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2015高一数学必修1:综合测试题


综合测试题(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则 A∩B=( A.{1,4} C.

{9,16} [答案] A [解析] 先求集合 B,再进行交集运算. ∵A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A}, ∴B={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}. 2. (2013· 大纲高考题)已知函数 f(x)的定义域为(-1,0), 则函数 f(2x+1)的定义域为( A.(-1,1) C.(-1,0) [答案] B [解析] 本题考查复合函数定义域的求法. f(x)的定义域为(-1,0) 1 ∴-1<2x+1<0,∴-1<x<- . 2 3.在下列四组函数中,f(x)与 g(x)表示同一函数的是( A.f(x)= x-1,g(x)= x-1 x-1 ) 1 B.(-1,- ) 2 1 D.( ,1) 2 ) B.{2,3} D.{1,2} )

?x+1,x≥-1 ? B.f(x)=|x+1|,g(x)=? ? ?-x-1,x<-1

C.f(x)=x+2,x∈R,g(x)=x+2,x∈Z D.f(x)=x2,g(x)=x|x| [答案] B [解析] 若两个函数表示同一函数,则它们的解析式、定义域必须相同,A 中 g(x)要求 x≠1.C 选项定义域不同,D 选项对应法则不同.故选 B. 4.(2014· 北京理,2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 B.y=(x-1)2 )

C.y=2

-x

D.y=log0.5(x+1)

[答案] A [解析] ∵y= x+1在[-1,+∞)上是增函数, ∴y= x+1在(0,+∞)上为增函数. 5.函数 y=lnx+2x-6 的零点,必定位于如下哪一个区间( A.(1,2) C.(3,4) [答案] B [解析] 令 f(x)=lnx+2x-6,设 f(x0)=0, ∵f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0, 又 f(2)=ln2-2<0,f(2)· f(3)<0, ∴x0∈(2,3). 6. 已知 f(x)是定义域在(0, +∞)上的单调增函数, 若 f(x)>f(2-x), 则 x 的取值范围是( A.x>1 C.0<x<2 [答案] D x>0 x>0 ? ? ? ? [解析] 由已知得?2-x>0 ??x<2 , ? ? ?x>1 ?x>2-x ∴x∈(1,2),故选 D. 1- 7.设 y1=40.9,y2=80.48,y3=( ) 1.5,则( 2 A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3 [答案] D [解析] ∵y1=40.9=21.8, y2=80.48=(23)0.48=21.44,y3=21.5, 又∵函数 y=2x 是增函数,且 1.8>1.5>1.44. ∴y1>y3>y2. 8.设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,0) C.(-∞,loga3) [答案] C [解析] 利用指数、对数函数性质.考查简单的指数、对数不等式. B.(0,+∞) D.(loga3,+∞) ) ) B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2 B.x<1 D.1<x<2 ) B.(2,3) D.(4,5) )

由 a2x-2ax-2>1 得 ax>3,∴x<loga3. 9.若函数 f(x)、g(x)分别为 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)-g(x)=ex,则有( A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2) C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3) [答案] D [解析] 考查函数的奇偶性、单调性和方程的思想. ∵f(x)-g(x)=ex,(x∈R) f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴f(-x)-g(-x)=e x.


)



即-f(x)-g(x)=e x,




1 - 由①、②得 f(x)= (ex-e x), 2 1 - g(x)=- (ex+e x),∴g(0)=-1. 2 又 f(x)为增函数,∴0<f(2)<f(3), ∴g(0)<f(2)<f(3). 10. 如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点, 那么称这个点 1 为“好点”,在下面的五个点 M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G(2, )中,“好点”的个 2 数为( A.0 C.2 [答案] C [解析] ∵指数函数过定点(0,1),对数函数过定点(1,0)且都与 y=x 没有交点, ∴指数函数不过(1,1),(2,1)点,对数函数不过点(1,2),∴点 M、N、P 一定不是好点.可 1 验证:点 Q(2,2)是指数函数 y=( 2)x 和对数函数 y=log 2x 的交点,点 G(2, )在指数函数 2 y=( 2x ) 上,且在对数函数 y=log4x 上.故选 C. 2 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11 . (2013· 湖南高考 ) 已知集合 U = {2,3,6,8} , A = {2,3} , B = {2,6,8} ,则 ( ? UA)∩B = ________. [答案] {6,8} ) B.1 D.3

[解析] 本题考查的是集合的运算. 由条件知?UA={6,8},B={2,6,8},∴(?UA)∩B={6,8}.

? ?log1x,x≥1 12.函数 f(x)=? 2 的值域为________. ?2x,x<1 ?
[答案] (-∞,2) [解析] 可利用指数函数、对数函数的性质求解. 当 x≥1 时,log1 x≤log1 1=0. 2 2 ∴当 x≥1 时,f(x)≤0 当 x<1 时,0<2x<21,即 0<f(x)<2, 因此函数 f(x)的值域为(-∞,2). 13.用二分法求方程 x3+4=6x2 的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(0,1)内,则下 一步可断定该根所在的区间为________. 1 [答案] ( ,1) 2 [解析] 设 f(x)=x3-6x2+4, 显然 f(0)>0,f(1)<0, 1 1 1 又 f( )=( )3-6×( )2+4>0, 2 2 2 1 ∴下一步可断定方程的根所在的区间为( ,1). 2 14.已知 f(x6)=log2x,则 f(8)=________. [答案] 1 2

1 [解析] ∵f(x6)=log2x= log2x6, 6 1 ∴f(x)= log2x, 6 1 1 1 ∴f(8)= log28= log223= . 6 6 2 a 15.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R),若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数, x 则 a 的取值范围为________. [答案] (-∞,16] [解析] 任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, a a 2 2 则 f(x1)-f(x2)=x1 + -x2 - x1 x2



?x1-x2? [x1x2(x1+x2)-a], x1x2

要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,需使 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4>0, ∴a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16, 即 a 的取值范围是(-∞,16].

