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2015-2016学年高中数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义练习 新人教A版选修2-2

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【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 3.2.1 复数代数形式的加减运 算及其几何意义练习 新人教 A 版选修 2-2
一、选择题 1.(2014·浙江台州中学期中)设 x∈R,则“x=1”是“复数 z=(x -1)+(x+1)i 为 纯虚数”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

A.充分必要条件 C.充分不必要条件 [答案] A [解析] z 是纯虚数??
?x -1=0, ? ? ?x+1≠0,
2

?x=1,故选 A. )

2.若复数 z 满足 z+(3-4i)=1,则 z 的虚部是( A.-2 C.3 [答案] B [解析] z=1-(3-4i)=-2+4i,故选 B. B.4 D.-4

3.若 z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且 z1+z2 所对应的点在实轴上,则 a 的值为( A.3 C.1 [答案] D [解析] z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i. ∵z1+z2 所对应的点在实轴上, ∴1+a=0,∴a=-1. 4. ?ABCD 中, 点 A、 B、 C 分别对应复数 4+i、 3+4i、 3-5i, 则点 D 对应的复数是( A.2-3i C.4-8i [答案] C → [解析] AB对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i, → 设点 D 对应的复数为 z,则DC对应的复数为(3-5i)-z. → → 由平行四边形法则知AB=DC, ∴-1+3i=(3-5i)-z, ∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故应选 C. B.4+8i D.1+4i B.2 D.-1

)

)

5.已知复数 z1=3+2i,z2=1-3i,则复数 z=z1-z2 在复平面内对应的点 Z 位于复平 面内的( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 [答案] A [解析] ∵z1=3+2i,z2=1-3i,

∴z=z1-z2=3+2i-(1-3i)=(3-1)+(2+3)i =2+5i. ∴点 Z 位于复平面内的第一象限.故应选 A. 6.△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1,z2,z3,复数 z 满足|z-z1|=|z-z2|= |z-z3|,则 z 对应的点是△ABC 的( A.外心 C.重心 [答案] A [解析] 由复数模及复数减法运算的几何意义, 结合条件可知复数 z 的对应点 P 到△ABC 的顶点 A、B、C 距离相等,∴P 为△ABC 的外心. 二、填空题 7.已知关于 x 的方程 x +(k+2i)x+2+ki=0 有实根,则这个实根以及实数 k 的值分 别为____________和____________. [答案] ?
2

) B.内心 D.垂心

?x0= 2, ?k=-2 2,

或?

?x0=- 2, ?k=2 2.

[解析] 方程的实根必然适合方程,设 x=x0 为方程的实根,代入整理后得 a+bi=0 的形式,由复数相等的充要条件,可得关于 x0 和 k 的方程组,通过解方程组可得 x 及 k 的 值. 5 12 8.已知 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ -isinβ 且 z1-z2= + i,则 cos(α +β ) 13 13 的值为____. [答案] 1 2

[解析] ∵z1=cosα +isinα ,z2=cosβ -isinβ , 5 12 ∴z1-z2=(cosα -cosβ )+i(sinα +sinβ )= + i, 13 13

5 cosα -cosβ = ? ? 13 ∴? 12 sinα +sinβ = ? ? 13
2 2

① ②

① +② 得 2-2cos(α +β )=1, 1 即 cos(α +β )= . 2 9.在复平面内,O 是原点,OA、OC、AB对应的复数分别为-2+i、3+2i、1+5i,那 么 B C 对应的复数为______________. [答案] 4-4i [解析] B C =OC-OB =OC-(OA+AB) =3+2i-(-2+i+1+5i) =(3+2-1)+(2-1-5)i =4-4i. 三、解答题 10.已知平行四边形 ABCD 中,AB与AC对应的复数分别是 3+2i 与 1+4i,两对角线 AC 与 BD 相交于 P 点. (1)求AD对应的复数; (2)求DB对应的复数; (3)求△APB 的面积. [分析] 由复数加、 减法运算的几何意义可直接求得AD, DB对应的复数, 先求出向量PA、

→ → →



→ → →



→ →

→ →

→ →

→ →



→ PB对应的复数,通过平面向量的数量积求△APB 的面积.
[解析] (1)由于 ABCD 是平行四边形,所以AC=A B +AD,于是AD=AC-AB,而(1+4i) -(3+2i)=-2+2i, 即 A D 对应的复数是-2+2i. (2)由于DB=AB-AD,而(3+2i)-(-2+2i)=5, 即DB对应的复数是 5. 1→ ? 1 → 1→ ? (3)由于PA= CA=- AC=?- ,-2?, 2 2 2 ? ?



→ →

→ → →



→ → →



→ 1→ ?5,0? PB= DB=? ?,
2

?2

?

5 → → 于是PA·PB=- , 4 17 → → 5 而|PA|= ,|PB|= , 2 2 所以 17 5 5 · ·cos∠APB=- , 2 2 4 17 4 17 ,故 sin∠APB= , 17 17

因此 cos∠APB=-

1 → → 1 17 5 4 17 5 故 S△APB= |PA||PB|sin∠APB= × × × = . 2 2 2 2 17 2 5 即△APB 的面积为 . 2 [点评] (1)根据复数加减法运算的几何意义可以把复数的加减法运算转化为向量的坐 标运算. (2)复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.

