nbhkdz.com冰点文库

上海市闵行区2013届高三数学二模试卷(理科 含答案)

时间:2013-04-19


???????密○??????????????封○??????????????○线???????????

闵行区 2012 学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚,并填涂准考证号.选择题部分必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写. 2.本试卷共有 23 道题,共 5 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3.考试后只交答题纸,试卷由考生自己保留. 一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.方程组 ?

准考证号

姓名

?x ? 2 y ? 5 ? 0 的增广矩阵为 ?3 x ? y ? 8



2.已知集合 M ? x | x ? 4, x ? R , N ? ? x | log 2 x ? 0? ,则集合 M I N ?
2

?

?



3. 若 Z1 = a + 2i , Z 2 =

1 2i 2
3

3

,且

班级

z1 为实数,则实数 a 的值为 z2



4. 用二分法研究方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的近似解 x ? x0 ,借助计算器经过若干次运算得下表: 运算 次数 解的 范围 1 ? ? 4 5 6 ? ?

(0,0.5)

(0.3125,0.375)

(0.3125,0.34375)

(0.3125,0.328125)


若精确到 0.1 ,至少运算 n 次,则 n ? x0 的值为 5.已知 e1、e2 是夹角为 值为 .

学校

r

r

r r r r r r r r ? 的两个单位向量,向量 a ? e1 ? 2e2 , b ? ke1 ? e2 , 若 a // b ,则实数 k 的 2
频率/ 组距

6. 某工厂对一批产品进行抽样检测, 根据抽样检测后的 0.150 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图如图 0.125 0.100 所示,已知产品净重的范围是区间 ?96,106 ? ,样本中净 0.075 0.050 100 重在区间 ?96, ? 的产品个数是 24 ,则样本中净重在 区间 ?100,104 ? 的产品个数是 . 96 98 100 102 104 106 第 6 题 图 克

7.一个圆锥的底面积为 4? , 且该圆锥的母线与底面所成 的角为

? ,则该圆锥的侧面积为 3



1/4

8. 在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

( t 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴

为极轴建立极坐标系,在极坐标系中曲线 ? 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ,曲线 ? 与 C 相 交于两点 A 、 B ,则弦长 AB 等于
2 2

.

9. 设双曲线 x ? y ? 6 的左右顶点分别为 A1 、 A2 , P 为双曲线右支上一点,且位于第一象限, 直线 PA1 、 PA2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,则 k1 ? k2 的值为 .

10. 设 ?ABC 的三个内角 A、B C 所对的边长依次为 a、b c ,若 ?ABC 的面积为 S ,且 、 、

S ? a 2 ? (b ? c)2 ,则

sin A ? 1 ? cos A



11. 已知随机变量 ? 所有的取值为 1, 2, 3,对应的概率依次为 p1 , p2 , p1 ,若随机变量 ? 的方差

D? ?

1 ,则 p1 ? p2 的值是 2



12. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列 {an } 中,若 a1 ? 1, an ? 73,则 n ? d 的最小值等 于 .

13.已知 ?ABC 的外接圆的圆心为 O , AC ? 6, BC ? 7, AB ? 8, 则 AO ? BC ? 14.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ?

uuu uuu r r



1 8

, 且 对 任 意 的

x ?R
3 .

, 满 足

f (x ?

2 f) x ? (x f )x ? 3 ? f, x ? ? (

x ? 4,则 f (2014 ) =) ) (

1 0

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.二项式 ( x ? ) 展开式中 x 的系数为
6

(B) ?15 . (C) 6 . (D) ?6 . uur uuu u r 16.在 ?ABC 中, AB ? BC ? 0 ”是“ ?ABC 是钝角三角形”的 “ ( (A) 15 .

1 x

4

(

)

)

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 17.设函数 f ( x) ?| sin x | ? cos 2 x, x ? ? ? (A) ?1 . (B)0.

