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昌平2013-2014学年第一学期高三年级期末质量监控数学试卷(文)及答案

时间:2014-01-19


昌平区 2013-2014 学年第一学期高三年级期末质量抽测

数 学 试 卷(文 科)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2014.1

考生须知:
1. 2. 3. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填 写。 答题

卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹 的签字笔作答, 作图时可以使用 2B 铅笔。 请按照题号顺序在各题目的答题区内作答, 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不 要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。

4. 5.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项.)
(1) 已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4,5,6} ,集合 A ? {1, 2}, B ? {0, 2,5} ,则集合 (? U A) I B ? (A) {3, 4, 6} (B) {3,5} (C) {0,5} (D) {0, 2, 4}

(2) 在复平面内表示复数 i(1 ? 2i) 的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 开始

A ?1, B ?1
(3) 若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的 B 等于 (A)63 (B)31 (C)127 (D)15

A ? A ?1 B ? 2B ?1

A?3
否 输出 B 结束



(4) “ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(5) 设 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 (A) m//? , n //? , 且 ? //? ,则 m//n (C) m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? (B) m ? ? , n ? ? , 且 ? ? ? ,则 m ? n (D) m ? ? , n ? ? , m//? , n //? ,则 ? //?

(6)将函数 y ? 2cos x 的图象向右平移 短到原来的

?
2

个单位长度, 再将所得图象上的所有点的横坐标缩

1 (纵坐标不变) ,得到的函数解析式为 2
(B) y ? ?2cos 2 x (C) y ? ?2sin 2 x (D) y ? 2sin 2 x

(A) y ? 2cos 2 x

(7)已知函数 f ( x ) ? ? (A) a ? 0

? ?

2 x ? a,

0 ? x ?1,

2 ? ?? x ? 2 x ? 1, ?3 ? x ? 0

的值域为 [?2, 2] ,则实数 a 的取值范围是 (D) ?3 ? a ? 0

(B) 0 ? a ? 3

(C) ?3 ? a ? 0

(8) 已知函数 f ( x) ? 3 sin

?x
R

的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆

x 2 ? y 2 ? R 2 上,则函数 f ( x) 的图象的一条对称轴可以是
(A)直线 x ?

?
2

(B) 直线 x ?

1 2

(C)直线 x ? ??

(D)直线 x ? ?1

第二卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)
(9) 已知向量 a ? (3,1), b ? (k ,3) ,若 a ? b ,则 k ? ________ .

? x ? y ? 1 ? 0, ? (10) 若实数 x, y 满足 ? x ? 2, ,则 z ? y ? x 的最大值是________ . ?y ? 3 ?
(11) 抛物线 y ? ax 的准线方程是 x ? ?1 ,则实数 a 的值为________ .
2

2 2 m (12) 设 a ? ( ) , b ? m 3 , c ? log 2 m ,当 m ? 1时, a, b, c 从小到大 的顺序是___ . .... 3 3

(13) 若 m 是 2 和 8 的等比中项,则 m ? ________ ,圆锥曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率是 m

___________ . (14) 函数 f ( x) 的定义域为 D , 若对于任意 x1 , x2 ? D , 当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x) 在 [0,1] 上为非减函数,且满足以下 三个条件:① f (0) ? 0 ;② f ( ) ?

x 3

1 f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) . 2

则 f ( ) ? _______ ; f ( ) ? f ( ) ? _________ .

1 6

1 4

1 7

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A ? (Ⅰ)求 sin B ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

?
3

, cos C ?

3 , a ? 3. 3

(16)(本小题满分 13 分) 为了参加某项环保活动, 用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中, 抽取若干人组成 环保志愿者小组,有关数据见下表: 年级 高一 高二 高三 相关人数 36 72 54 抽取人数

x y
3

(Ⅰ)分别求出样本中高一、高二年级志愿者的人数 x , y ; (Ⅱ)用 Ai (i ? 1, 2,L ) 表示样本中高一年级的志愿者, ai (i ? 1, 2, L ) 表示样本中高二年级 的志愿者,现从样本中高一、高二年级的所有志愿者中随机抽取 2 人.

(1)按照以上志愿者的表示方法,用列举法列出上述所有可能情况; (2)求二人在同一年级的概率.

(17)(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? BB1 ? 2 , D 为 AB 的中 点. A C (Ⅰ)求证: BC1 ∥平面 A1CD ; (Ⅱ) 求证: BC1 ? 平面 AB1C ; (Ⅲ)求三棱锥 D ? A1 AC 的体积.
A1 B1 C1 D B

(18)(本小题满分 13 分) 2 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx , a, b ? R . (Ⅰ)若曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ? (II)若 b ? 1,求函数 f ( x) 的最大值.

1 ,求实数 a, b 的值; 2

(19)(本小题满分 13 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 , 过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆 a b 截得的弦长为 1 ,过点 M (3, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A, B .
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点),求实数 t 的取值范 围.

uur

uu u r

uu u r

(20)(本小题满分 14 分)

L ,a 已 知 无 穷 数 列 {an } 中 , a1 , a2 , a3 , m 是 首 项 为 10 , 公 差 为 ?2 的 等 差 数 列 , am?1 , am? 2 , am?3 ,L , a2 m 是首项为

1 1 ,公比为 的等比数列(其中 m ? 3, m ? N* ),并对任意 2 2

的 n ? N* ,均有 an ? 2m ? an 成立. (Ⅰ)当 m ? 12 时,求 a2014 ;

(Ⅱ)若 a52 ?

