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数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案

时间:2015-05-13


数列的综合应用
【考纲说明】
1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和; 2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题; 3 .理解数列作为函数的特性,能够抽象出数列的模型;

【知识梳理】
考点一:通项公式的求解技巧 1. 归纳、猜想数列的通项. 2. 迭代法求一阶递推式的通

项公式. 3. 用等差(等比)数列的通项公式求数列的通项公式.

?S n ?1 . 4. 已知数列{an}前 n 项和 Sn,则 an ? ? 1 ?S n ? S n?1 n ? 2
5. 已知 an-an-1=f(n)(n?2),则可用叠加法求 an. an 6. 已知 =f(n)(n?2),则可用叠乘法求 an. an-1

n ?1 ?T1 ? 7. 已知数列{an}前 n 项之积 Tn,一般可求 Tn-1,则 an= ? Tn . n ? 2 ?T ? n ?1
8. 已知混合型递推式 f(an,Sn)=0,可利用 an=Sn-Sn-1(n?2)将关系式转化为只含有 an 或 Sn 的递推式,再求 an 或先间接 求出 Sn 再求出 an. 9. 已知数列{an}的递推关系,研究它的特点后,可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式 两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出 新数列{f(an)}为等差或等比数列. n n+1 例如:形如 an+1=Aan+f(n)或 an+1=Aan+q ,均可以两边同时除以 A 后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为 an-1 等比数列求解;形如 an= 的递推数列可以两边同时倒数来求通项. kan-1+b

考点二:数列求和的技巧 一、公式法 1、等差数列的前 n 项和公式

1

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2

2、等比数列的前 n 项和公式

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
3、常用几个数列的求和公式 (1) S n ?
n

? k ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 n(n ? 1)
k ?1 n

1

(2) S n ?

?k
k ?1 n

2

? 12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6

(3) S n ?

?k
k ?1

3

1 ? 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [ n(n ? 1)]2 2

二、错位相减法 用于求数列 {a n ? bn } 的前 n 项和,其中 {an } , {bn } 分别是等差数列和等比数列。 三、裂项相消法 1 1 1 1 1 适用于{ }其中{an}是各项不为 0 的等差数列。即: = ( - ), anan+1 anan+1 d an an+1 特别:

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ). ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 n ?1 ? n ? n ?1 ? n

an ?

四、倒序相加法 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它 与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? a n ) 。 五、分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等 差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。 考点三:数列的综合应用 一、数列与函数的综合 二、等差与等比数列的综合

2

三、数列的实际应用 数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合

【经典例题】
【例 1】 (2011 年高考天津卷理科 4)已知 ?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的 等比中项, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, n ? N ,则 S10 的值为
*

A.-110 【解析】D

B.-90

C.90

D.110

【例 2】(2011 年高考江西卷理科 5)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? S m ? S n? m ,且

a1 ? 1 ,那么 a10 ? (
A. 1 【解析】A B. 9

) C. 10 D. 55

【例 3】 (2008 年江西省高考题)数列{an}的通项公式是 an=

1 n ? n ?1

,若前 n 项和为 10,

则项数为( ) A、11 B、99 C、120 D、121 【解析】C 【例 4】 (2008 安徽)设数列{an}满足 a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*,其中 a,c 为实数,c≠0 1.求数列{an}的通项公式; 2.设 a=

1 1 ,c= ,bn=n(1-an) ,n∈N*,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 2 2

【解析】 (1)∵an+1-1=c(an-1) ∴当 a≠1 时,{an-1}是首项为 a-1,公比为 c 的等比数列 n-1 n-1 ∴an-1=(a-1)c ,即 an=(a-1)c +1 当 n=1 时,an=a 仍满足上式。 n-1 ∴数列{an}的通项公式为 an=(a-1)c +1(n∈N*) (2)由(1)得 bn=n(1-a)c =n(