? ? ?? , ,则函数 f ( x) 的最小值是 ( ? 2 2? ?
(C)

)

1 . 2

(D)

9 . 8

18.给出下列四个命题: ①如果复数 z 满足 | z ? i | ? | z ? i |? 2 ,则复数 z 在复平面上所对应点的轨迹是椭圆.
2/4

②设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且对任意的 x ?R ,| f ( x) |?| f (? x) | 恒成立,则 f ( x) 是 R 上的 奇函数或偶函数. ③已知曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 和两定点 E ? ?5, 0?、F ? 5, 0 ,若 P ? x, y ? 是 C 上的动点, 则 ? 9 16

PE ? PF ? 6 .
④设定义在 R 上的两个函数 f ( x) 、 g ( x) 都有最小值,且对任意的 x ?R ,命题“ f ( x) ? 0 或

g ( x) ? 0 ”正确,则 f ( x) 的最小值为正数或 g ( x) 的最小值为正数.
上述命题中错误的个数是 (A)1. (B)2. 三. ( (C)3. (D)4. )

解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区

域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 如图, 在半径为 20cm 的半圆形 O 为圆心) ( 铝皮上截取一块矩形材料 ABCD , 其中点 A 、B 在直径上,点 C 、 D 在圆周上. (1)请你在下列两个小题中选择一题作答即可: ...... ①设 ?BOC ? ? ,矩形 ABCD 的面积为 S ? g (? ) ,求 g (? ) 的表达 式,并写出 ? 的范围. ②设 BC ? x(cm) ,矩形 ABCD 的面积为 S ? f ( x) ,求 f ( x) 的表达式,并写出 x 的范围. (2)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积. 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. A1 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? A O B D C

?

B1

2

, AB ? AC ? 2 ,

C1

AA1 ? 6 ,点 E、F 分别在棱 AA1、CC1 上,且 AE ? C1 F ? 2 .
(1)求四棱锥 B ? AEFC 的体积; (2)求 ?BEF 所在半平面与 ?ABC 所在半平面所成二面角 ? 的余弦值.

F E A B

C 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ,焦点在坐标轴上,且经过 M (2,1)、N (2 2, 0) 两点, P 是

E 上的动点.
3/4

(1)求 OP 的最大值; (2)若平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 b(b ? 0) ,直线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A、B , 求证:直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补. 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满 分 6 分. 已知 f ( x) ? x | x ? a | ?b, x ? R . (1)当 a ? 1, b ? 0 时,判断 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 a ? 1, b ? 1 时,若 f (2 ) ?
x

5 ,求 x 的值; 4

(3)若 b ? 0 ,且对任何 x ? ? 0,1? 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满 分 8 分. 如图,过坐标原点 O 作倾斜角为 60 的直线交抛物线 ? : y ? x 于 P 点,过 P 点作倾斜角为 1 1
?
2

交 过 交 120? 的直线交 x 轴于 Q1 点, ? 于 P2 点; P2 点作倾斜角为 60? 的直线交 x 轴于 Q2 点, ? 于 P3 点;过 P3 点作倾斜角为 120 的直线,交 x 轴于 Q3 点,交 ? 于 P4 点;如此下去??.又设线段
?

OQ1 ,1Q2,Q 2Q 3, ,Qn? 1 n, Q L Q L











a1 , a2 , a3 ,L , an ,L



?OPQ1 , Q1P2Q2, Q2 PQ3 , ,?Qn?1PnQn, 的面积分别为 G1 , G2 , G3 ,L , Gn ,L ,数列 ?an ? 的 ? ? 3 L L 1
y 前 n 项的和为 S n . (1)求 a1 , a2 ; (2)求 an , lim
a

P3 x

P1 O Q1 P2 P4 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 对于正整数 p, q, r, s , p ? ? ? 若 q r s , Q2 Q3

Gn ; n ?? S n

a n 且 ) (3) bn ? a( ? 0 a ? 1 设

且 p ? s ? q ? r ,试比较 Tp ? Ts 与 Tq ? Tr 的大小.

