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主体部分:关于初高中数学衔接的实践研究


关于初高中数学衔接教学的实践研究

第一章
一、研究的背景

绪论

现代认知心理学已经反映出认知学习呈等级性或累积性的规律, 即先前已经掌握的低级知识和智力、技能是学习高级知识以及智力、 技能的先决条件,或者说,所有的学习都必须在一定的学习准备的前 提下进行,所谓学习准备,是指学生在从事新的学习时原有的知识水

平以及原有的心理发展水平对新的学习所表现出来的适宜性、 前提性 和基础性。这种准备可以有效的保证学习的成功,并使学习在精力的 消耗和时间上既合理又经济。 “数学难学”是初中进高中学生普遍反映的问题。一些在初中数 学成绩很好的学生,甚至在中考中数学取得优异成绩的学生,进入高 中阶段的学习后, 数学成绩下降明显。 学生普遍感觉高中数学太抽象、 枯燥,有些章节如听天书。课后做习题时,常常感到茫然一片,不知 从何下手。学习上的困难甚至导致学生缺乏学习的动力,失去了学习 数学的兴趣。这是家长和老师十分关心的问题。很多高中数学教师强 烈呼吁中考命题要体现初、 高中数学衔接教学对初中学生数学能力的 要求,希望以此对初中数学教学和学生的学习施加影响。其实,与初 中数学相比, 高中数学在教材内容、 教学要求、 教学方式、 思维层次, 以及学习方法上都发生了很大的变化,如何提高高中数学教学质量, 衔接初高中数学教学是一个十分重要的问题。因此,落实好初高中数 学的衔接教学工作是值得探讨的一个问题。 本研究是在教育部颁布的课程标准和湖南数学高考的基础上来 探讨初高中数学衔接的实践研究。
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二、 研究的现状与局限性
学生在完成初中数学学习后跨入高中数学学习的门槛, 不仅教师 感觉到起始年级数学教学的诸多困难, 同时他们自己表现出某些不适 应。很显然,这些困难若得不到合理、及时的解决,肯定会对学生学 习高中阶段的数学学习造成很大的影响。 1 初中课改毕业生数学能力的优点 (1)应用能力较强。初中新教材、新课标非常强调学生应用能 力的培养,很多知识都强调应用于生产实践和日常生活实际中。根椐 义务教育《数学课程标准》的要求,教师结合平时的教学内容采用" 问题实践--建立数学模型--应用、拓展与解释"的过程来进行有效教 学,对函数、方程等方面的应用都比非课改前的初中旧教材、旧大纲 有所加强,尤其是不等式的应用在旧大纲中明确不作要求,而在初中 课改新教材中却是理解的内容。高中《数学课程标淮》指出,应"促 使学生逐步发展和形成提高实践能力和数学应用意识"。初中课改毕 业生应用能力的提高有利于体现高中数学新课程的上述理念。 (2)空间概念加强。新课标把"空间观念"作为义务教育阶段培 养学生的实践能力和创新精神的一个重要学习内容。 增加了几何体的 三视图(正视图、侧视图、俯视图) 、立体几何图形的平面展开图、 在方格纸上建立适当的直角坐标系描述物体的大致位置等知识。 初中 学生空间想象能力的加强,为他们在高中数学新课程必修模块"立体 几何初步"、"平面解析几何初步"的入门学习奠定了良好的基础。 (3)几何变换能力加强。新教材增加了位似、平移、旋转等内 容,这对以后高中"平面上的向量"、"立体几何"等方面的学习是很有 利的。
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(4)统计观念加强。旧教材中只在初中三年级的某个单元中学为 "统计初步"的知识,而义务教育数学新课标在小学至高中的三个学 段中都把"统计与概率"作为一个十分重要的学习领域,所以初中新教 材所要求的统计概率内容与之前旧教材相比大为增多, 训练学生通过 看统计图表与有关资料获取信息、用列举法(包括列表、画树状图) 计算简单事件发生的概率等能力大为加强。 因此在高中数学新课程必 修第 5 模块学习内容为"算法初步、统计、概率",初中课改毕业生对 上述内容的学习无疑具有更扎实的基础。 (5)合情推理能力加强。初中新课标强调"能通过实验、观察、 类比、归纳等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出举出反例或证 明"。课改新教材在教学上着力体现上述教育理念,初中课改毕业生 的合情推理能力得到很大程度上的加强。高中数学新课标也指出:" 人们在运用数学和学习数学解决实际问题时,不断地经历直观感知、 观察发现、归纳类比、抽象概括、空间想象、符号表示、运算求解、 数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程"。初、高中数学课标 上述相互承接的教育理念, 有利于学生对客观事物中蕴涵的数学模型 进行思考和做出判断,提高他们对数学的思维能力。① 2 初中课改毕业生数学能力的不足

在初中, 类型归纳得全, 教师讲的细, 反复练习。 学生只需记忆概念、 公式及例题类型,一般都能取得很好成绩。而到了高中,数学学习考 察学生勤于思考,善于归纳总结,掌握数学思想方法的能力。① 高中的数学学习往往较为灵活,所以,若刚入学的高一新生还沿用初
① 郑洁. 《初中数学教学大纲的比较与访谈研究》[M].天津: 《天津师范大学》.2011 年 4 期 3

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中学法,就会使学生在学习上学习出现知识点理解困难,不能灵活运 用知识点解题,且解题速度慢,没有预习、总结、复习等自我消化、 自我调整的时间。 这显然不利于学生良好学习方法的形成和学习质量 的提高。有些高一学生,还沿袭初中的思维模式,只停留在了解所学 的“是什么” ,而很少去思考“为什么” ,遇到思维上的障碍,不是首 先动手、动脑去研究,而是求助于直接翻看答案中的解答过程或他人 的。 (1)运算能力较差。实际问题的计算大多是近似的,初中新课 程强调发展学生的数学感悟力,增强估算能力,鼓励使用计算器,淘 汰了《中学数学用表》 ,同时要求中考必须带计算器进考场,以上课 改新理念是正确的。但由于没有合理使用计算器,许多学生连最简单 的计算问题都要借助计算器来解决,因此,心算、口算能力不强,计 算的准确率比课改前的学生要低。同时由于平时教学注意力不够,许 多学生的对基本的数、式运算(例如恒等变形)与解方程的能力也较 为薄弱。 (2)演绎推理能力较差。初中新课标弱化了几何证明,同时降 低演绎推理的难度, 圆与三角形相似等相关知识的演绎证明不再作要 求,许多学生的逻辑思维能力得不到加强。 在高中《数学课程标准》中强调提高学生的"抽象概括、推理论 证、运算求解"等基本能力,为学生更好地学习高中数学新课程打下 基础。①

① 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2008 年.

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3 数学教学衔接问题的研究现状 面前,对于初高中数学衔接教学的研究在我国处于起步阶段,教 育专家对小学、中学、高中各个学段内的研究较多,对学段之间的衔 接教学研究较少。 2009 年单文海在数学通报上发表了《对初高中数学教学衔接问 题的研究—现状调查—教学实验与部分结论》 ,其中指出高、初中数 学教与学衔接问题存在的原因主要有以下七个方面 :?、教材衔接。 ?、升学考试的导向。?高、初中教师对教材内容和体系相互了解的 程度。?、教学方法。?、学习方法。?、学习心理和学习状态。?、 思维定势和解题习惯。① 2006 年宋敏新(辽宁省基础教育教研培训中心主任)在人民教 育论坛上发表的论文《初高中数学教学的衔接问题的思考》中提出, 为了更好解决初高中数学的教学衔接, 使高一学生顺利度过初高中数 学学习的“过渡期” ,提出以下几点思考:?研究初中新课标教材体 系,找准初、高中数学教学内容的衔接点。?要研究课改过程中初中 数学课堂教学的变化。实现教学方式、学习方式的衔接。?注重学情 研究。探索教学手段与教学策略的衔接。② 2011 年刘永庄③在《新课程(教育学术)》上发表的《初高中数学 教学衔接的现状及对策》 ,提到了教育是一个分阶段、分层次的系统

①单文海.《对初高中数学教学衔接问题—现状调查—教学实验与部分结论》 《数学之友》.2009 年 5 期 ②宋敏新. 《初高中数学教学衔接问题的思考》 [M].《人们教育论坛》.2006 年 4 期 46-45 ③ 刘永庄. 《初高中数学教学衔接的现状及对策》 [M].《新课程(教育学术) 》.2011 年 6 期 48-44

