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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第5章 第4节 数列求和

时间:2015-04-11


课时作业 一、选择题
?1? 1.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列?an?的前 5 ? ?

项和为 ( ) 15 A. 8 或 5 31 C.16 C 15 D. 8 31 B.16或 5

9(1-q3) 1-q6 [设数列{an}的公比为 q.由题意可知 q≠1,

且 = ,解得 q=2,所以数列 1-q 1-q

?1? 1 31 ? ?是以 1 为首项, 为公比的等比数列,由求和公式可得 S5= .] 2 16 ?an?

2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a、b∈R),且 S25=100,则 a12+a14 等于 ( ) A.16 B.8 C.4 D.不确定 B [由数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a、b∈R), (a1+a25)×25 可知数列{an}是等差数列,由 S25= =100, 2 解得 a1+a25=8,所以 a1+a25=a12+a14=8.] 1 1 1 1 1 3.数列 12,34,58,716,?,(2n-1)+2n,?的前 n 项和 Sn 的值等于 ( ) 1 B.2n2-n+1-2n 1 D.n2-n+1-2n 1 A.n2+1-2n 1 C.n2+1- 2n-1 A

1 [该数列的通项公式为 an=(2n-1)+2n,

1? 1 ?1 1 则 Sn=[1+3+5+?+(2n-1)]+ 2+22+?+2n =n2+1-2n.] ? ? 4.(2014· 北京丰台一模)已知等比数列{an}的首项为 1,若 4a1,2a2,a3 成等差数列,则数 1 列{an}的前 5 项和为 ( 31 A.16 33 C.16 16 D.33 ) B.2

A [设数列{an}的公比为 q,则有 4+q2=2×2q, 解得 q=2,所以 an=2n-1.

1 1-(2)5 1 1 31 = ,所以 S5 = = an 2n-1 1 16.故选 A.] 1-2
? 1 ? 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?anan+1?的前 100 项和为 ? ?

(

) 99 B.101 101 D.100

100 A.101 99 C.100 A

∵a5=5,S5=15,∴?

[设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ?a1+4d=5,

?

5a1+ ? ?

5×(5-1) d=15, 2

? ?a1=1, ∴? ∴an=a1+(n-1)d=n. ?d=1, ?

1 1 1 1 ∴ = = - , anan+1 n(n+1) n n+1
? 1 ? 1 1 1 1 1 1 100 ∴数列?anan+1?的前 100 项和为 1-2+2-3+?+100-101=1-101=101.] ? ? ?n2(当n为奇数时), ? 6. 已知函数 f(n)=? 且 an=f(n)+f(n+1), 则 a1+a2+a3+?+a100 ? ?-n2(当n为偶数时),

等于 ( ) A.0 B.100 C.-100 D.10 200 B [由题意,a1+a2+a3+?+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+?+992-1002 -1002+1012=-(1+2)+(3+2)+?-(99+100)+(101+100)=-(1+2+?+99+100)+ (2+3+?+100+101)=-1+101=100.] 二、填空题 7.在等差数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a2+a8=18-a5,则 S9=________. 解析 由等差数列的性质及 a2+a8=18-a5, (a1+a9)×9 得 2a5=18-a5,则 a5=6,故 S9= =9a5=54. 2 答案 54 8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列” ,若 a1=2,{an}的“差数列” 的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 解析 ∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 2-2n =2n-1+2n-2+?+22+2+2= +2=2n-2+2=2n. 1-2

2-2n+1 ∴Sn= =2n+1-2. 1-2 答案 2n+1-2
? ? 1 9.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列?bnbn+1?的 ? ?

前 n 项和 Sn=________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q, a4 则a1=q3=27,解得 q=3. 1 1 1 1 所以 an=a1qn-1=3×3n-1=3n, 故 bn=log3an=n, 所以 = = - . bnbn+1 n(n+1) n n+1
? ? 1 1 1 1 1 1 1 n 则数列?bnbn+1?的前 n 项和为 1-2+2-3+?+n- =1- = . n+1 n+1 n+1 ? ?

答案

n n+1

三、解答题 10.(2014· 唐山统考)在等比数列{an}中,a2a3=32,a5=32. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 S1+2S2+?+nSn. 解析 (1)设等比数列{an}的公比为 q,
?a1q·a1q2=32, ? 依题意得? ? ?a1q4=32,