4/4

闵行区 2012 学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷 参考答案与评分标准
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的 评分标准进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅, 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度 时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严 重的概念性错误,就不给分. 一、 (第 1 题至第 14 题) 1. ?

? 1 ?2 5 ? ?; ?3 1 8 ?

2. 1, 2 ? ; ? 9. 1 ; 14.理

3. ?

3 ; 2

4. ; 5.3 11. 理

5. ?

1 ; 2

6. 44;

7. ? ; 8 13. 理

8. 8 , 17 ; 理 文

10. 4 ;

3 1 , 文 ; 4 7

12. 18 , 14 ; 理 文

?14 ,文 ?
15.D;

28 ; 3

6561 38 32014 或 . ,文 8 8 8
17.B; 18.D.

二、 (第 15 题至第 18 题) 16.A; 三、 (第 19 题至第 23 题) 19. (理) 20 . (文) [解] ①由 ?BOC ? ? ,得 OB ? 20cos ? , BC ? 20sin ? ,其中 ? ? ? 0,

? ?

??

? 理 2 分,文 3 分 2?

所以 S ? g (? ) ? AB ? BC ? 2OB ? BC ? 800sin ? cos ? ? 400sin 2? 即 g (? ) ? 400sin 2? , ? ? ? 0, ②连接 OC ,则 OB ?

? ?

??
? 2?

????????????文理 4 分

400 ? x 2 (0 ? x ? 20)
2

????????理 2 分,文 3 分

所以 S ? f ( x) ? AB ? BC ? 2 x 400 ? x (0 ? x ? 20) 即 f ( x) ? 2 x 400 ? x (0 ? x ? 20) .
2

????????文理 4 分

(2)①由 S ? g (? ) ? 400sin 2? 得当 sin 2? ? 1 即当 ? ? 此时 BC ? 20sin

?
4

时, S 取最大值 400cm .??理 4 分,文 5 分

2

?
4

? 10 2cm ,
2

当 BC 取 10 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 400cm .?文理 2 分
2 2 2 2 2 ② f ( x) ? 2 x 400 ? x ? 2 x (400 ? x ) ? x ? (400 ? x ) ? 400 ,

5/4

当且仅当 x ? 400 ? x ,即 x ? 10 2 时, S 取最大值 400cm .??理 4 分,文 5 分
2 2 2

当 BC 取 10 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 400cm .?文理 2 分 19. (文) [解](1) VA1 ? B1C1F ? VF ? A1B1C1 ?

2

1 1 1 4 S?A1B1C1 ? C1F ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ?6 分 3 3 2 3

(2)连接 CE ,由条件知 CE // FA1 ,所以 ?CEB 就是异面直线 BE 与 A1 F 所成的角.2 分 在 ?CEB 中, BC ? CE ? BE ? 2 2 ,所以 ?CEB ? 60 ,
?

??????2 分

所以异面直线 BE 与 A1 F 所成的角为 60 . 20.(理) [解](1) VB ? AEFC ? ?

?

?????????????2 分

1 1 1 S AEFC ? AB ? ? ? (4 ? 2) ? 2 ? 2 ? 4 ??7 分 3 3 2
A1 C1 z B1

(2)建立如图所示的直角坐标系,则

A(0,0,0) , B(0, 2,0) , E (0,0, 2) , F (2,0, 4) ,
EF ? (2, 0, 2) , EB ? (0, 2, ?2)

???

???

????????2 分

F E A C x y B

设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

?

? ? ??? ? n ? EF ? 2 x ? 2 z ? 0 ? ? 取z ? 1得x ? ?1, y ? 1 , ? ? ? ??? ?n ? EF ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 所以 n ? (?1,1,1) ???????????2 分
? ? n ? n1 1 3 ? ? 平面 ABC 的法向量为 n1 ? (0, 0,1) ,则 cos ? ? ? ? ? n ? n1 3 3

所以 ?BEF 所在半平面与 ?ABC 所在半平面所成二面角 ? 的余弦值为 21. [解](1)设椭圆 E 的方程为 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n)
2 2

3 .?3 分 3

将 M (2,1), N (2 2, 0) 代入椭圆 E 的方程,得 ?