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过程。每一个学段结束之后,学生进入又一个新的环境。很多曾以优 秀成绩考入高中的学生,进入高中的学习之后,成绩明显下降,有的 甚至变为班级中的“学困生” 。因此,在高中数学的起步阶段,教师 应分析学生成绩下滑的原因以及学生学习的状况, 使学生尽快适应新 的学习环境,从而更高效、更顺利地接受高中数学的学习。 三、 研究的方法 兴趣是学习的第一推动力, 教师在授课过程中关键要培养学生对 数学学习的兴趣。在这一阶段不适宜出现难度过高的习题讲解,通过 简明易懂的习题提高数学学习的信心。 重视学生学习数学的快乐体验 可以使学生产生对数学学习的强大驱动力, 从而使得学生在数学学习 过程中更加自信。 1 帮助学生度过初高中的“平台期” 初高中学习有一个明显的难度和方法提高的过程, 我们可以认为 这是一个“平台期” ,高中数学许多必备知识在初中数学教学中不作 要求或者是要求较低。 导致学生普遍出现初高中数学知识衔接不上的 情况有很多,如立方和、立方差公式,十字相乘法等等,在高中要求 学生能熟练应用解题。在初中未学过十字相乘法的学生,每次解二次 式,就只能使用求根公式,计算强度大,速度慢,影响解题。建议在 入学第一周不要急于讲高一新课内容,而应将初中要求较低,而高中 常用的知识进行整理,根据搞好学习的要求适当地加深拓宽,为学生 扫清学习中的障碍。 2 培养良好的学习习惯 由于高中的学习强度远大于初中学习强度, 教师在这一阶段应该 有耐心地帮助学生形成有效的学习习惯。 良好的学习习惯是学好高中
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数学的重要因素。它包括:制定计划、课前自习、及时复习、专心听 课、解决疑难、独立作业、系统小结和课外学习这几个方面。改进学 生的学习方法,可以这样进行:引导学生养成认真制定计划的习惯, 合理安排学习时间,从盲目的学习中解放出来;可布置一些思考题和 预习作业,培养学生自主探究的能力,让学生带着问题有针对性地听 课。还要引导学生学会听课,要求做到“勤动脑、勤动手” ,注意力 高中集中,认真思考课堂上的知识点,勤练例题。引导学生养成及时 复习的习惯,以强化对基本概念、知识体系的理解和记忆。引导学生 养成独立作业的习惯,要独立地分析问题、解决问题。引导学生养成 系统复习和归纳小结的习惯,将所学新知识融入有关的体系和网络 中, 以保持知识的完整性。 引导学生养成阅读有关报刊和资料的习惯, 且应进一步拓宽眼界,保持学生持续发展的后劲。加强对学生学法指 导应寓于知识讲解、作业讲评、试卷分析等各种教学活动中。①

四、 研究的意义与创新点 目前,“九年制义务教育”新课改后的教材,其教学内容作了很大 程度上的压缩和删减,教材叙述方法相当简单,语言通俗易懂,结论 容易记忆,直观性、趣味性强,学生掌握比较方便.虽然“九年制义 务教育”课程标准倡导“不同的学生在学习上得到不同的发展”,可是 升学的压力,家长的愿望、学校之间、班级之间的竞争,而初中数学 教学普遍执行的是课程标准的基本要求,即“课程标准中明确规定的 要求”,有的甚至只执行中考必考的要求.我们不仅看到了初中新课 程带来的普及性教育成果, 同时也看到了中考“指挥棒”选拔出来的数 学成绩,每个学生几乎都是三位数,初中数学教学淡化了为学生的升
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学而应做的准备.初中教学中的“自学式”教学法、“讨论式”教学法等 多种体现学生自我探索、自主学习的方法的开展,导致课堂教学密度 小,规范性差。 时至今日,全国的基础教育数学课程的开展已经近八年,在各级 各层次教育管理及行政部门与研究人员的努力下, 新课程理念已经形 成,但是传播学的“认知不协调” 理论告诉我们,人们总是在回避 同自己原有认知要素对立的不协调信息。而积极接触与之协调的信 息,即教师们“听了未必接受” 。同时哲学认识论的“默会知识观” 指出,专业人员所具有的知识很多是缄默的、个性化的,并镶嵌于情 景活动之中,需要在“做中学” (杜威的思想)才能学会,也就是说, “即使是教师接受了新理念也未必会用” .这就是常常说的“理念与 行动之间存在着沟壑” . 因此在多年的各种相关杂志、论文、学术演说上以及部分地区的 调查我们可以看出很多教师无法打破那种传统的机械式的提问与死 板式的教学. 在李忠如老师的 《数学教师对新课程理念的适应性研究》 一文的调查中看出,新理念的课堂教学大多是形似而神不似.在授课 过程中,大多数教师都貌似贯彻新课程理念,但是他们没有给学生布 置适当的数学活动,没有给学生提供探索的时间和空间,本质上仍是 传统的讲授式. 而数学历来是大多数学生进入高中后觉得较为难学和投入精力 较多的学科,尤其是在新课程标准的影响下,中学教材与以往的教材 相比,有着较大的差异.以人教版教材为例,新教材在内容上更具有 开放性,它重视创新实践能力和综合素质的培养,同时拥有探索创新
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的结构体系, 最重要的是新教材的编制更立足于促进学生学习方式的 改变,这些都给中小学数学教学衔接带来了新的挑战.但是,就针对 学习数学的角度来分析, 导致中小学数学教学衔接困难的原因主要有 两个方面.其一是数学知识的系统性和综合性.数学知识体系是前后 连贯性很强的;另一方面,数学知识体系的综合性特点必须要求学生 具备一定的基本技能和基础知识, 在思维方法上要求有一定的广度和 深度,只有这样才能在数学学习中顺势而上;其二是个性特征的影 响.学生进入高中后,由于学科的增多,学习内容的剧增。因此,从 直观到抽象的程度上,都发生较大的变化,思维方式也向更高的层次 上跳跃。学习方法、学习习惯不良等原因,造成了相当一部分学生在 数学学习上陷入困境之中,从而也失去进一步学好数学的兴趣和信 心. 因此,在新课程理念下需要加强初、高中数学的衔接教学工作, 目的是消除学生在过渡期因心理、智力、习惯等个性特征差异带来的 负面影响,同时使每一位学生顺利完成这个过渡期。所以掌握一定双 基知识及数学思维方法,来适应整个初中阶段的数学学习,对大面积 提高数学教学质量有着重大的现实意义.①

五、 理论指导(布鲁纳的认知序列学说)
美国著名教育学家布鲁纳将儿童和青少年的理解能力发展分为 三个阶段: ⑴动作(inactive)阶段: 儿童和少年能够操作实物,也逐渐了

①陈柳红.重视数学学习弱势学生提升数学教师教学观[J].新课程研究.2009 年 11 期.12-24

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解一些简单的概念,从儿童和少年常用一些小棒进行加减法、把积木 堆成汽车的形状等活动中了解数学的一些概念。 ⑵表象(iconic)阶段: 布鲁纳认为这个阶段的儿童和少年可以 借助实物独立思考。 ⑶符号(symbolic)阶段: 此时的儿童和少年认识符号的抽象概 念,也能了解简单的数学公式及其代表的意义。 布鲁纳认为,动作—表象—符号是儿童和少年认知发展的程序, 也是学生学习过程的认识序列。根据这一认知序列,布鲁纳具体研究 了数学学习的过程。布鲁纳建议,应该按照学生理解能力发展的程度 组织课堂数学学习,尽量举例以便解析复杂的数学概念。总之,教师 应该帮助儿童和少年找出抽象概念的具体基础, 根据儿童和少年认知 的具体情况一步一步地将具体的情况抽象化, 逐步形成学生头脑中的 表现,进而形成数学知识。

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第二章

新课程初、 高中数学知识结构体系 (衔接部分)

一 、 新课程初中数学知识结构体系
实数 数与 代数 代数式 整式、分式、二次根式 运算、数轴、相反数、倒数、绝对值

方程、不等式

分类、解法、应用

函数

变量、常量、概念表示、图像表达式

图形的认识 图形与 空间

尺规作图、三角形、四边形、圆、相交线、平行线、

图形与变换

图形的相似、图形的旋转、图形的平移、图形的轴对称

图形与证明

证明的依据、证明的含义

图形与坐标

平面直角坐标系

数据的收集 数据的处理 数据的分析、决策 意义、事件 统计 频率、列表、画树状图 概率的计算

统计 统计与 概率

实践活动 实践与 应用

感受数学联系、整体

综合应用

丰富解决问题的策略

课题学习

培养应用意识、发展思维能力、树立学习信心

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二、

新课程高中数学知识结构体系

第一部分
概念 集合

集合、映射、函数、导数及微积分
表示方法 元素、集合之间的关系 数轴、Venn 图、函数图象 解析法 列表法 使解析式有意义 换元法求解析式 注意应用函数的单调性求值域
1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同; 2、证明单调性:作差(商) 、导数法;3、复合函数的单调性 定义域关于原点对称,在 x=0 处有定义的奇函数→f (0)=0

运算:交、并、补 性质

确定性、互异性、无序性 表示 定义域

映射

定义

图象法

三要素

对应关系 值域 单调性 奇偶性

性质 函数

周期性 对称性 最值
平移变换

周期为 T 的奇函数→f (T)=f (2)=f (0)=0 二次函数、基本不等式、打钩(耐克)函 数、三角函数有界性、数形结合、导数. 一次、二次函数、反比例函数 幂函数 指数函数 对数函数 图象、性质 和应用

T

图象及其变换

对称变换 翻折变换 伸缩变换

基本初等函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 导数的概念 零点 三角函数 复合函数的单调性:同增异减 赋值法、典型的函数

二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 建立函数模型

几何意义、物理意义 三次函数的性质、图象与应用

基本初等函数的导数 导数 导数的运算法则

单调性 导数的应用 极值 定积分与微积分 定积分与图形的计算

导数的正负与单调性的关系 最值 生活中的优化问题

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第二部分
棱柱 柱体 圆柱 棱台 空间几何体 台体 圆台 棱锥 锥体 球 点在直线上 点与线 点在直线外 点在面内 点与面 点在面外 圆锥

立体几何
正棱柱、长方体、正方体 三视图 直观图 三棱锥、四面体、正四面体 侧面积、表面积 体积
长对正 高平齐 宽相等

相交 共面直线 线与线 异面直线 平行 空间点、 线、面的 位置关系 直线在平面外 线与面 直线在平面内 平行 面与面 相交 相交 平行

只有一个公共点 没有公共点 没有公共点 有公共点

平行关系的 相互转化

线线 平行

线面 平行

面面 平行

空间直角坐标系

垂直关系的 相互转化

线线 垂直

线面 垂直

面面 垂直

空间向量

异面直线所成的角 空间的角 直线与平面所成的角 二面角 点到面的距离 空间的距离 直线与平面的距离 平行平面之间的距离

范围:(0?,90?] 范围:[0?,90?] 范围:[0?,180?]

cos?=—— → →
| a |·| b | → → |a·n|

→ → |a·b|

sin?=—— → →
| a |·| n | → → n ·n
1 2 cos?=—— → →

|n1 |·|n2 |

相互之间的转化

d=—— →
|n|

→ → |a·n|

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第三部分

解析几何

倾斜角和斜率

倾斜角的变化与斜率的变化 重合

位置关系 直线的方程 截距

平行 相交 垂直

A1B2-A2B1=0 A1B2-A2B1≠0 A1A2+B1B2=0

注意:截距可正、 可负,也可为 0.

