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自主招生材料学生版 - 不等式


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第三讲
1、利用不等式求最值

不等式

a2 b2 ? 例 1.设 0 ? x ? 1 , a 、 b 都为大于零的常数,则 的最小值为. x 1? x

练习: 1.若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 和函数 y ? logc ( x

? 2) ? 2(c ? 0 且 c ? 1) 的图象恒过同一个 1 1 定点,则 ? 的最小值为. a b 2 2 2、 a, b, c 为 RT△ACB 的三边长, 点(m, n)在直线 ax+by+c=0 上. 则 m +n 的最小值是___________ 设 kabc ? (a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ,求 k 的最大值。 3、若 a 、 b 、 c ? R? ,且满足 a?b?c 4、设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , f (0) ? 1, f (1) ? 1, f (?1) ? 1, 则 f (2) 的最大值为 ___________ 5、若非负实数 x, y, z 满足 x2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ? 13 ,则 ( x ? y ? z)min ? . 4

6、有一个 m ? n ? p 的长方体盒子, 另有一个 (m ? 2) ? (n ? 2) ? ( p ? 2) 的长方体盒子, 其中
m, n, p 均为正整数( m ? n ? p ), 并且前者的体积是后者一半, 求 p 的最大值.

7、 (83 全国)已知函数 f(x)=ax2-c,满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.那么,f(3)应 满足( )

A.7≤f(3)≤26B.-4≤f(3)≤15C.-1≤f(3)≤20D.- ≤f(3)≤

28 3

35 3

8、 (86 全国)设 x、y、z 为非负实数,且满足方程 4 5x+9y+4z-68?2 5x+9y+4z+256=0,那 么 x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于; 9、 (90 全国)设 n 为自然数,a、b 为正实数,且满足 a+b=2,则 1 1 的最小值是. n + 1+a 1+bn

2、不等式的证明方法
证明不等式的常用方法有:比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造 函数方法等.当然在证题过程中,常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法; 后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略,分析问题时,我们往往用 分析法,而整理结果时多用综合法,这两者并非证明不等式的特有方法,只是在不等式证明 中使用得更为突出而已.此外,具体地证明一个不等式时,可能交替使用多种方法.

比较法
1

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例 2.设 a, b, c∈R+,试证:对任意实数 x, y, z, ? a?b abc b?c c?a ? ? xy ? yz ? xz ?. 有 x2+y2+z2 ? 2 ? (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? c a b ? ?

利用函数性质
2 1 1 1 ? ? . 2 ,求证: c(1 ? c) a(1 ? b) b(1 ? a) 例 3 已知实数 a, b, c 满足 0<a≤b≤c≤

1 1 1 ? ? 例 4 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1,求 f(a, b, c)= a ? b b ? c c ? a 的最小值。

例 5.实数 a 使得对于任意实数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,不等式 2 2 2 2 x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? a( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x5 ) 都成立,求 a 的最大值.
练习:

1、 (83 全国)函数 f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f(1).如果对于任意不同的 x1,x2∈[0, 1 1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|< . 2

利用重要不等式
柯西(Cavchy)不等式:设 a1 、 a2 、 a3 ,?, an 是任意实数,则 2 2 2 2 (a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ) 2 ? (a12 ? a2 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? ? ? bn ). 等号当且仅当 bi ? kai (k 为常数, i ? 1,2,?, n) 时成立. 应用柯西不等式,往往能十分简捷地证明某些不等式.
例 6:设 x1 , x2 ,?, xn ? R ? ,求证:
2 x2 x2 x12 x2 ? ? ? ? n?1 ? n ? x1 ? x2 ? ? ? xn . x 2 x3 xn x1

练习: 1、函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2x 的最大值是_______ 2、 (83 全国)设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,P= ab+ cd,Q= ma+nc· A.P≥QB.P≤Q C.P<QD.P、Q 的大小关系不确定,而与 m,n 的大小有关. 排序不等式:设有两个有序数组 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn ,则 a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn (顺序
2

b d + ,那么() m n

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和)

? a1b j1 ? a2b j2 ? ? ? an b jn (乱序和)

? a1bn ? a1bn?1 ? ? ? an b1 (逆序和)
其中 j1 , j2 ,?, jn是1,2,?, n 的任一排列.当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时等号成 立. I.排序不等式的应用 应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,请看下述例题. 例 7:对 a, b, c ? R ? ,比较 a ? b ? c 与a b ? b c ? c a 的大小.
3 3 3 2 2 2

例 8: a, b, c ? R ? ,求证 a ? b ? c ? 例 9:在△ABC 中,试证:

a2 ? b2 b2 ? c2 c2 ? a2 a2 b2 c2 ? ? ? ? ? . 2c 2a 2b bc ca ab

?
3

?

aA ? bB ? cC ? ? . a?b?c 2

例 10:设 a1 , a2 ,?, an 是互不相同的自然数,试证 1 ?