? 4m ? n ? 1 ???理 2 分,文 3 分 ? 8m ? 1
????理 2 分,文 3 分

解得 m ?

x2 y2 1 1 ?1 , n ? ,所以椭圆 E 的方程为 ? 8 2 8 2
2 2 2

( 设点 P 的坐标为 x0 , y0 ) ,则 OP ? x0 ? y0 .

6/4

又 P( x0 , y0 ) 是 E 上的动点,所以

2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,得 x0 ? 8 ? 4 y0 ,代入上式得 8 2

2 2 2 2 OP ? x0 ? y0 ? 8 ? 3 y0 , y0 ? ? ? 2, 2 ? ? ?

故 y0 ? 0 时, OP max ? 2 2 . OP 的最大值为 2 2 . ??????理 2 分 ( 2 ) 因为 直线 l 平 行 于 OM , 且 在 y 轴 上 的 截距 为 b , 又 kOM ?

1 , 所 以直 线 l 的 方 程为 2

1 ? ? y ? 2 x?b 1 ? 2 2 得 x ? 2bx ? 2b ? 4 ? 0 y ? x ? b .由 ? 2 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?
2

??????文理 2 分

设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2b, x1 x2 ? 2b ? 4 . 又 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2
y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? .???文理 2 分 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

故 k1 ? k2 ? 又 y1 ?

1 1 x1 ? b, y2 ? x2 ? b , 2 2 1 1 所以上式分子 ? ( x1 ? b ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? b ? 1)( x1 ? 2) 2 2

????文理 2 分

? x1 x2 ? (b ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(b ? 1) ? 2b 2 ? 4 ? (b ? 2)(?2b) ? 4(b ? 1) ? 0
故 k1 ? k2 ? 0 .????????????????????????文 2 分 所以直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补.?????????????理 2 分 22. [解](理) (1)当 a ? 1, b ? 0 时, f ( x) ? x | x ? 1| 既不是奇函数也不是偶函数.??2 分 ∵ f (?1) ? ?2, f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? f (1), f (?1) ? ? f (1) 所以 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.???????????????2 分 (2)当 a ? 1, b ? 1 时, f ( x) ? x | x ? 1| ?1 , 由 f (2 ) ?
x

5 5 x x 得 2 | 2 ? 1| ?1 ? 4 4

???????????2 分

7/4

? ? 2x ? 1 2x ? 1 ? ? 即? x 2 或? x 2 1 1 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ? 4 ? 4
解得 2 ?
x

?????????2 分

1? 2 1? 2 1 或2 x ? (舍),或2 x ? 2 2 2 1? 2 ? log 2 (1 ? 2) ? 1 或 x ? ?1 . 2
??????2 分

所以 x ? log 2

(3)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, 故只需考虑 x ? ? 0,1? ,此时原不等式变为 | x ? a |? 即x?

?b x

b b ?????????????????????2 分 ?a? x? x x b b 故 ( x ? )max ? a ? ( x ? )min , x ? ? 0,1? x x b b 又函数 g ( x) ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,所以 ( x ? ) max ? g (1) ? 1 ? b ; x x b 对于函数 h( x) ? x ? , x ? ? 0,1? x b ①当 b ? ?1 时,在 ? 0,1? 上 h( x ) 单调递减, ( x ? ) min ? h(1) ? 1 ? b ,又 1 ? b ? 1 ? b , x
所以,此时 a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) . ??????????????2 分 ②当 ?1 ? b ? 0 ,在 ? 0,1? 上, h( x) ? x ? 当x?

b ? 2 ?b , x

b ?b 时, ( x ? )min ? 2 ?b ,此时要使 a 存在, x
?1 ? b ? 2 ?b ? ? ?1 ? b ? 0 ?
即 ?1 ? b ? 2 2 ? 3 ,此时 a 的取值范围是 (1 ? b, 2 ?b )

必须有 ?