1 ,试求 m 的值; 128

(Ⅲ)判断是否存在 m(m ? 3, m ? N*) ,使得 S128m ? 3 ? 2014 成立?若存在,试求出 m 的值; 若不存在,请说明理由.

昌平区 2013-2014 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(文科)参考答案及评分标准 2014.1

一、选择题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。
题 号 答 案 (1) C (2) B (3) B (4) A (5) B (6) D (7) C (8) D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9) ?1 (10) 5 (11) 4 (12) c ? a ? b (方向写反扣 2 分)
(13) ?4 (答出一个给 1 分,两个给 2 分) ; 分) (14)

3 或 5 (答出一个给 1 分,两个给 3 2

1 7 ; (第一空 2 分,第二空 3 分) 4 12

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 因为 A, B, C 为 ?ABC 的内角,且 A ?

?
3

, cos C ?

3 , 3

所以 sin C ?

6 . 3

所以 sin B ? sin( A ? C )

? sin A cos C ? cos Asin C
? 3 3 1 6 ? ? ? 2 3 2 3 3? 6 . 6
???7 分

?

(Ⅱ) 在 ?ABC 中,由正弦定理 所以 ?ABC 的面积为 S ? (16)(本小题满分 13 分)

a c ,解得 c ? 2 2 . ? sin A sin C
1 3 2?2 3 ac sin B ? . 2 2
???13 分

解: (Ⅰ)依题意,分层抽样的抽样比为

3 1 ? . 54 18 1 所以在高一年级抽取的人数为 x ? 36 ? ? 2人 , 18 1 在高二年级抽取的人数为 y ? 72 ? ? 4 人. 18

???4 分

(Ⅱ) (1)用 A1 , A2 表示样本中高一年级的 2 名志愿者,用 a1 , a2 , a3 , a4 表示样本中 高二年级的 4 名志愿者.则抽取二人的情况为

A1 A2 , A1a1 , A1a2 , A1a3 , A1a4 , A2 a1 , A2 a2 , A2a3 , A2a4 , a1a2 , a1a3 , a1a4 , a2a3 , a2a4 , a3a4
共 15 种. (2)设 A 为事件“抽取的二人在同一年级”. 因为抽取的二人在同一年级的情况是 A1 A2 , a1a2 , a1a3 , a1a4 , a2 a3 , a2 a4 , a3a4 共 7 种. 所以抽取的二人是同一年级的概率为 P ( A) ? ???9 分

7 . 15

???13 分

(17)(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,连结 AC1 交 AC 于 G ,连结 DG . 1 因为 AC ? BC ? BB1 ? 2 , 所以四边形 A1C1CA 、 BCC1 B1 为正方形. 所以 G 为 AC1 中点. 在 ?ABC1 中,因为 D 为 AB 的中点, 所以 BC1 ∥ DG . 因为 DG ? 平面 A1CD , BC1 ? 平面 A1CD , 所以 BC1 ∥平面 A1CD . (Ⅱ)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, 所以 CC1 ? 平面 ABC . 因为 AC ? 平面 ABC , 所以 CC1 ? AC . 又 AC ? BC , CC1 I BC ? C , 所以 AC ? 平面 BCC1 B1 .

A D B G A1 B1

C

C1

???5 分

因为 BC1 ? 平面BCC1 B1 , 所以 BC1 ? AC . 因为 BB1C1C 是正方形, 所以 BC1 ? B1C . 又 B1C ? AC ? C , 所以 BC1 ? 平面 AB1C . (Ⅲ)因为 ?ABC 为等腰直角三角形, 所以 S?ACD ? ???10 分

1 1 AD ? CD ? ? 2 ? 2 ? 1 . 2 2

因为 AA1 ? 平面 ABC , 所以 VD ? A1 AC ? VA1 ? ADC ? (18)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) .
f '( x) ? a ? 2bx , x

1 1 1 ? AA1 ? S?ACD ? ? 2 ?1 ? . 3 3 3

???14 分

1 因为曲线 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切, 2
? f '(1) ? a ? 2b ? 0, ? 所以 ? 1 f (1) ? ?b ? ? , ? ? 2 ?a ? 1, ? 解得 ? 1 b? . ? ? 2

???6 分

(Ⅱ) 当 b ? 1 时, f ( x) ? a ln x ? x 2 .
a ?2 x 2 ? a ? 因为 f '( x) ? ? 2 x ? x x a ?2( x 2 ? ) 2 , x

(1)当 a ? 0 时, f '( x) ? ?2 x . 因为 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,无最大值. (2)当 a ? 0 时, x 2 ?
a ? 0, 2

所以 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,无最大值.

?2( x ?