a a 1 1 ? ? ? ? a1 ? 2 ? ? ? n . 2 2 n 2 n2

例 11:设 b1 , b2 ,?, bn 是正数 a1 , a2 ,?, an 的一个排列,求证

a a1 a2 ? ? ? ? n ? n. b1 b2 bn
1 c 1 ) ? 1. a

例 12:设正数 a, b, c 的乘积 abc ? 1 ,试证: (a ? 1 ? )( b ? 1 ? )( c ? 1 ? 例 13:设正数 a 、 b 、 c 的乘积 abc ? 1, 证明

1 b

1 1 1 3 ? 2 ? 2 ? . a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2
2

例 14:设实数 x1 ? x2 ? ? ? xn , y1 ? y2 ? ? ? yn , z1 , z 2 ,?, z n 是 y1 , y 2 ,?, y n 的一个置换,证明:

? (x
i ?1

n

i

? y i ) 2 ?? ( xi ? z i ) 2 .
i ?1

n

切比雪夫不等式:若 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn ,



a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn a1 ? a 2 ? ? ? a n b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? . n n n

证明:由题设和排序不等式,有 a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn = a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn ,

a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? a1b2 ? a2b3 ? ? ? an b1 ,
??
3

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a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? a1bn ? a2b1 ? ? ? an bn?1 .
将上述 n 个不等式叠加后,两边同除以 n2,即得欲证的不等式. 例 15: a, b, c ? 0 ,求证: a b c ? (abc)
a b c a ?b ? c 3

.

【评述】 (1)证明对称不等式时,不妨假定 n 个字母的大小顺序,可方便解题. (2)本题可作如下推广:若 ai ? 0(i ? 1,2,?, n),则a1 1 a2 2 ?an
a a an

?

(a1a2 ?an )

a1 ? a2 ??? an n

.

(3)本题还可用其他方法得证。因 a a b b ? a b b a ,同理 b b c c ? b c c b , c c a a ? c a a c ,
a b c a b c 另 a b c ? a b c ,4 式相乘即得证.

( 4 ) 设 a ? b ? c ? 0, 则lg a ? lg b ? lg c. 例 3 等 价 于 a lg a ? b lg b ? a lg b ? b lg a, 类 似 例 4 可 证

a lg a ? b lg b ? c lg c ? a lg b ? b lg c ? c lg a ? a lg c ? b lg b ? c lg a. 事实上,一般地有排序不等式(排序
原理) : 排序不等式应用较为广泛(其证明略) ,它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形 式.如 a, b, c ? R ?时, a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? a 2 ? a ? b 2 ? b ? c 2 ? c

? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a;

a2 b2 c2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? a ? b ? c ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? . b c a b c a a b c
?

a 2 ? b 2 b 2 ? c 2 c 2 ? a 2 a 3 b3 c3 ? ? ? ? ? . 例 16: a, b, c ? R , 求证a ? b ? c ? 2c 2a 2b bc ca ab
例 17:设 a1 , a2 ,?, an ? N * ,且各不相同, 求证: 1 ?

1 1 1 a a3 a ? ? ? ? ? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? n . 2 2 3 n 2 3 n2

【评述】排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式, a ? b ? a ? b ? b ? a,
2 2

a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a ? a ? ab ? b ? bc ? c ? ca ? a ? bc ? b ? ac ? c ? ab ? 3abc.
2 2 2 用基本不等式证明 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca.

例 5:利

【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法. .. 【略解】 a ? b ? 2ab,同理b ? c ? 2bc, c ? a ? 2ca ;三式相加再除以 2 即得证.
2 2 2 3 2 2

【评述】 (1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧.
4

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2 2 xn x12 x2 ? ??? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ,可在不等式两边同时加上 x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1. x 2 x3 x1

再如证 (a ? 1)(b ? 1)(a ? c) 3 (b ? c) 3 ? 256a 2 b 2 c 3 (a, b, c ? 0) 时,可连续使用基本不等式.

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? (2)基本不等式有各种变式如 ( 等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等 2 2
的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1.
4 4 例 18:已知 a ? b ? 1, a, b ? 0, 求证: a ? b ?

1 . 8

例 19:利用排序不等式证明 Gn ? An . 【评述】对

1 1 1 , , ?, 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得, Gn ? An . a1 a 2 an
1 n 1 n ?1 ) ? (1 ? ) . n n ?1

例 20:证明:对于任意正整数 R,有 (1 ?

【评述】 (1)利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化,使其两边与均值不等式形式相近. 类似可证 (1 ?

1 n ?1 1 n?2 ) ? (1 ? ) . n n ?1
1 n ?1

(2)本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证,但较繁.

1 1 1 例 21:n 为正整数,证明: n[(1 ? n) ? 1] ? 1 ? ? ? ? ? ? n ? (n ? 1)n n ?1 . 2 3 n
练习: 1、已知 x, y, z∈R+,求证:

x2 ? y2 y2 ? z 2 z 2 ? x2 ? ? ? 0. y?z z?x x? y

5


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