综上,当 b ? ?1 时, a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) ; 当 ?1 ? b ? 2 2 ? 3 时, a 的取值范围是 (1 ? b, 2 ?b ) ; 当 2 2 ? 3 ? b ? 0 时, a 的取值范围是 ? . ???????????2 分

[解](文) (1)当 a ? 1 时,函数的单调递减区间为 ? ,1? ??????2 分 函数 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数. ??????2 分

?1 ? ?2 ?

8/4

(2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x | x ? 1| ? 由 f (2 ) ? 0 得 2 x | 2 x ? 1| ?
x

1 , 4
??????2 分

1 ?0 4

? ? 2x ? 1 2x ? 1 ? ? 即? x 2 或? x 2 1 1 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ? 4 ? 4
解得 2 ?
x

??????2 分

1? 2 1? 2 1 或2 x ? (舍),或2 x ? 2 2 2 1? 2 ? log 2 (1 ? 2) ? 1 或 x ? ?1 . 2
??????2 分

所以 x ? log 2

(3)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, 故只需考虑 x ? ? 0,1? ,此时原不等式变为 | x ? a |? 即x?

1 4x

1 1 ??????????2 分 ?a ? x? 4x 4x 1 1 故 (x ? )max ? a ? ( x ? )min , x ? ? 0,1? 4x 4x 1 1 3 又函数 g ( x) ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,∴ ( x ? )max ? g (1) ? ???2 分 4x 4x 4
函数 h( x) ? x ?

1 ? 1? ?1 ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,1? 上单调递增, 4x ? 2 ? ?2 ?

∴ (x ?

1 1 3 ?3 ? )min ? h( ) ? 1 ;所以 ? a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 ? ,1? .??2 分 4x 2 4 ?4 ?
a1 3a1 , ) ,又 2 2

23. [解] (1)如图,由 ?OQ1 P 是边长为 a1 的等边三角形,得点 P 的坐标为 ( 1 1

P1 (

3a 2 a a1 3a1 2 , ) 在抛物线 y 2 ? x 上,所以 1 ? 1 ,得 a1 ? 2 2 4 2 3
2 3 a2 3a2 4 ,? ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 a2 ? 2 2 3

??????2 分

同理 P2 ( ?

??????2 分

( 2 ) 如 图 , 法

? ?, 10 ) 1 : 点 Qn ?1 的 坐 标 为 (a1 ? a2 ? a3 ? ? n ? a ? , 即 点 S0
? ) ,=所0 以 直 线 Qn ?1 Pn 的 方 程 为 y ? 3 ( x
n ?1

( Sn?1 , 点 ) Q0 0 与原点重合, (

S

) 或

9/4

? y2 ? x ? y ? ? 3( x ? Sn ?1 ) ,因此,点 Pn 的坐标满足 ? ? y ? 3( x ? Sn?1 ) ?
消去 x 得 3 y ? y ? 3Sn ?1 ? 0 ,
2

所以 y ?

1 ? 1 ? 12Sn ?1 2 3

又 y ? an ? sin 60 ?
?
2

3 an ,故 3an ? 1 ? 1 ? 12 S n ?1 2
??① ??② ?????????????????2 分

从而 3an ? 2an ? 4 S n ?1
2

由①有 3an ?1 ? 2an ?1 ? 4Sn
2 2

②-①得 3(an ?1 ? an ) ? 2(an ?1 ? an ) ? 4an 即 (an ?1 ? an )(3an ?1 ? 3an ? 2) ? 0 ,又 an ? 0 ,于是 an ?1 ? an ? 所以 {an } 是以

2 3

2 2 2 为首项、 为公差的等差数, an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ????2 分 3 3 3 (a1 ? an )n 1 (文) Sn ? ????????????文 2 分 ? n(n ? 1) 2 3 (a ? an )n 1 (理) Sn ? 1 ? n(n ? 1) 2 3
Gn ?
G 3n 2 3 3 2 3 2 ? an ? n , lim n ? lim n ?? S n ?? 3n( n ? 1) 3 4 9 n
????????理 2 分

