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【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质练习 新人教A版选修1-1


2.1.2 椭圆的简单几何性质

一、选择题 1.已知椭圆 + =1 的长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 C.7 [答案] D [解析] 由题意知,c=2,a =m-2,b =10-m, ∴m-2-10+m=4,∴m=8. 2.椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率 e 为( 1 A. 2 1 C. 4 [答

案] A 1 B. 3 D. 2 2 )
2 2

x2

y2

)

B. 5 D. 8

c 1 [解析] 由题意,得 a=2c,∴e= = . a 2
3.与椭圆 9x +4y =36 有相同焦点,且短轴长为 4 5的椭圆方程是( A. + =1 25 20 C. + =1 20 45 [答案] B [解析] 椭圆 9x +4y =36 的焦点为(0, 5),(0,- 5), ∵b=2 5,∴a =25,故选 B. 4.如图, 经过点 P1, P2, P3 且有相同对称轴的三个椭圆的离心率依次为 e1, e2, e3, 则( )
2 2 2 2 2

)

x2 x2

y2 y2

B. + =1 20 25 D. + =1 80 85

x2 x2

y2 y2

A.e3<e1<e2 C.e3<e2<e1 [答案] A

B.e1<e2<e3 D.e2<e1<e3

[解析] 椭圆越扁,离心率越大,比较过点 P1,P2 的椭圆的离心率,得 e1<e2,比较过 点 P1,P3 的椭圆的离心率,得 e3<e1,故 e3<e1<e2.

5.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( 1 A. 4 C.2 [答案] A [解析] 由题意 +x =1,且 1 1 B. 2 D. 4

2

2

)

y2 m

2

1 =2,

m

1 ∴m= .故选 A. 4 6.已知焦点在 y 轴上的椭圆 +y =1,其离心率为 A.4 1 C.4 或 4 [答案] B [解析] 由题意,得 a =1,b =m, ∴c =a -b =1-m, ∴离心率 e= = 1-m= 1 ∴m= . 4 二、填空题 7.已知椭圆的中心在原点,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆 标准方程为________. [答案] + =1 或 + =1 81 72 72 81
2 2 2 2 2

x2 m

2

3 ,则实数 m 的值是( 2

)

1 B. 4 1 D. 2

c a

3 , 2

x2

y2

x2

y2

[解析] ∵椭圆长轴长为 18,∴a=9. 又两个焦点将长轴三等分, ∴a-c=2c,∴c=3,∴b =a -c =72. ∵焦点位置不确定, ∴方程为 + =1 或 + =1. 81 72 72 81
2 2 2

x2

y2

x2

y2

x y 1 8.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m=________. 4 m 2

2

2

16 [答案] 3 或 3 [解析] 当焦点在 x 轴上时,e= ∴m=3. 当焦点在 y 轴上时,e= 4-m 1 = , 2 2

m-4 1 16 = ,∴m= . 2 3 m

9.已知 B1、B2 为椭圆短轴的两个端点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,若四边形 B1F1B2F2 为 正方形,则椭圆的离心率为________. [答案] 2 2 2 a, 2

[解析] 如图,由已知得 b=c= ∴e= =

c a

2 . 2

三、解答题 10.如图所示,从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 作 x 轴的垂线,恰好通过椭圆的一个 焦点 F1,此时椭圆与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,所确定的直线 AB 与 OP 平行,求离心 率 e 的值.

x2 y2 a b

[解析] 设 P 点的坐标为(x,y)(y>0), 由题意可得 x=-c,代入椭圆的方程可得 y= , ∴P 点的坐标为(-c, ),∴kOP=- . 又∵A(a,0),B(0,b),∴kAB=- . ∵OP∥AB,∴kAB=kOP,

b2 a

b2 a

b2 ac

b a

即- =- ,∴b=c, ∴a= b +c = c +c = 2c, ∴e= =
2 2 2 2

b a

b2 ac

c a

2 . 2

一、选择题 1 1.(2015·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 ,长轴长为 12, 3 则椭圆方程为( )