一、选择题 11.(2015·陕西理,11)设复数 z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则 y≥x 的概率 为( ) 3 1 A. + 4 2π 1 1 C. - 2 π [答案] D [解析] 由题意可得,|z|= ?x-1? +y ≤1,即(x-1) +y ≤1,符合条件 y≥x 的 1 1 π 1 2 2 区域如图中阴影部分所示,可计算得出 S 阴= π ×1 - ×1 = - .所以由几何概型可知, 4 2 4 2 所求概率为
2 2 2 2

1 1 B. + 2 π 1 1 D. - 4 2π

S阴 1 1 = - . S圆 4 2π

故本题正确答案为 D.

12.若复数(a -4a+3)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( A.1 C.1 或 3 [答案] B [解析] 由条件知?
? ?a -4a+3=0, ? ?a-1≠0.
2

2

)

B.3 D.-1

∴a=3.

- 2 13.设复数 z1、z2 满足 z1- z 2=-1+i,z1=(a+2)+(a +a-2)为不等于 0 的实数, 则|z2|=( A. 2 C. 17 [答案] C [解析] ∵z1∈R,∴a +a-2=0,∴a=1 或-2, ∵z1≠0,∴a+2≠0,∴a=1,∴z1=3, - - ∵z1- z 2=-1+i,∴ z 2=z1-(-1+i)=4-i, ∴z2=4+i,∴|z2|= 17. 14.(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数 z1、z2 满足 z1=m+(4-m )i,z2=2cosθ + (λ +3sinθ )i(m、λ 、θ ∈R),并且 z1=z2,则 λ 的取值范围是( A.[-1,1] 9 C.[- ,7] 16 [答案] C
?m=2cosθ , ? [解析] ∵z1=z2,∴? 2 ? ?4-m =λ +3sinθ .
2 2

) B. 5 D. 26

)

9 B.[- ,1] 16 9 D. [ ,1] 16

3 2 9 2 ∴λ =4sin θ -3sinθ =4(sinθ - ) - , 8 16 9 ∵sinθ ∈[-1,1],∴λ ∈[- ,7]. 16 二、填空题 15.在复平面内,z=cos10+isin10 的对应点在第________________象限. [答案] 三 7π [解析] ∵3π <10< ,∴cos10<0,sin10<0, 2 ∴z 的对应点在第三象限.

16.若|z-1|=|z+1|,则|z-1|的最小值是______________. [答案] 1 [解析] 解法一:设 z=a+bi,(a,b∈R), 则|(a-1)+bi|=|(a+1)+bi|. ∴ ?a-1? +b = ?a+1? +b , 即 a=0,∴z=bi,b∈R, ∴|z-1|min=|bi-1|min= ?-1? +b , 故当 b=0 时,|z-1|的最小值为 1. 解法二∵|z-1|=|z+1|, ∴z 的轨迹为以(1,0),(-1,0)为端点的线段的垂直平分线,即 y 轴,|z-1|表示,y 轴上的点到(1,0)的距离,所以最小值为 1. 三、解答题 17.已知关于 t 的方程 t +2t+2xy+(t+x-y)i=0(x、y∈R),求使该方程有实根的 点(x,y)的轨迹方程. [解析] 设原方程的一个实根为 t=t0,则有 (t0+2t0+2xy)+(t0+x-y)i=0. 根据复数相等的充要条件有
? ?t0+2t0+2xy=0, ① ? ?t0+x-y=0, ② ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

把②代入①中消去 t0,得(y-x) +2(y-x)+2xy=0, 即(x-1) +(y+1) =2. 故所求点的轨迹方程为(x-1) +(y+1) =2. [点评] 因为 t0 为实数,故根据复数相等的充要条件让实部与虚部分别为 0,而要求的 是点(x,y)的轨迹方程,故应用代入消元法将 t0 消去整理即可. 18. 设 z=a+bi(a、 b∈R), 且 4(a+bi)+2(a-bi)=3 3+i, 又 ω =sinθ -icosθ , 求 z 的值和|z-ω |的取值范围. [解析] ∵4(a+bi)+2(a-bi)=3 3+i, ∴6a+2bi=3 3+i, 3 ? ?a= 2 , ∴? 1 ? ?b=2.
2 2 2 2

2

?6a=3 3, ∴? ?2b=1,

∴z=

3 1 + i, 2 2

∴z-ω =?

? 3 1 ? ? 3 ? ?1 ? + i?-(sinθ -icosθ )=? -sinθ ?+?2+cosθ ?i ? ? 2 2 2 ? ? ? ?

∴ |z - ω | = 2-2? = 1 ? 3 ? sinθ - cosθ ? 2 ?2 ? π? ? 2-2sin?θ - ?, 6? ?

? 3 ?2 ?1 ?2 ? -sinθ ? +?2+cosθ ? = ? ? ?2 ?

2- 3sinθ +cosθ



π? ? ∵-1≤sin?θ - ?≤1, 6? ? π? ? ∴0≤2-2sin?θ - ?≤4 6? ? ∴0≤|z-ω |≤2, 故所求得 z= 3 1 + i, 2 2

|z-ω |的取值范围是[0,2].


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