1 n ), 2 1 1 2 1 n Sn=b1+b2+…+bn= +2( ) +…+n( ) ① 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n+1 Sn=( ) +2( ) +…+(n-1) ( ) +n( ) ② 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n 1 n+1 ∴①-②得 Sn= +( ) +…+( ) -n( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 n-1 1 n 1 n 1 n ∴Sn=1+ +( ) +…+( ) -n( ) =2[1-( ) ]-n( ) 2 2 2 2 2 2
n-1

3

∴Sn=2-(2+n) (

1 n ) 2
n

【例 5】 (2008 浙江省) 已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p+nq(n∈N*,p,q 为常数) , 且 x1,x4,x5 成等差数列,求: (1) P,q 的值; (2) 数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式。 【解析】 (1) 由 x1=3,得 2p+q=3 4 5 5 5 又 x4=2 p+4q,x5=2 p+5q,且 x1+x5=2x4,得 3+2 p+5q=2 p+8q 解得 p=1,q=1 (2)Sn=(2+2 +…+2 )+(1+2+…+n)=2 -2+
2 n n+1

n( n ? 1) 2 13 。 3

【例 6】 (2011 年福建理 16)已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= (I)求数列{an}的通项公式; (II)若函数

f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? p ? ? ) 在 x ? ?

6

处取得最大值,且最大值

为 a3,求函数 f(x)的解析式。 【解析】 (I)由 q ? 3, S3 ? 解得 a1 ?

13 a1 (1 ? 33 ) 13 得 ? , 3 1? 3 3

1 . 3 1 n ?1 n?2 所以 an ? ? 3 ? 3 . 3
(II)由(I)可知 an ? 3n?2 , 所以a3 ? 3. 因为函数 f ( x ) 的最大值为 3,所以 A=3。 因为当 x ?

?
6

时 f ( x ) 取得最大值,

所以 sin(2 ?

?
6

? ? ) ? 1.

又 0 ? ? ? ? , 故? ?

?
6

.

所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
6

)

【例 7】(2011 年全国新课标卷)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2a6 .
2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式.
4

(2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前项和. ? bn ?
2

2 3 2 【解析】 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3 1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 。 3n

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

【例 8】 (2011 年高考浙江卷理科 19)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 ? a ( a ? R ),设数列的前 n 项和 为 Sn ,且

1 1 1 1 1 1 1 , , 成等比数列(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式及 Sn (Ⅱ)记 An ? ? ? ? ... ? , a1 a2 a4 S1 S2 S3 Sn

Bn ?

1 1 1 1 ,当 n ? 2 时,试比较 An 与 Bn 的大小. ? ? ? ... ? a1 a2 a22 a2n

【解析】 (Ⅰ)

1 1 1 2 ? ? ? a2 ? a1a4 ? (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ? d ? a1 ? a 2 a2 a1 a4
n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) d ? an ? a? a 2 2 2

则 an ? a1 ? (n ?1)d ? a1 ? (n ? 1)a1 ? na1 ? na , S n ? a1n ?

5

(Ⅱ) An ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? ? ... ? 2?3 3? 4 n(n ? 1) S1 S2 S3 Sn 1? 2 a a a a 2 2 2 2
? 2 1 2 1 ? (1 ? ) a n(n ? 1) a n ?1

?

2 1 2 1 2 1 ? ? ? a 1? 2 a 2 ? 3 a 3 ? 4

1 1 ? ( )n 2 1 1 1 1 1 2 ? (1 ? 1 ) 因为 a2n ? 2n a ,所以 Bn ? ? ? ? ? ? ... ? a 2n a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 2 1 1 0 1 2 n ? 1? n ; 当 n ? 2 时, 22 ? Cn ? Cn ? Cn ? ? Cn ? n ?1 即1 ? n ?1 2
所以当 a ? 0 时, An ? Bn ;当 a ? 0 时, An ? Bn .