点斜式:y-y0=k(x-x0) 斜截式:y=kx+b 两点式: y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 注意各种形式的转 化和运用范围.

直线方程的形式

x y 截距式: + =1 a b 两直线的交点 一般式:Ax+By+C=0 | Ax0+By0+C | A2+B2 ,平行线间距离:d= | C1-C2 | A2+B2

距离

点到线的距离:d=

圆的标准方程 圆的一般方程 圆的方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 曲线与方程 椭圆 圆锥曲线 双曲线 抛物线 性质 离心率 相离 相切 相交 ?<0,或 d>r ?=0,或 d=r ?>0,或 d<r

轨迹方程的求法:直接法、定义法、相关点法 定义及标准方程 范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴) 、 短轴(虚轴) 、渐近线(双曲线) 、准线(只 要求抛物线)

关于点(a,b)对称 点(x1,y1) ───────→点(2a-x1,2b-y1)

中心对称
关于点(a,b)对称 曲线 f (x,y) ───────→曲线 f (2a-x,2b-y)

对称性问题 轴对称

点(x1,y1)与点(x2,y2)关于 直线 Ax+By+C=0 对称 特殊对称轴 x±y+C=0

?A·x1+x2+B·y1+y2+C=0 ? 2 2 ?y2-y1 A ? ?x2-x1·(-B)=-1
直接代入法

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第三章

初、高中教材分析(衔接部分)

一、对现行初中数学教学内容的分析
《九年义务教育数学课程标准》在初中阶段安排了“数与代数” 、 “空间与图形”“概率与统计”“实践与综合应用”四个学习领域。 、 、

1 数与代数
(1)运算能力:难度大大降低,对有理数“+、—、×、÷” 混合运算不超过三步,可以借助计算器,二次根式运算不要求分母有 理化,因式分解仅限提公因式和公式法(而且用公式不超过二次) , 对分组分解法、添项、拆项不作要求,而且每项指数是正整数。 (2)方程组:三元一次方程组不作要求(已知三点求抛物线解 析式也属超纲内容) ,二元二次方程组不作要求,分式方程限可化为 一元一次方程(且分式不超过两个) ,解一元二次方程不涉及十字相 乘法,根的判别式,韦达定理不作要求。 (3)不等式:限一元一次不等式(组) 。 (4)函数:直角三角函数、一次函数、反比例函数、二次函数 (统称为初中四大函数) :应用题加强,但抽象题要求降低,函数与 几何结合题要求降低。

2 空间与图形
(1)强调借助于材料动手操作,题目大多来源于实际,灵活性 大,比以前难度增加。但几何抽象证明题几乎绝迹,弱化证明。 (2)尺规作图只限最简单的,考试中较少涉及。 (3)圆只限于点、线与圆关系,难度下降。

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3 统计与概率
(1)弱化“术语”的记忆,不考概念; (2)强调从统计观念解决实际问题; (3)内容比以前增加(如方差、极差等) ,但难度下降较大。

4 实践与综合应用
这是新课程区别于老教材的根本之处,也是以“新”代“旧”的 最精彩之处,一般体现在应用题上。新教材应用题的比例比以往大幅 度增加。 (1).初中课程标准已删去的内容
模块 常用乘法公式 与因式分解方 法 删去的内容 立方和(差)公式、两数和(差)立方公式、三个数的和 的平方公式的推导及应用(正用和逆用)。十字相乘法、分组分解 法、添项、拆项不作要求,而且每项指数是正整数。高次多项 式分解(竖式除法) 分类讨论 删去含字母的绝对值,分段解题与参数讨论方法,含字母 的一元一次不等式 二次根式、最简二次根式、同类根式的概念与运用,根式 二次根式 的化简与运算 代数式运算 与变形 简单的无理方程,可化为一元二次方程的分式方程,含绝 方程与方程组 对值的方程,含有字母的方程,三元一次方程组,二元二次方 程组,一元二次方程根的判别式与韦达定理。
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删去分子(母)有理化,多项式的除法(竖式除法),分式乘方

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不要求掌握二次函数图象顶点和对称轴公式的记忆和推 三个“二次” 导、用根的判别式研究函数的图象与性质、利用数形结合解 决简单的一元二次不等式(已知三点用待定系数法求抛物线 解析式也属超纲内容) 删除平行的传递性,平行线等分线段定理,梯形中位线 平行与相似 概念及性质,合比定理,等比定理,有关简单的相似命题的 证明,截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定 理 证明 删除了大量繁难的几何证明题 删除射影的概念和直角三角形中的射影定理,正多边形 图形 中有关边长、 边心距等计算公式,简单的等积变换, 三角形 “四 心”的有关概念和性质,中点公式,内外角平分线定理,平 行四边形的对角线和边长间的关系 删除与圆的有关定理:弦切角定理,相交弦定理,切割 线定理,两圆连心线性质定理,两圆公切线性质定理;相切 圆 作图,简单的有关圆命题证明,删除四点共圆的概念及圆内 接四边形的性质、圆切角、圆内角、圆外角的概念,等分圆 周,三角形的内切圆,轨迹定义

(2) 初中存在但已降低要求的内容①
知识点 数 削弱的内容 有理数混合运算不超过三步,可以借助计算器,二次根式 运算不要求分母有理化,笔算、口算、心算能力减弱,减弱算 术平方根的性质 因式分解只要求提取公因式法、公式法(平方差、完全平 方),直接用公式法不超过两次,多项式相乘仅要求一次式间的 式 相乘,无除法,要求了解二次根式的概念,理解其加、减、乘、 除运算法则,没有最简二次根式的概念,根式化简较为简单, 二次根式运算不要求分母有理化,不再出现一次式这一概念, 根式的运算要求低;绝对值符号内不能含有字母

① 郑洁. 《初中数学教学大纲的比较与访谈研究》[M].天津: 《天津师范大学》.2008 17

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一元一次 不等式

一元一次不等式组限 2 个不等式,对不等式的整数解没有 明确要求

配方法要求低,只在解一元二次方程中有简单的要求,在 三个“二次” 二次函数中也不要求用配方法求顶点、最值,只要求用公式求, 且又不要求记忆公式和推导,没有用根的判别式研究函数性质 削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明,减少定理的数 量——用 4 条“基本事实”(两直线平行,同位角相等;同位 角相等,两直线平行;全等三角形对应边对应角相等;两边及 证明 夹角分别相等的三角形全等)证明 40 条左右的结论,淡化几何 证明的技巧;反证法,初中只要求通过实例,体会反证法的含 义,了解即可;降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。 辅助线,中考只要求添加一条辅助线。 其它 弱化概念,对有关术语如总体、个体、样本等概念不要求严 格表述

根据新课改的理念和课标要求,初中数学教材在难度、广度和深 度上有所降低,体现了“浅、少、易”的特点,同时那些在高中学习 中经常用到的知识有的被删除掉了,有的淡化了要求,从而加重了学 生学习高中数学的负担。就呈现方式来说,初中数学教材新知识的引 入与学生日常生活实际很贴近,比较形象,并遵循从感性认识上升到 理性认识的一般规律,学生一般都能容易理解、接受和掌握,而高中 数学一开始,概念抽象,逻辑性强,定理严谨,教材叙述比较严谨、 规范、空间想象和抽象思维明显提高,知识难度不断加大,且习题类 型多,解题技巧灵活多变,体现了“起点高、容量多、难度大”的特 点。以高中新课标实验教科书数学《必修①》为例,10 周的时间有 基本概念 45 个,数学新符号 27 个,形成了概念密集的学习阶段。这 种教材内容和要求的较大差别,自然形成了一个“台阶” 。这样,不

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可避免地造成了学生不适应高中数学学习的情况。①

二、对现行高中数学教学内容的分析 1 关于计算能力

(1)数字运算能力差。由于初中生比较普遍地使用计算器计算, 导致学生进入高中后在数字运算上依然依赖计算器, 笔算或心算能力 差。而现今考试和高考又不允许使用计算器; (2)符号(字母)运算出错多。

2

关于二次方程

(1)不会因式分解。在求一元二次方程的根时大多用求根公式 (套公式) ,学生不习惯用因式分解求根,这样就降低了思维的水平, 影响了解题速度; (2)根与系数的关系(韦达定理)不清。高中数学中经常用到 不求一元二次方程的根 (尤其当方程很复杂或出现字母系数方程时) , 只需借助两根的关系进行整体代换解题的问题, “求两根的平方和” 如 (解几中求线段长的“设而不求” )等,此时暴露出学生相应知识储 备不足。

3

关于二次函数

(1)只知道二次函数的一般式,很少知道其它两种形式,尤其 是顶点式。 这样导致在区间上处理二次函数问题时不习惯于借助对称 轴的位置进行研究(这样的问题在高一年级教学中经常出现) ,分类 讨论能力差;
① 刘绍学.普通高中课程标准实验教科书·数学必修 1 A 版[M].北京:人民教育出版社,2009 19