A. + =1 或 + =1 144 128 128 144 C. + =1 或 + =1 36 32 32 36 [答案] C

x2

y2

x2

y2

B. + =1 6 4 D. + =1 或 + =1 4 6 6 4

x2 y2 x2 y2

x2

y2

x2

y2

x2 y2

c 1 2 2 2 [解析] 由条件知 a=6,e= = ,∴c=2,∴b =a -c =32,故选 C. a 3 x2 y2 3 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l a b 3
交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( A. + =1 3 2 C. + =1 12 8 [答案] C [解析] 根据条件可知 =
2

)

x2 y2 x2

B. +y =1 3 D. + =1 12 4

x2

2

y2

x2

y2

c a

3 ,且 4a=4 3, 3

∴a= 3,c=1,b =2,椭圆的方程为 + =1. 3 2

x2 y2

y2 3.若直线 y=x+ 6与椭圆 x + 2=1(m>0 且 m≠1)只有一个公共点,则该椭圆的长轴 m
2

长为( A.1 C.2

) B. 5 D. 2 5

[答案] D

? ?y=x+ 6 [解析] 由? 2 y2 x + 2=1 ? m ?
2 2 2

,得

(1+m )x +2 6x+6-m =0, 由已知 Δ =24-4(1+m )(6-m )=0,解得 m =5, ∴椭圆的长轴长为 2 5. 7 4.(2015·抚顺二中期中)在△ABC 中,AB=BC,cosB=- .若以 A,B 为焦点的椭圆经 18 过点 C,则该椭圆的离心率 e=( 3 A. 4 3 C. 8 [答案] C [解析] 设|AB|=x>0,则|BC|=x, ) 3 B. 7 3 D. 18
2 2 2

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB
7 25 2 5 2 2 2 =x +x -2x ·(- )= x ,∴|AC|= x, 18 9 3 由条件知,|CA|+|CB|=2a,AB=2c, 5 c 2c x 3 ∴ x+x=2a,x=2c,∴e= = = = . 3 a 2a 8 8 x 3 二、填空题 5.若椭圆的一个焦点将其长轴分成 3? 2两段,则椭圆的离心率为________. [答案] 5-2 6 [解析] 椭圆的一个焦点将其长轴分成 a+c 与 a-c 两段, ∴

a+c 3 = , a-c 2

∴( 3- 2)a=( 3+ 2)c, ∴e= =5-2 6. 6.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形,焦 点在 x 轴上,且 a-c= 3,则椭圆的方程是________. [答案]

c a

x2
12

+ =1 9

y2

[解析] 如图所示, cos∠OF2A=cos60° = |OF2| , |AF2|

c 1 即 = .又 a-c= 3, a 2
∴a=2 3,c= 3, ∴b =(2 3) -( 3) =9. ∴椭圆的方程是 + =1. 12 9 三、解答题 7.已知 F1、F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB,若△AF1B 的 周长为 16,椭圆的离心率 e= 3 ,求椭圆的方程. 2
2 2 2

x2

y2

x2 y2 a b

4a=16 ? ? [解析] 由题意,得?c 3 = ? ?a 2 ∴a=4,c=2 3.



∴b =a -c =4,所求椭圆方程为 + =1. 16 4 8.如图所示,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横 2 坐标,其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3

2

2

2

x2

y2

[解析] 解法一: 设椭圆的长半轴长、 短半轴长、 半焦距分别为 a、 b、 c, 则焦点为 F1(-

c,0),F2(c,0),M 点的坐标为(c, b),则△MF1F2 为直角三角形.
在 Rt△MF1F2 中,|F1F2| +|MF2| =|MF1| , 4 2 2 2 即 4c + b =|MF1| . 9 而|MF1|+|MF2|= 4 2 2 2 4c + b + b=2a, 9 3
2 2 2

2 3

整理得 3c =3a -2ab.

2

2

b 4 2 2 2 又 c =a -b ,所以 3b=2a.所以 2= . a 9
∴e = 2=
2

2

c2 a2-b2 b2 5 5 = 1 - . 2 2= ,∴e= a a a 9 3 x2 y2 a b

解法二:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 2 则 M(c, b). 3

c2 4b2 c2 5 代入椭圆方程,得 2+ 2=1,所以 2= , a 9b a 9
所以 =

c a

5 5 ,即 e= . 3 3


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