解得 a1=2,q=2,故 an=2· 2n-1=2n. (2)∵Sn 表示数列{an}的前 n 项和, 2(1-2n) ∴Sn= =2(2n-1), 1-2 ∴S1+2S2+?+nSn=2[(2+2· 22+?+n· 2n)-(1+2+?+n)]=2(2+2· 22+?+n·2n) - n(n+1), 设 Tn=2+2· 22+?+n· 2n, ① 则 2Tn=22+2· 23+?+n· 2n+1, ② ①-②,得 2(1-2n) -Tn=2+22+?+2n-n· 2n+1= -n· 2n+1=(1-n)2n+1-2, 1-2 ∴Tn=(n-1)2n+1+2, ∴S1+2S2+?+nSn=2[(n-1)2n+1+2]-n(n+1) =(n-1)2n+2+4-n(n+1). 11.(理)(2014· 潍坊一模)已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的 第一个数 a1,a2,a4,a7,?构成等差数列{bn},Sn 是{bn}的前 n 项和,且 b1=a1=1,S5 =15. a1

a2 a4 a7

a3 a5 a6 a8 a9 a10

? (1)若数阵中从第 3 行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且 公比相等,已知 a9=16,求 a50 的值; 1 1 1 8 (2)设 Tn= + +?+S2n,当 m∈[-1,1]时,对任意 n∈N*,不等式 t2-2mt-3 Sn+1 Sn+2 >Tn 恒成立,求 t 的取值范围. 解:(1)设等差数列{bn}的公差为 d,∵b1=1,S5=15, ∴S5=5+10d=15,d=1, ∴bn=1+(n-1)×1=n. 设从第 3 行起,每行的公比都是 q,且 q>0,a9=b4q2, 4q2=16,q=2, 1+2+3+?+9=45,故 a50 是数阵中第 10 行第 5 个数, 故 a50=b10q4=10×24=160. n(n+1) (2)∵Sn=1+2+?+n= , 2 1 1 1 ∴Tn= + +?+S2n Sn+1 Sn+2 2 2 2 = + +?+ (n+1)(n+2) (n+2)(n+3) 2n(2n+1) 1 1 1 1 1 1 =2( - + - +?+2n- ) n+1 n+2 n+2 n+3 2n+1 1 1 2n =2( - )= . n+1 2n+1 (n+1)(2n+1) 2x 令 f(x)= (x≥1), (x+1)(2x+1) 2-4x2 则 f′ (x)= , (x+1)2(2x+1)2 当 x≥1 时,f′ (x)<0,f(x)在[1,+∞)上为减函数, 1 ∴Tn 为递减数列,Tn 的最大值为 T1=3. ∴不等式变为 t2-2mt-3>0 恒成立, 设 g(m)=-2tm+t2-3,m∈[-1,1],
? ?g(-1)>0, ? ?2t+t2-3>0, 则? 即? ?g(1)>0, ?-2t+t2-3>0, ? ?

解得 t>3 或 t<-3. 11.(文)(2014· 潍坊一模)已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的 第一个数 a1,a2,a4,a7,?构成等差数列{bn},Sn 是{bn}的前 n 项和,且 b1=a1=1,S5 =15. a1 a2 a3

a4 a7

a5 a6 a8 a9 a10

? (1)若数阵中从第 3 行开始每行中的数按左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公 比相等,已知 a9=16,求 a50 的值; 1 1 1 (2)设 Tn= + +?+S2n,求 Tn. Sn+1 Sn+2 解析 (1)设等差数列{bn}的公差为 d, ∵b1=1,S5=15,∴S5=5+10d=15,d=1, ∴bn=1+(n-1)×1=n. 设从第 3 行起,每行的公比都是 q,且 q>0,则 a9=b4q2, 即 4q2=16,q=2, 又 1+2+3+?+9=45, 故 a50 是数阵中第 10 行的第 5 个数, a50=b10q4=10×24=160. n(n+1) (2)∵Sn=1+2+?+n= , 2 1 1 1 ∴Tn= + +?+S2n Sn+1 Sn+2 2 2 2 = + +?+ (n+1)(n+2) (n+2)(n+3) 2n(2n+1) 1 1 1 1 1 1 =2( - + - +?+2n- ) n+1 n+2 n+2 n+3 2n+1 1 1 =2( - ) n+1 2n+1 2n = . (n+1)(2n+1) 12.(2014· 三明模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:a(Sn-an)=Sn-a(a 为常数,a∈R). (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=man+1,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解析 (1)当 n=1 时,由 a(Sn-an)=Sn-a,得 a1=a, 当 n≥2 时,由 a(Sn-an)=Sn-a, 得 a(Sn-1-an-1)=Sn-1-a, 两式相减得 an=aan-1. 若 a=0 时,an=0; an 若 a≠0 时, =a? {an}是等比数列. an-1 ∴an=a· an-1=an. 综上:所求{an}的通项为 an=an(a∈R). (2)当 a=0 时,cn=1,∴Tn=n; 当 a≠0 时,Tn=1· a+2· a2+3· a3+?+n· an+n, 设 Pn=1· a+2· a2+3· a3+?+n· an, 则 aPn=1· a2+2· a3+3· a4+?+n· an+1, 两式相减得(1-a)Pn=a+a2+a3+?+an-nan+1,

a(1-an) 若 a≠1 时,(1-a)Pn= -nan+1? 1-a a(1-an) nan+1 Pn= - ; (1-a)2 1-a n(n+1) 若 a=1 时,Pn=1+2+3+?+n= . 2 a(1-an) nan+1 ? ? (1-a)2 - 1-a +n(a≠1), 综上:Tn=? n(n+3) ? ? 2 (a=1).


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