【课堂练习】
1.(2009 江西卷文)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中 项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

2.(2010 江西理数)等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a8 =4,函数 f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) A. 2
6 9 B. 2 12 C. 2 15 D. 2

(x ? a8 ) ,则 f ' ? 0? ? ( )

(1)(2010 湖北文数)7.已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , 列,则 a9 ? a10 ?
a7 ? a8

1 a3 , 2a2 成等差数 2

A. 1 ? 2

B. 1 ? 2

C. 3 ? 2 2

D3? 2 2

4.(2010 福建理数)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9

5 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 福 建 ( 理 )) 已 知 等 比 数 列 {an } 的 公 比 为 q, 记

bn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ... ? am ( n ?1) ? m , cn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ... ? am ( n ?1) ? m (m, n ? N * ), 则以下结论一定正确的
是( )
6

A.数列 {bn } 为等差数列,公差为 q m C.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q
m2

B.数列 {bn } 为等比数列,公比为 q 2 m D.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q
mm

6 错误! 未指定书签。 . (2013 年重庆 (理) ) 已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , S n 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ? _____ 7 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )已知等比数列 ?an ? 是 递增数列, S n 是 ?an ? 的前 n 项和,若 a1,a3 是方程 x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 的两个根,则 S6 ? ____________. 8、 ( 2009 年全国卷)设等差数列 { an } 的前 n 项和为 s n ,公比是正数的等比数列 { b n } 的前 n 项和为 Tn ,已知 的通项公式。 a1 ? 1, b1 ? 3,a3 ? b3 ? 17,T 3 ? S 3 ? 12, 求{an },{ bn }

9、 (2011 浙江卷)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项为 a(a ? R) ,且 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,试比较
*

1 1 1 , , 成等比数列. a1 a 2 a 4

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 与 的大小. a1 a2 a2 a2 a2

10、 (2010 年山东卷)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 S n (Ⅰ)求 an 及 S n ;

7

(Ⅱ)令 bn ?

2 an

1 * (n? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。 ?1

11.(2013 年湖北卷(理) )已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m ,使得

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. am

12 错误!未指定书签。 . (2013 年山东(理) )设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4 S 2 , a2 n ? 2an ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ?

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2 n (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn . 2n

8

【课后作业】
1. (2009 重庆卷文) 设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, 则 ?an ? 的前 n 项和 Sn = ( a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, )

A.

n 2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

2.(2010 安徽理数)设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3n 项和分别 为 X , Y , Z ,则下列等 式中恒成立的是 A、 X ? Z ? 2Y C、 Y ? XZ
2

B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

错误!未指定书签。 3. (2013 辽宁)下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ? 是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 (A) p1 , p2 (B) p3 , p4

p2 : 数列?nan ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;

(C) p2 , p3

(D) p1 , p4

4 错误!未指定书签。 . (2013 年新课标Ⅱ卷)等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0, S15 ? 25 ,则 nS n 的最 小值为________. 5. 已知(2008 年湖北省质检题)求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1) (2n-1) 6. {an}的通项 an=lg ? 1 ?
n

1 n

? ,求{a }的前 n 项和 S 。
n n

7 错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(理) )在等差数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a3 的等比中项,求 数列 {an } 的首项、公差及前 n 项和.

8.(2009 辽宁卷)等比数列{

an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列

9

(1)求{ (2)求

an }的公比 q;

a1 - a3 =3,求 s n

9.(2010 重庆文数) (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

10.若函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。 (1) a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( (2)求数列 {

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) ,数列 {an } 是等差数列吗?是证明你的结论; n

1 } 的的前 n 项和 Tn 。 a n ? a n ?1

【参考答案】
【课堂练习】 1、C 2、C 3、C 4、A 5、C 6、64 7、63 8、解: 设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q 由 a3 ? b3 ? 17 得 1 ? 2d ? 3q ? 17
2


10

由 T3 ? S3 ? 12 得 q2 ? q ? d ? 4 由①②及 q ? 0 解得 故所求的通项公式为



q ? 2, d ? 2

an ? 2n ?1, bn ? 3? 2n?1
1 2 1 1 ) ? ? a2 a1 a4

9、解:设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意可知 ( 即 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,从而 a1d ? d 2 故通项公式 an ? na. (Ⅱ)解:记 Tn ?

因为 d ? 0, 所以d ? a1 ? a.