硕士学位论文

(2)不会配方。不会通过配方求一元二次方程的根,不会通过 配方找一元二次函数的顶点,不会通过配方求二次函数的最值等; (3)画图方法停留在“列表、描点、连线”作图阶段(有学生 作直线时也用此法) ,不会借助关键点作函数的示意图。

4

关于解不等式问题

由于解一元二次不等式教学内容的滞后(放在必修 5) ,加之学 生缺乏解分式不等式、含绝对值不等式的相关知识,所以导致集合问 题、函数问题所研究的内容缺乏丰富性,不利于学生能力的培养。

5

关于推理论证能力

由于初中在空间与图形部分的教学中,一方面强调合情推理,大 多数定理都是通过动手操作、实践探索得出结论,另一方面又删除了 大量的定理,当然就大大降低了学生的逻辑推理能力。主要表现为: (1)不懂规范的书写格式; (2)不会严格的逻辑推理论证。

6

关于课时问题

由于初高中课程内容存在衔接漏洞,知识跨度大,加之高中课堂 容量大,教学内容抽象性强,学生学起来感到很吃力,若放慢进度, 将会出现课时严重不足的问题。 三、初、高中数学衔接教学建议

1 需要补充或强化的内容
(1)数与式的运算:补充立方和(差)公式、两数和(差)立 方公式(它是二项定理的最佳接洽点,也即是二项定理的最进发展
20

关于初高中数学衔接教学的实践研究

区。、 ) 三个数的和的平方公式的推导及应用(正用和逆用); 强化根式、 分式的运算与化简。 (二次根式:适当补充相当的运算。如整体运算 等) (2)因式分解:补充分组分解法和添项、拆项法、十字相乘法; 强化公式法。 (十字相乘法和分组分解法。要求是非常熟练。尤其是 十字相乘法,它是解一元二次方程最快的方法,当然它也就是解一元 二次不等式的最快的方法。 ) (3)补充一元二次方程的根与系数的关系;强化一元二次方程的 根的判别式及应用。 (4)补充不等式的解法:包括一元二次不等式及其解法;简单分式 不等式的解法;含绝对值的不等式的解法。 (5)强化配方法求二次函数的定点和对称轴;强化二次函数的图 像和性质;补充二次函数在给定区间上的最值问题。 (这是整个高中 阶段必须掌握的基础问题,可以说,很多综合题的求解,最终都可以 转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 ) (6)补充一元二次方程根的分布(区间根) 。 (7) 补充简单的二元二次方程组的解法。 (初中新课程标准下的数 学教材删除了解二元二次方程组和三元一次方程组。 当然也就删除了 解方程组的基本思想:降次和消元。而这些思想方在高中数学的学习 是必不可少的,高中的要求是学生能列就能解。 ) (8) 补充可化为一元二次方程的无理方程和分式方程的解法 (初中 教材删除了可化为一元二次方程的分式方程和无理方程, 同时也就删 除了无理方程的思想和用换元法解分式方程;删除了分式转整式、无 理转有理的重要思想方法) 。
21

硕士学位论文

(9) 补充三角形的“四心”的定义及几何性质。 (10) 补充平面几何有关的定理与性质:包括合分比定理、等比定 理;平行线分线段成比例定理;三角形外角平分线定理;三角形内角 平分线定理;梯形中位线性质;直角三角形中的射影定理。 (11) 补充与圆有关的定理:包括垂径定理、圆内接四边形及其性 质定理、相交弦定理、弦切角定理、切割线定理。 (12) 补充圆内接(外切)正多边形的半径、边长、边心距和中心 角的关系;尤其是圆内接(外切)正四边形、正三角形、正六边形的 边长、半径、边心距和中心角的关系。

2 需要补充或强化的数学思想方法
数学方法主要有: (1)配方法(在高中有着相当重要的地位与作 用,初中虽也涉及,但还需使学生能熟练掌握配方法的基本过程) 。 (2)换元法(也是最基本的数学方法之一,在数学解题中有着 不可估量的作用,初中对该方法的训练已大大弱化,高中数学却经常 使用) 。 (3)待定系数法(作为基本的数学方法初中要求明显降低,高 中教学可进行系统的讲授与训练)(4)反证法。 。 数学思想主要有:函数方程的思想、数形结合的思想、分类讨论 的思想、化归与转化的思想。 其中衔接教学的重点内容是: 十字相乘法、分组分解法和添项、 拆项法分解因式;一元二次方程的根与系数的关系;一元二次不等式 及其解法;简单分式不等式的解法;含绝对值的不等式的解法;二次 函数在给定区间上的最值问题;一元二次方程根的分布;三角形“四 心”的定义及几何性质。难点是:添项、拆项法分解因式;简单分式
22

关于初高中数学衔接教学的实践研究

不等式的解法;含绝对值的不等式的解法;二次函数在给定区间上的 最值问题;一元二次方程根的分布;三角形内(外)角平分线定理; 与圆有关的定理及应用。

第四章

教学案例分析

案例 1 根与系数的关系(韦达定理)① 一、学习目标 1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。 3、理解并掌握应用韦达定理构造方程,解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 二、内容分析 韦达定理:对于一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a, b, c ? R且a ? 0) ,如果方程 的两个根 x1 , x2 ,那么 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ?
b a b a c a

说明:注意公式重 x1 ? x2 ? ? 的负号与 b 的符号的区别根系关系 的三大用处 1.计算对称式的值 利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ;
1 1 x1 ? x2 ; ? ? x1 x2 x1 x2
| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ;
x1 x22 ? x12 x2 ? x1x2 ( x1 ? x2 ) ;



x13 ? x23 ? ( x1 ? x2 )3 ? 3x1x2 ( x1 ? x2 ) 等等.

① 张健. 《根与系数关系应用的中考题归类》[M].《中学理科:初中数理化》2011 年 8 期 23

硕士学位论文

例 1 若 x1 , x2 是方程 x2 ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值: (1) x12 ? x22 ; (2)
1 1 ? ; (3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ; (4) | x1 ? x2 | . x1 x2

解:由题意,根据根与系数的关系得: x1 ? x2 ? ?2, x1x2 ? ?2007 (1) x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ? (?2)2 ? 2(?2007) ? 4018 ; (2)
1 1 x1 ? x2 ?2 2 ; ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 ?2007 2007

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ? x1x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 25 ? ?2007 ? 5(?2) ? 25 ? ?1972 ; (4) | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2) 2 ? 4(?2007) ? 2 2008 .

2

构造新方程 以两个数 x1、x2 为根的一元二次方程是 x2 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1x2 ? 0 。

例 2 解方程组

?x ? y ? 5, ? ? xy ? 6.

解:显然,x,y 是方程 z 2 -5z+6=0 ① 的两根 由方程①解得 z1 =2, z2 =3.

∴原方程组的解集为 {(2,3),(3, 2)} . 显然,此法比代入法要简单得多。

3 定性判断字母系数的取值范围
24

关于初高中数学衔接教学的实践研究

例 3 一个三角形的两边长是方程 2 x2 ? kx ? 2 ? 0 的两根, 第三边长为 2, 求 k 的取值范围。 解:设此三角形的三边长分别为 a、b、c,且 a、b 为 2 x2 ? kx ? 2 ? 0 的 两根,则 c=2 由题意知△=k2-4×2×2≥0,k≥4 或 k≤-4

当 4 ? k ? 4 2 时,易验证 a ? b ? k ? 2 ? c , | a ? b |? (a ? b) 2 ? 4ab ? 2
1 2 k ? 6 ? c ? 2 . 故 k 的取值范围为 4 ? k ? 4 2 . 2

三、典型例题 例 4 已知关于 x 的方程 x 2 ? (k ? 1) x ? k 2 ? 1 ? 0 ,根据下列条件,分 别求出 k 的值. (1) 方程两实根的积为 5; (2) 方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 |? x2 . 分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是
x1 ? x2 ? 0 ,二是 ? x1 ? x2 ,所以要分类讨论.
1 4

解:(1) ∵方程两实根的积为 5
1 2 ? 2 ?? ? [?(k ? 1)] ? 4( 4 k ? 1) ? 0, 3 ? ? k ? , k ? ?4 ∴? 2 ? x x ? 1 k 2 ? 1 ? 5. 1 2 ? ? 4

所以,当 k ? 4 时,方程两实根的积为 5. (2) 由 | x1 |? x2 得知:
25

硕士学位论文

① 当 x1 ? 0 时, x1 ? x2 ,所以方程有两相等实数根, 故? ? 0? k ? ; ② 当 x1 ? 0 时, ?x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? k ? 1 ? 0 ? k ? ?1 ,由于
? ?0 ? k 3 2 3 ? ,故 k ? ?1 不合题意,舍去. 2 3 2

综上可得, k ? 时,方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 |? x2 . 说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值, 务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足 ? ? 0 . 例 5 已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx2 ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根.
( 2 2 (1) 是否存在实数 k , (2 x1 ?x2) x1 ? x) ?? 使
k 的值;若不存在,请您说明理由.

3 成立?若存在, 求出 2

(2) 求使

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值. x2 x1
3 2

解:(1) 假设存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ? 成立. ∵ 一元二次方程 4kx2 ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根 ∴ ?
? 4k ? 0
2 ?? ? (?4k ) ? 4 ? 4k (k ? 1) ? ?16k ? 0

? k ? 0,

又 x1 , x2 是一元二次方程 4kx2 ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根
? x1 ? x2 ? 1 ∴? ? k ?1 ? x1 x2 ? 4k ?

∴ (2x1 ? x2 )( x1 ? 2x2 ) ? 2( x12 ? x22 ) ? 5x1x2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 9x1x2
?? k ?9 3 9 ? ? ? k ? ,但 k ? 0 . 4k 2 5
3 2

∴不存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ? 成立.