法 2:点 Qn ?1 的坐标为 (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 , 0) ,即点 ( Sn ?1 , 0)(点Q0与原点重合,S0 =0) , 所以直线 Qn ?1 Pn 的方程为 y ? 3( x ? Sn ?1 ) 或 y ? ? 3( x ? S n ?1 )

? y2 ? x ? 2 因此,点 Pn ( x, y ) 的坐标满足 ? 消去 y 得 3( x ? Sn ?1 ) ? x , ? y ? 3( x ? Sn?1 ) ? a a 2 a 2 又 x ? Sn ?1 ? n ,所以 3( n ) ? Sn ?1 ? n ,从而 3an ? 2an ? 4 S n ?1 ?① ??2 分 2 2 2
以下各步同法 1 法 3: 点 Qn ?1 的坐标为 (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 , 0) , 即点 ( Sn ?1 , 0)(点Q0与原点重合,S0 =0) ,所以 Pn ( Sn ?1 ?

an 3an , ), 2 2

又 Pn ( Sn ?1 ?

an 3an a 3 2 , ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 an ? Sn?1 ? n 2 2 4 2
10 / 4

即 3an ? 2an ? 4 S n ?1
2

??????????????????????2 分

以下各步同法 1

b a (3) (文)因为 n ?1 ? bn

2( n ?1) 3 2n

? a3 ,
2 3 2 3

2

a3

所以数列 {bn } 是正项等比数列,且公比 q0 ? a ? 1 ,首项 b1 ? a ? q0 , 因正整数 p, q, r, s 成等差数列,且 p ? q ? r ? s ,设其公差为 d ,则

d 为正整数,所以 q ? p ? d , r ? p ? 2d , s ? p ? 3d
则 Tp ?

b1 (1 ? q0p ) b (1 ? q0p ? d ) b (1 ? q0p ? 2 d ) b (1 ? q0p ?3d ) , Tq ? 1 , Tr ? 1 , Ts ? 1 ? 2分 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 b12 ? ?(1 ? q0p )(1 ? q0p ?3d ) ? (1 ? q0p ? d )(1 ? q0p ? 2 d ) ? 2 ? ? (1 ? q0 )
?????????? 2 分

Tp ? Ts ?Tq ? Tr =

?

b12 ? ?(q0p ? d ? q0p ? 2 d ) ? (q0p ? q0p ?3d ) ? 2 ? ? (1 ? q0 )
p?d

而 (q0

d d ? q0p ? 2 d ) ? (q0p ? q0p ?3d ) ? q0p (q0 ? 1) ? q0p ? 2d (q0 ? 1)

d d 2 d 2 ? (q0 ? 1)(q0p ? q0p ? 2 d ) ? (q0 ? 1)q0p (1 ? q0 d ) ? ?q0p (q0 ? 1)(q0 d ? 1) ????? 2 分

因为 a ? 0且a ? 1 ,所以 q0 ? a ? 0且q0 ? 1 , 又 d 为正整数,所以 ( q0 ? 1) 与 (q0 ? 1) 同号,
d 2d

2 3

故 ?q0 (q0 ? 1)(q0 ? 1) ? 0 ,所以, Tp ? Ts ? Tq ? Tr .
p d 2d

??????? 2 分

b a (理)因为 n ?1 ? bn

2( n ?1) 3 2n 3

? a3 ,
2 3 2 3

2

a

所以数列 {bn } 是正项等比数列,且公比 q0 ? a ? 1 ,首项 b1 ? a ? q0 , 则 Tp ?
q r s b1 (1 ? q0p ) b (1 ? q0 ) b (1 ? q0 ) b (1 ? q0 ) , Tq ? 1 , Tr ? 1 , Ts ? 1 ?? 2 分 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0

