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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:6.2 一元二次不等式的解法


第六章

第2讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 绍兴模拟]已知集合 M={y|y=2x, x>0}, N={x|y=lg(2x-x2)}, M∩N 为( 则 A. (1,2) C. [2,+∞) 答案:A 解析:集合 M={y|y>1},集合 N={x|0<x<2},所以

M∩N=(1,2). 2. [2013· 青海质检]不等式 x2-4>3|x|的解集是( A. (-∞,-4)∪(4,+∞) B. (-∞,-1)∪(4,+∞) C. (-∞,-4)∪(1,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 答案:A 解析:∵|x|2-3|x|-4>0, ∴(|x|-4)(|x|+1)>0, ∴|x|>4,x>4 或 x<-4,选 A 项. 3. 在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x-b)>0 的解集是(2,3),则 a+b =( ) A. 1 C. 4 答案:C 解析:(x-a)?(x-b)>0,即(x-a)[1-(x-b)]>0,即(x-a)[x-(b+1)]<0,该不等式的解 集为[2,3],说明方程(x-a)[x-(b+1)]=0 的两根之和等于 5,即 a+b+1=5,故 a+b=4. x-2 4. [2013· 安平中学调研]不等式 2 <0 的解集为( x -1 A. {x|1<x<2} B. {x|x<2 且 x≠1} C. {x|-1<x<2 且 x≠1} D. {x|x<-1 或 1<x<2} 答案:D 解析:(x-2)(x2-1)<0, ) B. 2 D. 8 ) B. (1,+∞) D. [1,+∞) )

(x+1)(x-1)(x-2)<0, 数轴标根可得,x<-1 或 1<x<2,故选 D 项. 5. [2013· 常州质检]已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是 ( ) 3 A. a<- 或 a>1 5 3 C. - <a≤1 或 a=-1 5 答案:D 解析:①当 a=1 时,原不等式化为-1<0,恒成立, 故 a=1 符合题意. ②当 a=-1 时,原不等式化为 2x-1<0,不恒成立, ∴a=-1 不合题意. ③当 a2-1≠0 时,依题意,有
? 2 ?a -1<0, ? 2 2 ?Δ=[-?a-1?] +4?a -1?<0. ?

3 B. - <a<1 5 3 D. - <a≤1 5

3 解得- <a<1. 5 3 综合①②③可知,a 的取值范围是- <a≤1. 5
?2x+1,x≥1, ? 6. [2013· 云南月考]设函数 f(x)=? 2 若 f(x0)>1, x0 的取值范围是( 则 ? ?x -2x-2,x<1,

)

A. (-∞,-1)∪(1,+∞) B. (-∞,-1)∪[1,+∞) C. (-∞,-3)∪(1,+∞) D. (-∞,-3)∪[1,+∞) 答案:B
? ? ?x0≥1, ?x0<1, 解析:f(x0)>1?? 或? 2 ?x0≥1,或 x0<-1. ?2x0+1>1 ?x0-2x0-2>1 ? ?

二、填空题 7. 若不等式 x2+ax+4≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的取值范围是________. 答案:a≥-5 4 解析:由题意,分离参数后得,a≥-(x+ ),设 f(x)= x 4 -(x+ ), x∈(0,1], 则只要 a≥[f(x)]max 即可, 由于函数 f(x)在(0,1]上单调递增, 所以[f(x)]max x =f(1)=-5,故 a≥-5.

8. [2013· 金版原创]若不等式 3x-k> x-4的解集是{x|x≥4},则整数 k 最大可取 ________. 答案:11 解析: 原不等式等价于 3x-k>x-4 对 x≥4 恒成立, k<2x+4 对 x≥4 恒成立, 即 ∴k<2×4 +4=12,又所求的为满足该不等式的最大整数,故填 11. 9. [2013· 天津四校联考]已知函数 f(x)=x2+ax-1 在区间[0,3]上有最小值-2,则实数 a 的值为________. 答案:-2 a 解析:当- ≤0,即 a≥0 时,函数 f(x)在[0,3]上为增函数, 2 此时,f(x)min=f(0)=-1,不符合题意,舍去; a 当- ≥3,即 a≤-6 时,函数 f(x)在[0,3]上为减函数, 2 10 此时,f(x)min=f(3)=-2,可得 a=- ,这与 a≤-6 矛盾; 3 a a 当 0<- <3,即-6<a<0 时,f(x)min=f(- )=-2,可解得 a=-2,符合题意.综上 a 2 2 的值为-2. 三、解答题 10. 二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值为 8,试解不等式 f(x)> -1. 2+?-1? 1 解:由于 f(2)=f(-1)=-1,根据二次函数的对称性,则对称轴为 x= = ,又 2 2 1 知最大值为 8.可设 f(x)=a(x- )2+8, 2 将 f(2)=-1 代入得,a=-4. 1 ∴f(x)=-4(x- )2+8. 2 由 f(x)>-1,-4x2+4x+7>-1, 即 x2-x-2<0,∴解集为{x|-1<x<2}. 11. [2013· 安徽巢湖模拟]设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小. a 解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)· (x-n), 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0,

即 a(x+1)(x-2)>0. 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为 {x|x<-1 或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为 {x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m =(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< , a ∴x-m<0,1-an+ax>0. ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m. 12. [2013· 淮南期末]某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售 8 价降低 x 成(1 成=10%),售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10260 元,求 x 的取值范围. 解:(1)依题意, x 8 y=100(1- )· 100(1+ x). 10 50 又售价不能低于成本价, x 所以 100(1- )-80≥0. 10 所以 y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为 x∈[0,2]. 1 13 (2)由题意得 40(10-x)(25+4x)≥10260,化简得 8x2-30x+13≤0.解得 ≤x≤ . 2 4 1 所以 x 的取值范围是[ ,2]. 2


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