26

关于初高中数学衔接教学的实践研究

(2) ∵

x1 x2 x 2 ? x22 ( x ? x )2 4k 4 ? ?2 ? 1 ?2 ? 1 2 ?4? ?4? ? x2 x1 x1 x2 x1 x2 k ?1 k ?1

∴ 要使其值是整数,只需 k ? 1 能被 4 整除,故 k ? 1 ? ?1, ?2, ?4 , 注意到 k ? 0 , 要使
x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值为 ?2, ?3, ?5 . x2 x1

说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其 值,若能求出,则说明存在,否则即不存在. (2) 本题综合性较强,要学会对
4 为整数的分析方法. k ?1

练习: 1.已知关于 x 的方程 (k ?1) x2 ? (2k ? 3) x ? k ? 1 ? 0 有两个不相等的实数 根 x1 , x2 . (1) 求 k 的取值范围; (2) 是否存在实数 k ,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求 出 k 的值;如果不存在,请您说明理由. 2.已知关于 x 的方程 x2 ? 3x ? m ? 0 的两个实数根的平方和等于 11.求 证:关于 x 的方程 (k ? 3) x2 ? kmx ? m2 ? 6m ? 4 ? 0 有实数根. 3.若 x1 , x2 是关于 x 的方程 x2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 1 ? 0 的两个实数根,且 x1 , x2 都大于 1. (1) 求实数 k 的取值范围; (2) 若
x1 1 ? ,求 k 的值. x2 2

27

硕士学位论文

案例 2 一元二次方程根的分布① 一、课标要求: 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。 这部分知识在 初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于 二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用。高中 我们将主要结合二次函数图象的性质, 掌握两种情况一元二次方程实 根分布的充要条件及其运用。 【知识回放】

① 张忠. 《一元二次方程实根分布新探》[M].山东: 《中学数学杂志:高中版》2007 年 4 期 33-37

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关于初高中数学衔接教学的实践研究

二、一元二次方程根的分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关 系。比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一 个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 。

1.一元二次方程根的基本分布(零分布) 例 1 若一元二次方程 (m ?1) x2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个正根,求 m 的取 值范围。 解:结合二次函数图象(如图 1)不难得到。
y
a?0
c?0 O x1 O

y

?

b ?0 2a

x
x1
c?0

??0

x2

??0 a?0

x2 x b ? ?0 2a

图1
? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0, ? x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ? x ? x ? ? b ? 0, 规律提升与总结: (1) ? 1 2 a ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0. ?



? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? (2) x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ?af (0) ? 0, ? b ?? ? 0. ? 2a

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硕士学位论文

? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0, ? b 类比可得: (1) x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0, ? a ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0. ?

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? (2) x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ?af (0) ? 0, ? b ?? ? 0. ? 2a
a?0

y
c?0

?

b ?0 2a

y
x2 O

x1
??0

x

??0

x1
? b ?0 2a

x2

Ox a?0

c?0

图2 例 2
k 在何范围内取值,一元二次方程 kx 2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有一个正根

和一个负根?

小结与提升: (3) x1 ? 0 ? x2 ? ? 0 (4) x1 ? 0 ? x2 ? a>0,f(0)<0 或 a<0,f(0)>0 ? af(0)<0 跟踪练习: (1). 若方程 8x2 ? (m ?1) x ? m ? 7 ? 0 有两个负根,求实数 m 的取值范围。 (2) 关于 x 的方程 x2 ? ax ? a 2 ? 4 ? 0 有两个正根, . 求实数 a 的取值范围。
c a

30

关于初高中数学衔接教学的实践研究

2.一元二次方程的非零分布(K 分布)
2 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且

x1 ? x2 。 k 为常数。则一元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的

位置)有以下结论:
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? 1) k ? x1 ? x2 ? ?af (k ) ? 0, (如图 3) ? b ?? ? k. ? 2a
y
f (k ) ? 0
?

y
a?0

x??

b 2a

O

k
x2
x?? b 2a

O

k x1

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

图3
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? 2) x1 ? x2 ? k ? ?af (k ) ? 0, (如图 4) ? b ?? ? k. ? 2a
y
a?0
O

y
f (k ) ? 0
?

x??
O

b 2a

x1

x2

k
x2
?

k x
b 2a

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

图4 3) x1 ? k ? x2 ? af (k ) ? 0 (如图 5)
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硕士学位论文

y
a?0

y
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

图5 4)有且仅有 k1 ? x1 (或 x2 ) ? k2 ? f (k1 ) f (k2 ) ? 0
y
?

(如图 6)

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

图6
? a ? 0, ? a ? 0, ? f ( k ) ? 0, ? f ( k ) ? 0, 1 ? 1 ? k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x2 ? p2 ? ? f ( k ) ? 0, 或 ? f ( k ) ? 0, 5) ? ? 2 2 ? f ( p ) ? 0, ? f ( p ) ? 0, 1 1 ? ? ? f ( p2 ) ? 0. ? f ( p2 ) ? 0. ? ?
?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ?af (k1 ) ? 0, k1 ? x1 ? x2 ? k 2 ? ? 6) ?af (k2 ) ? 0, ? ?k ? ? b ? k . 2 ? 1 2a ?
y
? ?

(如图 7)

a?0

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x k1
O
?

x??

b 2a

O k 1

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

图7

例 3 求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x2 ? 2(m ?1) x ? 2m ? 6 ? 0
32

关于初高中数学衔接教学的实践研究

(1) (2) (3) (4)

有两个实根,且一个比 2 大,一个比 2 小; 有两个实根,且都比 1 大; 有两个实根 α、β,且满足 0<α<1<β<4; 至少有一个正根。

小结: 二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程
f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x2 ;则:

根的 情况 等价 命题 充要 条件

x1 ≥ x2 ? k

x1 ≤ x2 ? k

x1 ? k ? x2

在区间 (k , ??) 上 有两根
Δ ? ≥0 ? b ? ?k ?? ? 2a ?a ? f (k ) ? 0。 ?

在区间 (??, k ) 上 有两根
Δ ? ≥0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? a ? f (k ) ? 0。 ?

在区间 (k ,??) 或 (??, k ) 上有一根

a·f(k)<0

另外: ①二次方程 f(x)=0 的一根小于 p,另一根大于 q(p<q)
?a ? f ( p) ? 0, ?? ?a ? f (q) ? 0.

②二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或
? f (q) ? 0, ? f ( p) ? 0 或? . ? ?a ? f ( p) ? 0. ?a ? f (q) ? 0

③若在闭区间 [m, n] 讨论方程 f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开 区间 (m, n) 上实根分布的情况,得出结果,在令 x ? n 和 x ? m 检查端点 的情况

三、典型例题分析
33

硕士学位论文

例 4 已知集合 A ? {x|x2 -5x+4 ? 0} , B ? {x|x2 -2ax+a ? 2 ? 0} ,若 B ? A ,求 实数 a 的取值范围. 解: A ? {x|x2 -5x+4 ? 0} ? {x|1 ? x ? 4} . 设 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a ? 2 ,它的图象(如图 8)是一 条开口向上的抛物线. (1)若 B ? ? ,满足条件,此时 ? ? 0 , , 即 4a2 ? 4(a ? 2) ? 0 解得 ?1 ? a ? 2 ; (2)若 B ? ? ,设抛物线与 x 轴交点的横坐标为 x1 , x2 , 图 8 且 x1 ? x2 ,欲使 B ? A ,应有 {x | x1 ? x ? x2} ? {x |1 ? x ? 4} ,
? f (1) ? 0 ? f (4) ? 0 ? 结合二次函数的图象,得 ? ? ?2a ?1 ? ? 2 ? 4 ? ?? ? 0 ?

变式:.已知集合 A= {? x, y ? y ? ? x 2 ? mx ? 1} ,B= {? x, y ? x ? y ? 3,0 ? x ? 3} ,若 B ? A 是单元素集,求实数 m 的范围.
? ?f 4 ?0 ? ? ? 9 ? 解:由已知得: ? <0 ? ?1 ? a ? 2 或 ? f ?1? ? 0 ? 2 ? a ? 4 ?? ? 0 ? ?1 ? a ? 4 ?

所以 ?1 ? a ?

9 4

34

关于初高中数学衔接教学的实践研究

案例 3 二次函数在闭区间上的最值问题① 一、知识要点 一元二次函数的区间最值问题,核心是对函数对称轴与给定区间 的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右 边三种情况. 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,求 f ( x) 在 x?[m n] 上的最大值与最小 , 值。 分析: f ( x) 的对称轴方程 x ? ? 当 a ? 0 时,抛物线开口向上 若?
b ? [m, n] 时 必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取 2a ,
b ? [m, n] 时, a ? 0 , 当 抛物线开口向上, 此时函数 f ( x) 在 [m,n] 2a
b 2a

b 2a 。

得最大值; 若?

上具有单调性,故在离对称轴 x ? ?

较远端点处取得最大值,较近端

点处取得最小值。当 a ? 0 时,如上,作图可得结论,对二次函数的区 间最值结合函数图象总结如下: 当a ? 0时

图9

图 10

图 11

图 12

图 13

① 朱玮. 《二次函数在闭区间上的最值及其应用》.扬州: 《高中数学教与学》2011 年 5 期 22-29 35

硕士学位论文

f ( x ) max

b 1 ? ? f (m), ? 2a ? 2 ( m ? n)(如图9) ? ?? ? f (n), ? b ? 1 ( m ? n)(如图10) ? 2a 2 ?

f ( x ) min

b ? 11 ? f ( n), ? 2a ? n(如图 ) ? b b ? ? ? f (? ), m ? ? ? n(如图 ) 12 2a 2a ? b ? 13 ? f ( m), ? 2a ? m(如图 ) ?