Tp ? Ts ?Tq ? Tr =

b12 s q r q ? ?(1 ? q0p )(1 ? q0 ) ? (1 ? q0 )(1 ? q0 ) ? (注意 q0p ? s ? q0 ? r ) ? (1 ? q0 ) 2 ?
11 / 4

?

b12 q r s ? ?(q0 ? q0 ) ? (q0p ? q0 ) ? ? (1 ? q0 ) 2 ?
q r p s q p s r

?????????? 2 分

而 (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 )
q r s q r ? q0p (q0 ? p ? 1) ? q0 (q0 ?r ? 1) ? (q0 ? p ? 1)(q0p ? q0 ) (注意 q ? p ? s ? r ) q r q r ? (q0 ? p ? 1)q0p (1 ? q0 ? p ) ? ?q0p (q0 ? p ? 1)(q0 ? p ? 1) ????????? 2 分

因为 a ? 0且a ? 1 ,所以 q0 ? a 3 ? 0且q0 ? 1 又 q ? p, r ? p 均为正整数,所以 (q0 故 ?q0 (q0
p q? p

2

q? p

r ? 1) 与 (q0 ? p ? 1) 同号,

r ? 1)(q0 ? p ? 1) ? 0 ,所以, Tp ? Ts ? Tq ? Tr .??????? 2 分

(第(3)问只写出正确结论的,给 1 分)

12 / 4


赞助商链接

2013年4月上海市闵行高三数学二模试卷理科含答案

2013年4月上海市闵行高三数学二模试卷理科含答案 2013年4月上海市闵行高三数学二模试卷理科含答案2013年4月上海市闵行高三数学二模试卷理科含答案隐藏>> ???密○?...

2013闵行区高三二模数学试卷(理)有答案

2013闵行高三二模数学试卷(理)有答案_数学_高中教育_教育专区。闵行区 2013 学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷(理科) 一. 填空题(本大题满分 56 分...

2013年4月上海市闵行高三数学二模试卷理科含答案

2013年4月上海市闵行高三数学二模试卷理科含答案2013年4月上海市闵行高三数学二模试卷理科含答案隐藏>> ???密○???封○???○线??? 闵行区 2012 学年第二学...

闵行区2015年高三数学理科二模试卷(附详细答案)

闵行区2015年高三数学理科二模试卷(附详细答案)_数学_高中教育_教育专区。2015年闵行高三数学理科二模试卷附答案闵行区 2014 学年第二学期高三年级质量调研考试 数学...

上海市闵行区2014届高三数学二模试卷(文理合卷,含答案)

上海市闵行区2014届高三数学二模试卷(文理合卷,含答案)_高三数学_数学_高中教育...O 第 21 题图 · B 2014 年闵行区高三调研考试数学理科 第 3 页共 14 页...

上海市虹口区2013届高三数学二模试卷(含答案_理科)

上海市虹口区2013届高三数学二模试卷(含答案_理科)_数学_高中教育_教育专区。虹口区 2013 年数学学科高考练习题(理科) (时间 120 分钟,满分 150 分)一、填空题...

...上海市闵行区2013届高三下学期二模数学(理)试题

2013上海闵行二模上海市闵行区2013届高三下学期二模数学(理)试题 隐藏>> 闵行区 2012 学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷(理科)一. 填空题(本大题...

上海市四区联考(静杨青宝)2013届高三数学二模试卷(含答...

2013年上海市闵行区高三化... 10页 免费 moxa手册 99页 5财富值如要投诉违规...上海市四区联考(静杨青宝)2013届高三数学二模试卷(含答案,理科)上海市四区联考...

上海市闵行区2013年高考二模理科数学试卷

上海市闵行区2013年高考二模理科数学试卷 隐藏>> 闵行区 2012 学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷(理科)本试卷共有 23 道题,共 5 页.满分 150 分,考...

闵行区2015年高三数学理科二模试卷

闵行区2015年高三数学理科二模试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。闵行区2015年高三数学理科二模试卷,word版含答案闵行区 2014 学年第二学期高三年级质量调研考试...