 m≠0,

2

所以 k = ,即 k=

2



由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△ >0,得 0<m2 <2 且 m2 ≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离, 则 S△ OPQ= d|PQ|= |x1 ﹣x2 ||m|= ,

所以 S△ OPQ 的取值范围为(0,1) . 点评: 求圆锥曲线的方程,一般利用待定系数法;解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般设出直线方 程,将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个未知数,得到关于一个未知数的二次方程,利用韦 达定理,找突破口.注意设直线方程时,一定要讨论直线的斜率是否存在. 20. (14 分) (2013?惠州一模)已知函数 f(x)=logm x(mm 为常数,0<m<1) ,且数列{f(an )}是首项 为 2,公差为 2 的等差数列. (1)若 bn =an ?f(an ) ,当 m= 时,求数列{bn }的前 n 项和 Sn ;

(2)设 cn =an ?lgan ,如果{cn }中的每一项恒小于它后面的项,求 m 的取值范围. 考点: 数列的求和;数列的函数特性. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)用等差数列求和公式,结合对数的运算性质可得:an =m ,从而有 bn =n?( ) 位相减法结合等比数列的求和公式,得到数列{bn }的前 n 项和 Sn ; (2)由题意,不等式 cn <cn+1 对一切 n∈N* 成立,代入 an 的表达式并化简可得 m2 < ( 过讨论单调性可得当 n=1 时, 取值范围是(0, ) . )min .通
2n n ﹣1

,最后用错

的最小值是 ,从而得到 m2 < ,结合 0<m<1,得到实数 m 的

解答: 解: (1)由题意得 f(an )=2+2(n﹣1)=logm an ,可得 2n=logm an ,…(1 分) ∴an =m2n .…(2 分) bn =an ?f(an )=2n?m . ∵m= ,∴bn =an ?f(an )=2n?( )2n =n?( )n
﹣1

2n

,…(3 分)

∴Sn =1?( )0 +2?( )1 +3?( )2 +…+n?( )n
1 2 3 n

﹣1

,①

Sn =1?( ) +2?( ) +3?( ) +…+n?( ) ,②…(4 分)

①﹣②,得 Sn =( )0 +( )1 +( )2 +…+( )n

﹣1

﹣n?( )n =

…(6 分)

∴化简得:Sn =﹣(n+2) ) (

n ﹣1

+4 …(7 分)

(2)解:由(Ⅰ)知,c n =an ?lgan =2n?m2n lgm,要使 c n <cn+1 对一切 n∈N* 成立, 即 nlgm<(n+1)m lgm 对一切 n∈N 成立.…(8 分) ∵0<m<1,可得 lgm<0 ∴原不等式转化为 n>(n+1)m2 ,对一切 n∈N* 成立, 只需 m2 <( ∵h(n)= )min 即可,…(10 分) 在正整数范围内是增函数,∴当 n=1 时, ( .…(13 分) )min= .…(12 分)
2 *

∴m2 < ,且 0<m<1, ,∴0<m< 综上所述,存在实数 m∈(0,

)满足条件.…(14 分)

点评: 本题以对数运算和数列通项与求和运算为载体, 求数列的前 n 项和并求数列单调递增时参数的取值 范围,着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式,以及不等式恒成立问题的讨论等知识, 属于中档题. 21. (14 分) (2013?惠州一模)已知函数 f(x)=ax2 +bx+1 在 x=3 处的切线方程为 y=5x﹣8. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=kex 恰有两个不同的实根,求实数 k 的值; (3)数列{an }满足 2a1 =f(2) , ,求 的整数部分.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法;函数的零点与方程根的关系; 数列的求和. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: (1)把 x=3 代入切线方程,求出切点,把切点坐标代入二次函数得关于 a,b 方程,再由 f′(3) =5 得另一方程,联立求解 a,b 的值,则函数解析式可求; ﹣ (2)把(1)中求出函数 f(x)的解析式代入方程 f(x)=k ex,然后转化为 k=e x (x2 ﹣x+1) ,然 后利用导数求函数 g(x)=e x (x2 ﹣x+1)的极值,根据函数 g(x)的极值情况,通过画简图得到 ﹣ 使方程 k=e x (x2 ﹣x+1) ,即方程 f(x)=k ex 恰有两个不同的实根时的实数 k 的值; (3)由 2a1 =f(2)求出 a1 ,结合 进一步由 得到 求出 a2 ,并判断出数列{an }为递增数列, ,分别取 n=1,2,…,代入


后化简,则

的整数部分可求.

解答: 解: (1)由 f(x)=a x2 +bx+1,所以 f′(x)=2ax+b, 因为函数 f(x)=a x2 +bx+1 在 x=3 处的切线方程为 y=5x﹣8,所以切点为(3,7) . 则 ,解得:a=1,b=﹣1.

所以 f(x)=x2 ﹣x+1; (2)由(1)知 f(x)=x2 ﹣x+1,

关于 x 的方程 f(x)=kex 恰有两个不同的实根, 即 x ﹣x+1=k?e 有两个不同的实根,也就是 k=e (x ﹣x+1)有两个不同的实根. ﹣ 令 g(x)=e x (x2 ﹣x+1) , 则 g′(x)=(2x﹣1)e x ﹣(x2 ﹣x+1)e x ﹣ ﹣ =﹣(x2 ﹣3x+2)e x =﹣(x﹣1) (x﹣2)e x
﹣ ﹣

2

x

﹣x

2

由 g′(x)=0,得 x1 =1,x2 =2. 所以当 x∈(﹣∞,1)时,g (x)<0,g(x)在(﹣∞,1)上为减函数; 当 x∈(1,2)时,g′(x)>0,g(x)在(1,2)上为增函数; 当 x∈(2,+∞)时,g (x)<0,g(x)在(2,+∞)上为减函数; 所以,当 x=1 时,g(x)取得极小值 g(1)= ,当 x=2 时函数取得极大值 g(2)= 函数 y=k 与 y=g(x)的图象的大致形状如下, .
′ ′

由图象可知,当 k= 和

时,关于 x 的方程 f(x)=kex 恰有两个不同的实根; >1, >0, = .

(3)由 2a1 =f(2)=22 ﹣2+1=3,所以 又 所以 an+1 >an >1. 又

,所以 an+1 ﹣1=an (an ﹣1) , ,即 .



所以

=

=

=

=2

<2.

又 S=





的整数部分等于 1.

点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,考查了函数解析式的求解及常用方法,考查了函 数的零点与方程根的关系,考查了数列的和,解答此题的关键在于构造函数,然后利用导数分析函 数的极值借助于函数图象的大致形状分析函数零点的情况,是难度较大的题目.


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