当a ? 0时

图 14

图 15

图 16

图 17

图 18

f ( x ) max

b ? 14 ? f ( n), ? 2a ? n(如图 ) ? b b ? ? ? f (? ), m ? ? ? n(如图 ) 15 2a 2a ? b ? 16 ? f ( m), ? 2a ? m(如图 ) ?
b 1 ? 17 ? f (m), ? 2a ? 2 ( m ? n)(如图 ) ? ?? ? f (n), ? b ? 1 ( m ? n)(如图 ) 18 ? 2a 2 ?

f ( x) min

说明:求二次函数在某一范围内的最值,要注意对称轴与自变量 的取值范围相应位置,具体情况,参考例 4。 二、例题选讲

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关于初高中数学衔接教学的实践研究

例 1 求下列函数的最大值或最小值. (1) y ? 2x2 ? 3x ? 5 ; (2) y ? ? x2 ? 3x ? 4 .

分析:由于函数 y ? 2x2 ? 3x ? 5 和 y ? ? x2 ? 3x ? 4 的自变量 x 的取值 范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可 以确定函数有最大值或最小值. 解: (1)因为二次函数 y ? 2x2 ? 3x ? 5 中的二次项系数 2>0,所以 抛 物 线 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 有 最 低 点 , 即 函 数 有 最 小 值 . 因 为
3 49 3 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 ? 2( x ? ) 2 ? ,所以当 x ? 时,函数 y ? 2x2 ? 3x ? 5 有最小 4 8 4

值是 ?

49 . 8

(2)因为二次函数 y ? ? x2 ? 3x ? 4 中的二次项系数-1<0,所以抛物 线 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 有 最 高 点 , 即 函 数 有 最 大 值 . 因 为
3 25 3 y ? ? x2 ? 3x ? 4 = ?( x ? )2 ? ,所以当 x ? ? 时,函数 y ? ? x2 ? 3x ? 4 有最 2 4 2

大值

25 . 4

例 2 当1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x2 ? x ? 1的最大值 和最小值. 解: 作出函数的图象 (如图 19) 当 x ? 1 时, max ? ?1 , . y 当 x ? 2 时, ymin ? ?5 . 图 19

说明:二次函数在自变量 x 的给定范围内,对应的图象是抛物线 上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标 即为函数的最小值.
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硕士学位论文

根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量 x 的范围的图象 形状各异(如图 20) .下面给出一些常见情况:

图 20 例 3 当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围. 解:作出函数 y ? ? x(2 ? x) ? x2 ? 2x 在 x ? 0 内的图象(如图 21) .

图 21 可以看出:当 x ? 1 时, ymin ? ?1,无最大值.所以,当 x ? 0 时,函 数的取值范围是 y ? ?1 . 例 4 当 t ? x ? t ? 1 时, 求函数 y ? x 2 ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对 称轴与其范围的相对位置. 解:函数 y ? x 2 ? x ? 的对称轴为 x ? 1 .画出其草图 22. (1) 当 对 称 轴 在 所 给 范 围 左 侧 . 即 t ? 1 时 : 当 x ? t 时 ,
1 5 ym i n t 2 ? t ? ? 2 2; 1 2 5 2

1 2

5 2

(2) 当对称轴在所给范围之间.即 t ? 1 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1 时:
x ? 1 时, ymin ?



1 2 5 ?1 ? 1 ? ? ?3 ; 2 2
38

关于初高中数学衔接教学的实践研究

(3) 当对称轴在所给范围右侧.即 t ? 1 ? 1 ? t ? 0 时:当 x ? t ? 1 时,
ymin ? 1 5 1 (t ? 1) 2 ? (t ? 1) ? ? t 2 ? 3 2 2 2 .

图 22
?1 2 ? 2 t ? 3, t ? 0 ? 综上所述: y ? ??3, 0 ? t ? 1 . ?1 5 ? t2 ? t ? ,t ? 1 2 ?2

例 5 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品, 试销中发现这种 商品每天的销售量 m (件)与每件的销售价 x (元)满足一次函数
m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54 .

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的 函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润, 每件商品的售价定为多少 最合适?最大销售利润为多少? 解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x ? 30) 元,那么 m 件的 销售利润为 y ? m( x ? 30) ,又 m ? 162 ? 3 x .
? y ? ( x ? 30)(162 ? 3x) ? ?3x2 ? 252x ? 4860,30 ? x ? 54

(2) 由(1)知对称轴为 x ? 42 ,位于 x 的范围内,另抛物线开口向下
? 当 x ? 42 时, ymax ? ?3? 422 ? 252 ? 42 ? 4860 ? 432 ? 当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售
39

硕士学位论文

利润为 432 元.

三、巩固练习 1.抛物线 y ? x2 ? (m ? 4) x ? 2m ? 3 ,当 m = _____ 时,图象的顶点在
y 轴上;当 m =

_____ 时,图象的顶点在 x 轴上;当 m = _____ 时,图

象过原点. 2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成 的最大面积为 ________ . 3.设 a ? 0 ,当 ?1 ? x ? 1 时,函数 y ? ? x2 ? ax ? b ?1 的最小值是 ?4 , 最大值是 0,求 a , b 的值. 4.已知函数 y ? x2 ? 2ax ? 1 在 ?1 ? x ? 2 上的最大值为 4,求 a 的值. 5.求关于 x 的二次函数 y ? x2 ? 2tx ? 1 在 ?1 ? x ? 1 上的最大值( t 为常 数).

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关于初高中数学衔接教学的实践研究

案例 4 恒成立问题① 一、恒成立问题的基本类型 在高中数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立 的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:?在 给定区间上某关系恒成立;?某函数的定义域为全体实数 R;?某不等 式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于 a 等等。 恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着 换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的 综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作 用。因此也成为历年高考的一个热点。 二、恒成立问题解决的基本策略 1 分离参数——最值化

对于某些恒成立问题,可将其中的参数分离出来,将原问题转化 为 a ? f ( x) ( 或 a ? f ( x) ) 在 给 定 区 间 上 恒 成 立 ? a ? f ( x)max ( 或 ,从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。 a ? f ( x)m i n) 例 1 当 x ? (??,1] 时,不等式 (a ? a2 )4x ? 2x ?1 ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。
1 1 解析:因 4 ? 0 ,所以 a ? a ? ? ? ? ? ? ? 对 x ? (??,1] 恒成立, ? ? ? ? ? 4? ? 2?
x

x

x

2

① 叶军. 《数学奥林匹克教程》[M].《湖南师大出版社》.湖南:2002 年 4 期 41

硕士学位论文

? 1 1 ? 1 1 即有 a ? a 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,由于 f ( x) ? ? ? ? ? ? ? 在 (??,1] 上是增函 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 2? ? ? 4 ? ? 2 ? ? max ? ?
x x

x

x

1 1 3 数,所以当 x ?1时, f ( x)max ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ?4? ? 2? 4

1

1

所以 a ? a 2 ? ? ? 4a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ? ? ? a ? . 例 2 设a ? b ? c且
1 1 m ? ? 恒成立, 求实数 m 的取值范围。 a ?b b?c a ?c

3 4

1 2

3 2

解析:由于 a ? c ,所以 a ? c ? 0 ,于是 m ? (a ? c) ? ? 因

1 1 ? ? ? 恒成立, ? a ?b b ?c ?
c

1 ? 1? ? b ? 1 ? 1 ? b? c a ? (a ? c)? ? a ? b ? ? [ (? b ) ?( ?c ) ] ? ? ? ? ?1 1 ? ? ? ? b ? a ? b b ?c ? ?a b ? b c ? ? ? a ? ? b
? 2? 2

b ?c a ?b ,故 m ? 4 。 ? ? 4. (当且仅当 b ? c ? a ? b 时取等号) a ?b b ?c

2 数形结合(直接根据图象判断) 对于某些不容易分离出参数的恒成立问题, 可利用函数的图像或 相应图形,采用数形结合的思想,直观地反应出参数的变化范围。 例 3 当 x ? 0 时,恒有 (5 ? a) x2 ? 6x ? a ? 5 ? 0 成立,求实数 a 的取 值范围。 解析:令 f ( x) ? (5 ? a) x2 ? 6x ? a ? 5 ,由题意, f ( x) ? 0 对 x ? [0, ??) 恒 成立。 (1)当 5 ? a ? 0 ,即 a ? 5 时,有 6 x ? 10 ? 0 对 x ? [0, ??) 恒成立。 (2)当 5 ? a ? 0 时,结合二次函数的图像(如图 23) ,
6 6 ? ? ?? 2(5 ? a) ? 0 ?? 2(5 ? a) ? 0 ? ? ? 或 ? f (0) ? 0 或 ?5 ? a ? 0 ? ?5 ? a ? 0 ?? ? 36 ? 4(5 ? a)(a ? 5) ? 0 ? ? ? ? ? ?

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关于初高中数学衔接教学的实践研究

? ?5 ? a ? 5或 ? 4 ? a ? 4 ? ?5 ? a ? 5 .

综合(1) (2)得 a ? (?5,5].