(3)当 a ? 0 时, f '( x) ? 因为 f '( x) ? 0 时, 0 ? x ?
f '( x) ? 0 时, x ?

a a )( x ? ) 2 2 . x
a , 2

a , 2

所以 f ( x) 在 (0, 所以 f max ( x) ? f ( (19)(本小题满分 13 分)

a a ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减. 2 2 a a a a ) ? ln ? . 2 2 2 2

???13 分

解:(I)因为所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2c ? 2 3 , a 2 b2

所以 c ? 3 . 设过焦点且垂直于长轴的直线为 x ? c . 因为过焦点且垂直于长轴的直线 l 被椭圆截得的弦长为 1 , 代入椭圆方程解得: y ? ?

b2 b2 1 ? . ,即 a 2 a

? ?c ? 3, ?a ? 2, ? ? ? 2 2 2 由 ? a ? b ? c , 解得 ?b ? 1, ? b2 1 ? ?c ? 3. ? ? , ? ?a 2 x2 ? y 2 ? 1. 所以所求椭圆的方程为: 4 (Ⅱ)设过点 M (3,0) 的直线 l 的斜率为 k ,显然 k 存在. uur uu u r r uu u r (1)当 k ? 0 时, OA ? OB ? 0 ? tOP ,所以 t ? 0 . (2)当 k ? 0 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) . ? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 消 y 并整理得 2 ? y ? 1 ? ?4 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ? 4 ? 0 .
2 4 2 2

??? 6 分

2 当 ? ? 24 k ? 4(1 ? 4k )(36k ? 4) ? 0 时,可得 0 ? k ?

1 . 5

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) ,则

x1 ? x2 ?
uur

24k 2 36k 2 ? 4 x ? x ? , . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
uu u r uu u r

因为 OA ? OB ? tOP , 所以 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x0 , y0 ) .

所以 x0 ? ( x1 ? x2 ) ?

1 t

24k 2 , t (1 ? 4k 2 )

1 1 ?6k . y0 ? ( y1 ? y2 ) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 6k ] ? t t t (1 ? 4k 2 )
由点 P 在椭圆上得 解得 t ?
2

(24k 2 ) 2 144k 2 ? ? 4. t 2 (1 ? 4k 2 ) 2 t 2 (1 ? 4k 2 ) 2

36k 2 9 . ? 9? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 因为 0 ? k 2 ? , 5 4 所以 0 ? 4k 2 ? . 5 9 2 所以 1 ? 1 ? 4k ? . 5 5 1 所以 ? ?1. 9 1 ? 4k 2 9 所以 5 ? ? 9. 1 ? 4k 2 9 所以 ?9 ? ? ? ?5 . 1 ? 4k 2 9 所以 0 ? 9 ? ? 4. 1 ? 4k 2 2 所以 0 ? t ? 4 .
所以 t ? (?2,0) ? (0, 2) . 综合(1) (2)可知 t ? (?2, 2) (20)(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) m ? 12 时,数列的周期为 24 . 因为 2014 ? 24 ? 83 ? 22 ,而 a22 是等比数列中的项, 所以 a2014 ? a22 ? a12?10 ? ( ) ?
10

????13 分

1 2

1 . 2014 1 2
k

???4 分

(Ⅱ)设 am ? k 是第一个周期中等比数列中的第 k 项,则 am ? k ? ( ) . 因为

所以等比数列中至少有 7 项,即 m ? 7 ,则一个周期中至少有 14 项. 所以 a52 最多是第三个周期中的项. 若 a52 是第一个周期中的项,则 a52 ? am?7 ? 所以 m ? 52 ? 7 ? 45 ;

1 1 ? ( )7 , 128 2

1 , 128 1 , 128

若 a52 是第二个周期中的项,则 a52 ? a2 m? m?7 ? a3m?7 ?

所以 3m ? 45 , m ? 15 ; 若 a52 是第三个周期中的项,则 a52 ? a4 m? m? 7 ? a5 m? 7 ? 所以 5m ? 45 , m ? 9 . 综上, m ? 45或m ? 15或m ? 9 . (Ⅲ)因为 2m 是此数列的周期, 所以 S128 m?3 表示 64 个周期及等差数列的前 3 项之和. 所以 S2 m 最大时, S128 m?3 最大.

1 128
???9 分

1 1 [1 ? ( )m ] m(m ? 1) 2 因为 S2 m ? 10m ? ? (?2) ? 2 1 2 1? 2 1 ? ?m2 ? 11m ? 1 ? m 2 11 125 1 ? ?( m ? ) 2 ? ? , 2 4 2m 1 63 当 m ? 6 时, S2 m ? 31 ? ? 30 ; 64 64 63 当 m ? 5 时, S2 m ? 30 ; 64 11 2 125 63 当 m ? 7 时, S2 m ? ?(7 ? ) ? ? 29 ? 30 . 2 4 64
当 m ? 6 时, S2 m 取得最大值,则 S128 m?3 取得最大值为

64 ? 30

63 ? 24 ? 2007 . 64

由此可知,不存在 m(m ? 3, m ? N*) ,使得 S128 m ?3 ? 2014 成立. ??14 分

【各题若有其它解法,请酌情给分】


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