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选修4-4同步课件:2.1 参数方程的概念 课后作业(共16张PPT)

时间:2013-06-14


第二章 参数方程 §1 参数方程的概念 课后作业

1.方程

? x ? sin? , (? 为参数) ? ? y ? cos 2?

所表示的曲线上一个点的坐标是( ) 1 2 A.(2,7) B.( , ) 3 3 1 1 C. ( , ) D.(1,0) 2 2 答案:C

解析:y=cos2θ=1-2sin2θ,
又x=sinθ,∴y=1-2x2,令x=
1 ,代入得y= 2 1 . 2

2.曲线

?x ? 1? t2 , (t为参数) ? ? y ? 2t 经过点(2,m),则m为( )
A.2 C.±2 答案:C D.±1 B.-2

解析:将x=2代入x=1+t2,得t=±1.∴y=±2.
∴m=±2.

3.曲线

? x ? 2cos? , (? 为参数) ? ? y ? 2sin?
)

表示的曲线是( A.直线 C.椭圆 答案:B

B.圆 D.双曲线

解析:∵ ? x ? 2cos? , ? ? y ? 2sin? ,
∴x2+y2=4cos2θ+4sin2θ=4,故曲线表示圆.

4.由方程x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0(t为参数)所表示的一组圆的 圆心轨迹是( A.一个定点 C.一条抛物线 ) B.一个椭圆 D.一条直线

答案:D
解析:上述方程可变形为(x-2t)2+(y-t)2=4, ∴这组圆的圆心坐标为(2t,t). 令 ? x ? 2t , ∴x-2y=0. ? ? y ? t, ∴圆心的轨迹是一条直线.

5.已知曲线C的参数方程为 ? x ? 2cos? , (? 为参数, 0 ? ? ? 2? ), ? ? y ? 2sin? 已知 A(1, ? 3) 在曲线C上,则相应的θ值为( )
A.

?
3

2? B. 3

5? C. 3

11? D. 6

答案:C
?1 ? 2cos? , 解:? ?? 3 ? 2 sin? , 5? ∴ ?? . 3

? 3 , ? sin? ? ? ? 2 ∴? ?cos? ? 1 , ? 2 ?

6.若曲线

? x ? 1 ? cos 2? , (? 为参数), ? 2 ? y ? sin ?
)

则点(x,y)的轨迹是( A.直线x+2y-2=0

B.以(2,0)为端点的射线 C.圆(x-1)2+y2=1

D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段

答案:D 解析:x=1+cos2θ=2-2sin2θ. 又sin2θ=y,∴x=2-2y,即x+2y-2=0. 又y=sin2θ∈[0,1], ∴轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段.

7.若点P(3,b)在曲线

? x ? t 2 ? 1, ? ? ? y ? ?2t ? 4 ?

上,则b=________. 答案:3或-5 解析:∵x
2 ? t+1=3,∴t=±2,∴b=y=-2t-1,即b=3或-5.

8.已知点A(4,b)在曲线 则b=________. 答案:7
?4 ? t ? 1, 解析 : ? ?b ? ?2 ? t , 解得 ?t ? 9, ? ?b ? 7.

? x ? t ? 1, (t为参数)上, ? ? y ? ?2 ? t

∴b=7.

9.曲线

? x ? 1, (t为参数) ? ? y ? sint ? 1

与圆x2+y2=4的交点坐标为________. 答案:

(1, 3)

解析:由题得12+(sint+1)2=4, ∴(sint+1)2=3,∴sint+1=± .3
3 .

∵sint+1≥0,∴sint+1=
∴交点坐标为

(1, 3) .

10.设M为抛物线y2=2x上的动点,给定点M0(-1,0),点P为线段 M0M的中点,求点P的轨迹的参数方程. y2 ? 2t 2 . 解析:令y=2t,则 x ? 2 ? x ? 2t 2 , ? ∴抛物线的参数方程为 ? y ? 2t. 动点M(2t2,2t),M0(-1,0),设P(x,y), 由中点坐标公式得
1 2 ? ? x ? 2 (2t ? 1), ? ? ? y ? 1 (2t ? 0), ? 2 ?
1 ? 2 ?x ? t ? , 2 (t为参数). ? 即 ?y ? t ?

11.已知线段AB的位置和长度都一定,点P在其上运动.在AB 的同侧分别以AP?PB为边作正三角形APM与BPN,求线段 MN的中点Q的轨迹方程. 解析:如图建立直角坐标系,设|AB|=a,取AP=t(0<t<a)为参数,

则B(a,0),P(t,0),

t 3 a ? t 3(a ? t ) M( , t ), N ( , ). 2 2 2 2 设MN点的中点Q(x,y),根据中点公式得点Q的轨迹方程为
1 a ? ?x ? 2 t ? 4 , ? (0 ? t ? a, t为参数). ? ?y ? 3 a ? 4 ?

12.已知P(x,y)是圆x2+y2-2y=0上的动点. (1)求2x+y的取值范围; (2)若x+y+c≥0恒成立,求实数c的取值范围. 解析:方程x2+y2-2y=0变形为x2+(y-1)2=1, 其参数方程为

? x ? cos? , (? 为参数). ? ? y ? 1 ? sin?

(1)∵2x+y=2cosθ+sinθ+1= sin(θ+φ)+1(其中φ由 5 2 ,cosφ= 1 确定), sinφ= 5 5 ≤2x+y≤1+ 5 (2)若x+y+c≥0恒成立, ∴1.5

即c≥-(cosθ+sinθ+1)对一切θ∈R恒成立. ∵-(cosθ+sinθ+1)的最大值是
2 -1,

∴当且仅当c≥

-1时,x+y+c≥0恒成立. 2


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