图 23 例 4 设 f ( x) ? ( x ? 2k )2 ( x ? Ik , Ik 表示区间(2k ?1, 2k ?1]) ,对于任意正

整数 k, 直线 y ? ax 与 f ( x) 恒有两个不同的交点, 求实数 a 的取值范围。 解析: 作出 f ( x) ? ( x ? 2k )2 在区间 (2k ? 1, 2k ? 1] 上的图像, 由图像知, 直线 y ? ax 只能绕原点 O 从 x 正半轴旋转到过点 A(2k ? 1,1) 的范围,直 线 AO 的斜率为
1? 0 1 1 ? , 于是实数 a 的取值范围是 0 ? a ? . 2k ? 1 ? 0 2k ? 1 2k ? 1

3 巧妙赋值——特殊化 在某些恒成立问题中,恰当地取特殊的数或考虑特殊的情形,探 求出参数的值或范围,再加以证明,不失为一个好办法。 例 5 是否存在常数 c,使得不等式
x y x y ? ?c? ? 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2x ? y

对任意的正实数 x,y 恒成立?并证明你的结论。 解析:令 x ? y 得 ? c ? ,有 c ? . 先证
x y 2 ? ? 成立 2x ? y x ? 2 y 3
2 3 2 3 2 3

只需证 3x( x ? 2 y) ? 3 y(2 x ? y) ? 2(2 x ? y)( x ? 2 y) 成立

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硕士学位论文

? 证 2xy ? x2 ? y 2 成立,此时显然成立。

再证

x y 2 ? ? 成立。 x ? 2 y 2x ? y 3

? 证 3x(2 x ? y) ? 3 y( x ? 2 y) ? 2( x ? 2 y)(2 x ? y)

成立 ? 证 x2 ? y 2 ? 2xy 成

立,此时也显然成立。 故存在常数 c,使得原不等式对任意的正实数 x,y 恒成立。 例 6 设 f ( x) ? 1 ? 2cos x ? 3sin x 。若对于任意 x ? R, af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 恒成立,试确定常数 a,b,c。 解析:取 x ? 0, , ? 分别代入已知等式,
2

?

?2b cos c ? 3b sin c ? 1 ? 3a ? b ? 即 ??2b cos c ? 3b sin c ? 1 ? a ? b ?3b cos c ? 2b sin c ? 1 ? 4a ? b ?

(1) (2) (3)

(1)+(2)得, a ? b ? 1 由(2) (4)得 (3)
s i n ? 0, c o c ? c s b ?1 (b ? 0) b

(4)

由 sin

2

c ? cos 2 c ? 1 得 b2 ? (b ?1)2 ,解得 b ? 1 ,从而 a ? 1 .

2

2

再由 cos c ?

b ?1 ? ?1 b

再 c ? 2k? ? ? (k ? Z ). 将求解的 a、b、c 代入已知等式验证适合, 故 a ? b ? , c ? 2 k? ? ? ( k ? Z ) 4 换元引参,显露问题实质 对含多个变量问题,有时变换主元与次元的位置,常能达到避繁 就简的目的。 例 7 对于所有实数 x,不等式
x 2 log 2 4(a ? 1) 2a (a ? 1) 2 ? 2 x log 2 ? log 2 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 a a ?1 4a 2
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1 2

关于初高中数学衔接教学的实践研究

解: 因为 log 2

2a 2a 的值随着参数 a 的变化而变化, 若设 t ? log 2 , a ?1 a ?1

则上述问题实质是“当 t 为何值时,不等式 (3 ? t ) x 2 ? 2tx ? 2t ? 0 恒成立” 。这是我们较为熟悉的二次函数问题,它等价于 求解关于 t 的不等式组: ? 即有 log 2
?3 ? t ? 0
2 ?? ? (2t ) ? 8t (3 ? t ) ? 0

。 解得 t ? 0 ,

2a ? 0 ,易得 0 ? a ? 1。 a ?1

恒成立问题中含参范围的求解策略较多, 但主要有以上四种常见 方法,其实质是一种等价转化的思想,可见,只要我们在解题中善于 归纳和总结,就一定会积累更多的经验和方法,从而更好地提高我们 的解题能力。

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硕士学位论文

第五章

结论与启示

一、优化组合教材内容,实现教材的过渡衔接

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关于初高中数学衔接教学的实践研究

在对于存在如此多问题的高一新生的启蒙教学中, 每一个知识的 教学更应注重新旧联系,了解学生的而思维过程,突破新旧知识的衔 接点,摈弃学生原有的错觉,提高学生的认知水平,优化学生的认知 结构。数学知识间的联系非常紧密,运用联系的观念提示新知。使学 生不仅能顺利接受新知, 而且能够认识到新、 旧知识间的联系与区别。 使知识条理化、 系统化。 高一数学知识大多是在初中基础发展而来的, 因而从初中知识 (衔接点) 出发, 提出新问题, 可以研究得到新知识。 只要我们教师认真研究初、高中教材,都不难发现初中课本中的 喜多例习题和考题都为高中的教学埋下了很好的伏笔。 就说高一数学 第一册的第一章集合,初中几何中垂直平分线、角平分线两个点的集 合,就为集合定义给出了几何模型。此外,初中的正、反比例函数、 二次函数等基本知识为研究指出函数、 一元二次不等式的解法等问题 架起了桥梁,解直角三角形则为三角函数的推广提供了依据,正整数 指数幂为小数指数幂的引入提供了前提,而初中教材中,三次函数定 义的出现,使学生对函数的“变化”有了感性的认识,为高中数学在 影射的基础上给出抽象的定义奠定了基础。无独有偶,平面几何中的 “等角定理”不正是立体几何的“空间等角定理”的基础吗?同时平 面几何的“等角定理”又为平面解析几何中秋椭圆的轨迹方程提供了 现实的模型。注入此类的新旧知识衔接不胜枚举,可以说高中数 学知识是初中数学知识的延伸和提高,因此,在教学中只要高中教师

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硕士学位论文

能深入钻研教材,做到熟悉初中数学教材和课程标准,对初中的数学 概念和知识的要求做到心中有数,高中数学新授课,就可以用学生已 熟悉的知识进行铺垫和引入,以旧引新,由浅入深,循序渐进,必能 让学生积极地参与到教学过程中来,顺利地走过“知识坡” ,度过内 容与教材的适应性难关。

二、创设情境,激发学生的学习兴趣,实现教法的过渡衔接
心理学研究成果表明: 缺乏学习数学的兴趣和学习意志力薄弱是 造成数学成绩分化的主要内在心理因素。初中生以感性思维为主,故 应注重培养其学习兴趣;而高中生理性思维增强,故应注重培养其意 志品质,推动学生进行学习的内部动力是学习动机,而兴趣则是构建 学习动机中最现实、最活跃的成份。浓厚的学习兴趣无疑会使人的各 种感受尤其是大脑处于最活泼的状态,使感知更清晰、观察更细致、 思维更深刻、想象更丰富、记忆更牢固,能够最佳地接受教学信息。 不少学生之所以视数学学习为苦役、为畏途,主要原因还在于缺乏对 数学的兴趣。因此,教师要着力于培养和调动学生学习数学的兴趣。 提高学生数学学习兴趣的途径有: (1)以“巧”激趣; (2)以“多”激趣; (3)以“疑”激趣; (4)数形结合,激发兴趣; (5)以“误”激趣; (6)以“爱”激趣。 增强学生学习意志力的途径:(1)鼓励学生积极地迎接困难,让学 生懂得怎样去排除障碍,征服挫折。 (2)经常为学生设置一些他们能 够克服的障碍,以培养其意志品质。 (3)学生做有一定难度的练习题 时, 要鼓励学生知难而进、 独立思考, 不要轻易地代替学生解答难题。

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关于初高中数学衔接教学的实践研究

在课堂教学过程中要针对不同层次的学生进行分层教学, 注意创 设新颖有趣、难易适度的问题情境,把学生导入“似懂非全懂”“似 、 会非全会”“想知而未全知”的情境,避免让学生简单重复已经学过 、 的东西,或者去学习过分困难的东西,让学生学有所得,发现自己的 学习成效,体会探究知识的乐趣,增强学习的信心。 在教学过程中,教师还要通过生动的语言、精辟的分析、严密的 推理、有机的联系来挖掘和揭示数学美,让学生从行之有效的数学方 法和灵活巧妙的解题技巧中感受数学的无穷魅力, 并通过自己的解题 来表现和创造数学美, 产生热爱数学的情感, 从枯燥乏味中解放出来, 进入其乐无穷的境地,以保持学习兴趣的持久性。

三、构建学习模式、实现学法的过渡衔接
数学学习的“建构学说”和现代认知心理学的现代研究表明:学 生的学习不是由教师把知识简单地传递给学生, 而是主动地建构知识 的过程。 学生的学习不是被动地接受信息刺激, 而是主动地建构意义。 这种学习意义的获得是每个学习者以自己原有的知识经验为基础, 对 新信息创新认识和编码,建构自己的理解。在这一过程中,学习者通 过同化和顺应这两种方式使自己的认知结构飞跃, 从而形成更完善的 认知结构,出现平衡—不平衡—平衡的过程,发生由量变到质变的飞 跃。因此,我们的教学不能无视学生的已有知识经验,简单强硬地从 外部对学习者实施之知识的“填灌” ,而应当把学生原有的知识经 验作为新知识的生长点,引导学生从原有的知识经验中,生长新的知 识经验,进而完成真正意义的知识建构(如图 24) 。正是在这样的意 义上,美国认知教育心理学家奥苏贝尔写道“如果我不得不将教育

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硕士学位论文

心理学还原为一条原理的话,我将会说,我将会说,影响学习的最重 要因素是学生已知道了什么, 我们应当根据学生原有的知识状况去进 行教学” 。

图 24 (1)培养良好的学习习惯 良好学习习惯是学好高中数学的重要因素。它包括:制定计划、 课前自习、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和 课外学习这几个方面。改进学生的学习方法,可以这样进行:引导学 生养成认真制定计划的习惯,合理安排时间,从盲目的学习中解放出 来;引导学生养成课前预习的习惯。可布置一些思考题和预习作业, 保证听课时有针对性。还要引导学生学会听课,要求做到“心到” , 即注意力高度集中; “眼到” ,即仔细看清老师每一步板演; “手到” , 即适当做好笔记; “口到” 即随时回答老师的提问, , 以提高听课效率。 引导学生养成及时复习的习惯,下课后要反复阅读书本,回顾堂上老 师所讲内容, 查阅有关资料, 或向教师同学请教, 以强化对基本概念、 知识体系的理解和记忆。引导学生养成独立作业的习惯,要独立地分 析问题,解决问题。切忌有点小问题,或习题不会做,就不加思索地

