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极坐标与直角坐标的转换(含圆的极坐标方程)


互化公式的三个前提条件:
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半

轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.

极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y

M ( x, y )

O
1

、直角坐标是 (x, y)
2 2 2

? θ

x

极坐标是 (ρ,θ)

2、极坐标是 (ρ,θ)

y ? ? x ? y , tan? ? ( x ? 0) x
直角坐标是 (x, y)

x=ρcosθ, y=ρsinθ

将下列直角坐标转化为极坐标 (1) (-1,3) (2) (-2,-2)

π π 例3 已知两点(2, ),(3, )
3 求两点间的距离. B

2

π 解:∠AOB =
6 用余弦定理求 AB的长即可.

A o

x

简单曲线的极坐标方程

求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为r;
(2)中心在C(a,0),半径为a; (3)中心在(a,?/2),半径为a; (4)中心在C(a,?0),半径为a

? =r

?=2acos ?
?=2asin ?

?=2a cos(? ? ?0 )

圆 心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等

例3: 求圆心坐标和半径。
解:?=5 3 cos? ? 5 sin ?两边同乘以?得

已知一个圆的方程是?=5 3 cos ? ? 5sin ?

? =5 3? cos?-5? sin ?即化为直角坐标为
2

x ? y ? 5 3x ? 5 y
2 2

5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ? ) ? ( y ? ) ? 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( ,? ),半径是5

练习: 1、曲线的极坐标方程?=4sin ? 化为直角坐标

2 2 方程_________

2.曲线极坐标方程?cos(? -

x ? ( y ? 2) ? ?4

6 标方程_________

)=1化为直角坐

3 x? y?2?0

例2: (1)直角坐标方程x ? y ? 2 x ? 3 y ? 0的极坐标
2 2

方程为_______ ? -2? cos?


? 3? sin ? ? 0

(2)直角坐标方程2 x-y+1? 0的极坐标 方程为_______ 方程为_______ (4)直角坐标方程x ?3的极坐标 方程为_______ (3)直角坐标方程x 2 ? y 2 ?9的极坐标

2? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0

? ?3

? cos ? ? 3


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