1 1 ? ? a2 a22

?

1 ,因为a2n ? 2n a a2n

1 1 1 所以 Tn ? ( ? 2 ? a 2 2
从而,当 a ? 0 时, Tn ?

1 1 (1 ? ( ) n ) 1 1 2 1 1 2 ? n)? ? ? [1 ? ( ) n ] 1 a a 2 2 1? 2
1 1 ;当 a ? 0时, Tn ? . a1 a1

10、解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , 由于 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以 a1 ? 2d ? 7 , 2a1 ? 10d ? 26 , 解得 a1 ? 3 , d ? 2 ,由于 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? 所以 an ? 2n ? 1, Sn ? n(n ? 2) (Ⅱ)因为 an ? 2n ? 1,所以 an ? 1 ? 4n(n ? 1) 因此 bn ?
2

n(a1 ? an ) , 2

1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 3 n n ?1
所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?

故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 n (1 ? )? 4 n ?1 4(n ? 1)

n 4(n ? 1)

11、解:(I)由已知条件得: a2 ? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 , 所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3
n ?2

11

(II)若 q ? ?1 ,

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; am 5

1 1 若q ? 3, ? ? a1 a2
12、解:(Ⅰ)设等差数列

m 1 9 ? ?1? ? 9 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ,不存在这样的正整数 m . am 10 ? ? 10 ? ? 3? ?

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? S ? 4 S 2 , a2 n ? 2an ? 1 得 ?a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 , 由 4
解得,

a1 ? 1 , d ? 2
Tn ? ? ? n 2n ?1

因此

an ? 2n ? 1 (n ? N * )

(Ⅱ)由题意知:

所以 n ? 2 时,

bn ? Tn ? Tn?1 ? ?

n 2
n ?1

?

n ?1 2n ?2

故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( )n ?1 2 n ?1 2 4

(n ? N * )

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4
1 1 ? ( )n 4 ? ( n ? 1)( 1 ) n ? 4 1 4 1? 4

3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4
整理得
Rn ? 1 3n ? 1 (4 ? ) 9 4 n ?1

R ?c ? 所以数列数列 n 的前 n 项和

n

?

1 3n ? 1 (4 ? n ?1 ) 9 4

【课后作业】 1、A 2、D 3、D 4、-49 5、当 n 为偶数时,Sn=n;当 n 为奇数时,Sn=-n

6、∵an=lg

n ?1 =lg(n+1)-lgn n

∴Sn=(lg2-lg1)+(lg3-lg2)+…+(lg(n+1)-lgn)=lg(n+1)-lg1=lg(n+1)

12

7、解:设该数列公差为 d ,前 n 项和为 sn .由已知,可得

2a1 ? 2d ? 8, ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 8d ? . 所以 a1 ? d ? 4, d ? d ? 3a1 ? ? 0 ,
2

解得 a1 ? 4, d ? 0 ,或 a1 ? 1, d ? 3 ,即数列 ?an ? 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3.

3n 2 ? n 所以数列的前 n 项和 sn ? 4n 或 sn ? 2
8、解: (Ⅰ)依题意有 a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q )
2

由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
1 2

又 q ? 0 ,从而

q ?-

1 2 a1 ? a ( 1 ? ) ? 3 2 (Ⅱ)由已知可得

故 a1 ? 4

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 Sn ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2

9、

10.解: (1) 、 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) (倒序相加) n

13

n ?1 n?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n n n 1 n ?1 2 n ? 2 1? 0 ? ? ? ? ???1 n n n n

? a n ? f (1) ? f (

则,由条件:对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。

2 n ?1 ) ? 2an ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (

? an ? n ? 1 ? an?1 ? n ? 2 ? an?1 ? an ? 1
从而:数列 {an } 是 a1 ? 2, d ? 1 的等差数列。 (2) 、

1 1 1 1 ? ? ? a n ? a n?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
1 1 1 1 ? ? ??? 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1 ) ? (n ? 2)

? Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? ? Tn = ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4 n 故: Tn = 2n ? 4

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