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关于初高中数学衔接教学的实践研究

请教老师同学。引导学生养成系统复习小结的习惯,将所学新 知识融入有关的体系和网络中,以保持知识的完整性。引导学生养成 阅读有关报刊和资料的习惯,以进一步充实大脑,拓宽眼界,保持可 持续发展的后劲。加强学法指导应寓于知识讲解、作业评讲、试卷分 析等教学活动中。另外还可以通过举办讲座、介绍学习方法和进行 学习目的和学法交流。 (2)强调预习和复习 把预习和复习作为养成学习习惯的突破口(复习含在“做”中) , 一个学习单元以预习开始, 以复习结束, 然后又开始下一个学习单元。 如布置作业每次都可留三种作业:复习当天内容、书面作业和下一单 元的预习作业。时间证明,学生对预习更感兴趣。预习的好久可以赢 得时间,赢得主动,对各层次的学生都有好处。有不少学生从预习中 尝到甜头,从而一举扭转了局面。基础好的学生学习速度很快,几乎 仅用一半的时间就把课本学完了。然后把目光转向课外书。有的学生 常去阅览室翻阅数学杂志,借阅图书,探索新知识,解决新问题。做 好预习工作,对改变“差生”的学习也有很大帮助,差生是误差积累 造成的。由于基础差,导致课堂上学得少,不及时补救则更差。时间 表明,学生不愿补习旧知识,更愿意预习,学习新知识,边学习边补 救。由于预习充分,减轻了课上负担,学习效果更好。相对来说学生 对复习不如对预习感兴趣。但大部分学生认识到复习的重要性,能够 按要求自觉复习。学生不但复习当天所学,还要按章节复习。例如把 每一章的基本结构(课本上所有的黑体字和补充的重要知识),在八开 白纸上列出知识结构图。有些学生煞费苦心,深入钻研,作出的图非 常好,把它放在班上巡回展出,贴在墙报上,写上某小老师作, “小
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硕士学位论文

老师”甚为得意。 (3) 鼓励发问 学生学习的过程,就是解决疑问的过程,尤其以数学学科为甚。 如果一个班级里,听不到数学问题的声音,那么可以肯定地说,数学 在这个班是不受欢迎的。学生对数学漠不关心,对数学不感兴趣,不 想数学,不做数学,当然就没有问题可问。另外学生问得多、问得好 有利于营造良好的氛围。因此,笔者在实践中尝试这样的做法:在班 上规定,任何学生,都可以在数学辅导课上或课余任何时候、任何地 点问任何问题(是否回答和怎么视情况定) 。一开始学生可能只会问 某某题怎么做,但后来问的水准越来越高,题材越来越广泛。例如是 中国古代数学先进,还是古希腊数学先进;阿基米德和牛顿为什么是 数学家;华罗庚是怎样成才的;哥德巴赫猜想是怎么回事等等。 (4)培养自学能力,提倡学生继续学习的潜能 让学生学会自学是学习习惯的养成,是教学的基本目标之一,自 学活动是学生自主学习活动,是最能体现学习者主体地位的学习方 式。自学活动又是一种综合性学习活动。在自学活动中,多种个性品 质得到综合发展。长期坚持自学有助于养成自学习惯。预习是自学的 开始;独立想和亲自做事自学的核心。数学教学中,数学思想经常是 从书本上或从教室口中传递给学生的,学生自己的思考被教室代替 了。显然,没有经过学生自己的独立思考,知识学习中的最大问题是 “能听明白,但做不出来” ,高中生尤甚。其根本原因就是没有经过 自己想和自己做这一关键环节。正所谓“听而易忘,看而易懂,做而 易于理解。 ” 培养自学能力不单是能力本身是否存在的问题, 更主要的是废除
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关于初高中数学衔接教学的实践研究

传统的“注入式”教学,是提高教学质量的只要途径。数学教材是教 师传授知识的只要依据,是学生获得知识,培养能力的主要源泉。事 实上,由于时间的局限,老师讲课的内容是有限的,无限的知识探索 和掌握还是靠自己,从整个意义上讲,培养自学能力比传授知识更重 要。另外,在教学中培养自学能力要注重“导”与“学”“导”就是 , 教师在自学中起好引导、指导作用。开始教师列出自学指导提纲,引 导学生阅读教材,怎样读,怎样找疑点和难点,怎样归纳,教师逐步 放手,学生逐步提高; “学”就是在阅读教材的基础上,是学生课前 做到心中有数,上课带着问题专心听讲,课后通过复习,落实内容才 做习题,作业错误自行做好“红笔”订正,只要能使学生开动脑筋, 提高成绩,而学生有了自学习惯和自学能力,就能变被动学习为主动 学习。 进入高中以后,课堂密度增大,教学进度加快,知识信息广泛, 题目难度加大,只靠教师讲、学生听已很难使学生掌握所学知识。这 时尤其需要调动学生的积极性,让他们由被动地学变为主动地学,由 学会变为会学。在日常教学中,教师应有意识地讲述法向其他教学法 衔接,如引导学生怎样学好数学语言、阅读数学课本,如何掌握数学 概念、用活数学公式、以及怎样掌握数学解题基本技巧等,都需要教 师在学法指导的过程中不断渗透给学生。例如在概念教学中,可以通 过对重要的字词添加记号,对易混淆的概念(定理)进行对比,对公 式、定理各字母的含义,使用范围、特例等做补充说明来帮助学习, 通过各种不同的教学方法, 使学生逐步体会到只有提高自己的学习能 力,才能适应高中的学习。

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硕士学位论文

第六章.结束语
数学教学初、高中阶段之间要实现合理衔接,除了本文所研究的 诸多方面以外必须考虑到数学教育技术的进步、教育评价方式的完 善、社会和家庭对数学教育的影响等多种因素,需要教育专家、数学 教师、 教育行政人员的共同努力; 必须使系统中各要素实现有机组合, 形成一种合力,使系统、要素、环境之间关系和谐,达到辩证统一, 并协调发展。 当前我国正在出在基础教育改革阶段, 数学教育自然是改革的重 中之重。义务教育阶段和高中阶段数学课程标准的颁布,不同风格数 学新教材的推广,各个地方教研教改风气的形成,极大地促进了数学 教育的发展。从数学教育与人的发展这一宏观角度出发,借鉴相关学 科的研究成果,来讨论数学教育初、高中阶段之间的衔接,无疑有助 于形成科学系统的数学教育理论,有助于在更普遍、更高的层次上解 决来自实践中已经存在或即将面临的一系列问题。 本文主要从教材、教师、学生三方面展开研究,认识和研究新、 旧课程标准下初、高中学段教学的衔接问题得出一些结论。仅凭问卷 和一些测查是不够的,需要持久的、多方面的努力来研究解决衔问题 的策略。价值这次研究和实验具有时间短,人力、物力、财力不充足 等局限性, 同时由于本人理论素养和经验不足, 研究方法又不太熟练, 因此难免有不足的、 甚至缪论, 望各位专家、 学者和同行的批评指正, 以便我今后不断修正、完善。

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关于初高中数学衔接教学的实践研究

参考文献

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硕士学位论文

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主体部分:关于初高中数学衔接的实践研究

4 关于初高中数学衔接教学的实践研究 3 数学教学衔接问题的研究现状 面前,对于初高中数学衔接教学的研究在我国处于起步阶段,教 育专家对小学、中学、高中各个学段...

初高中数学衔接研究报告

以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 1、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂 教学中更多地关注学生的这一学习主体。...

11初高中数学衔接教材研究结题报告

初高中数学衔接教材研究”结题报告国本中学高中数学课题组 一、课题背景。 由于义务教育的需要,初中数学教材进行了大量削减或弱化,其中一部分是 高中数学进一步学习...

初高中数学衔接的分析与对策

初高中数学衔接的分析与对策_高一数学_数学_高中教育...而高中内容则注重发展性及研究性,以提高学生的实践 ...初高中所学函数的性质无不与图象有关。尤其是高中,...

浅析初高中数学衔接所采取的主要措施

初高中数学有很多衔接知 识点, 如函数概念、 平面几何与立体几何相关知识等, 到高中, 它们有的加深了, 有的研究范围扩大了,有些在初中成立的结论到高中可能不...

初高中数学衔接教学和实践

初高中数学衔接教学和实践_数学_高中教育_教育专区。...特征和数学特点,积极探索适合高 中学生数学学习的...新的环境,新的要求和知识,引起了部分学生 的畏难情...

《初高中数学教学衔接研究》课题实施方案

初高中数学教学衔接研究课题实施方案_数学_高中教育_教育专区。《初高中数学教学衔接研究课题实施方案( 2012 年 9 月 10 日) 一、研究背景 1.九年义务...

关于初高中数学衔接的实践体会

研究变量、字母,不仅注重计算,而且还注重理论分析,这与初中相比增加了难度。 ...关于初高中数学衔接的实... 暂无评价 2页 5下载券 主体部分:关于初高中数....

初高中数学教学衔接问题的研究

三、研究过程 (一) 研究目标 本课题根据初、高中数学教学的现状,旨在研究初高中数学教学衔接的原则、途径 和方法,寻找能适应初、高中学生数学学习心理特点的衔接...