三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 16.(本小题满分 12 分)设全集 U 为 R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0}, 若(?UA)∩B={2},A∩(?UB)={4},求 A∪B. [解析] ∵(?UA)∩B={2},A∩(?UB)={4}, ∴2∈B,2?A,4∈A,4?B,根据元素与集合的关系,
2 ? ? ?4 +4p+12=0 ?p=-7, 可得? 2 ,解得? ?2 -10+q=0 ? ? ?q=6.

∴A={x|x2-7x+12=0}={3,4},B={x|x2-5x+6=0}={2,3},经检验符合题意. ∴A∪B={2,3,4}. 17.(本小题满分 12 分)(1)不用计算器计算:log3 27+lg25+lg4+7log72+(-9.8)0 1 1 (2)如果 f(x- )=(x+ )2,求 f(x+1). x x [解析]
3 2 (1)原式=log33 +lg(25×4)+2+1

3 13 = +2+3= . 2 2 1 1 (2)∵f(x- )=(x+ )2 x x 1 1 =x2+ 2+2=(x2+ 2-2)+4 x x 1 =(x- )2+4 x ∴f(x)=x2+4 ∴f(x+1)=(x+1)2+4 =x2+2x+5. 18. (本小题满分 12 分)(1)定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)为减函数, 且 f(1-a)+f(1-a2)>0, 求实数 a 的取值范围. (2)定义在[-2,2]上的偶函数 g(x),当 x≥0 时,g(x)为减函数,若 g(1-m)<g(m)成立,

求 m 的取值范围. [解析] (1)∵f(1-a)+f(1-a2)>0, ∴f(1-a)>-f(1-a2). ∵f(x)是奇函数, ∴f(1-a)>f(a2-1). 又∵f(x)在(-1,1)上为减函数, 1-a<a -1, ? ? ∴?-1<1-a<1, ? ?-1<1-a2<1,
2

解得 1<a< 2.

(2)因为函数 g(x)在[-2,2]上是偶函数, 则由 g(1-m)<g(m)可得 g(|1-m|)<g(|m|). 又当 x≥0 时,g(x)为减函数,得到 |1-m|≤2, ? ? ?|m|≤2, ? ?|1-m|>|m|, -1≤m≤3, ? ? 即?-2≤m≤2, ? ??1-m?2>m2, 1 解之得-1≤m< . 2 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,并且当 x∈(0,+∞)时, f(x)=2x. 1 (1)求 f(log2 )的值; 3 (2)求 f(x)的解析式. [解析] (1)因为 f(x)为奇函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=2x, 1 所以 f(log2 )=f(-log23)=-f(log23) 3 =-2log23=-3. (2)设任意的 x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞), 因为当 x∈(0,+∞)时,f(x)=2x,所以 f(-x)=2 x,


又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)=-f(-x)=-2 x,


即当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-2 x;


又因为 f(0)=-f(0),所以 f(0)=0,

2 ,x>0 ? ? 综上可知,f(x)=?0,x=0 ? ?-2-x,x<0

x

.

20 . ( 本小题满分 13 分 ) 已知二次函数 f(x) = ax2 + bx + c(a≠0) 和一次函数 g(x) =- bx(b≠0),其中 a,b,c 满足 a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R). (1)求证:两函数的图像交于不同的两点; (2)求证:方程 f(x)-g(x)=0 的两个实数根都小于 2. [解析] (1)若 f(x)-g(x)=0,则 ax2+2bx+c=0, ∵Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac c 3 =4[(a- )2+ c2]>0, 2 4 故两函数的图像交于不同的两点. (2)设 h(x)=f(x)-g(x)=ax2+2bx+c,令 h(x)=0 可得 ax2+2bx+c=0.由(1)可知,Δ>0. ∵a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R),∴a>0,c<0, ∴h(2)=4a+4b+c=4(-b-c)+4b+c=-3c>0, - 2b -b a+c c = = =1+ <2, 2a a a a Δ>0

?a>0 即有?h?2?>0 b <2 ?-2 2a

,结合二次函数的图像可知,

方程 f(x)-g(x)=0 的两个实数根都小于 2. 21.(本小题满分 14 分)一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积 的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至 1 2 少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 , 4 2 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)至今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? [解析] (1)设每年砍伐的百分比为 x(0<x<1). 1 1 则 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2 1 解得 x=1-( )10 . 2 (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 , 2
1

则 a(1-x)m=
m

2 a, 2

1 1 m 1 即( )10 =( )2 , = , 2 2 10 2 解得 m=5,故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年, 则 n 年后剩余面积为 令 2 a(1-x)n, 2

1

2 1 2 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4
n 3

1 1 n 3 ( )10 ≥( )2 , ≤ ,解得 n≤15. 2 2 10 2 故今后最多还能砍伐 15 年.


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