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第二章推理与证明复习小结


第二章

推理与证明复习小结

知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法

归纳推理 类比推理

直接证明

综合法 分析法 反证法

数学归纳法

一.综合法
例.已知a、b、c

为不相等正数 ,且abc = 1, 1 1 1 证求 : a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c

证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ,且abc = 1,

bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2

>

abc2 +

a2bc +

ab2c =

a + b + c.

1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c

例.已知a、b、c 为 不相等正数 ,且abc = 1, 1 1 1 证求 : a + b + c < + + . a b c

证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ,且abc = 1,

1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab

1 1 1 1 1 1 + + + 1 1 1 b c c a a b < + + = + + . 2 2 2 a b c

1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c

例:已知a > 5,求证 :
? ? ? ? ? ? ? ?

二.分析法

a -5 - a -3 <

证明: a -5 - a -3 < a -2 - a 要证 只需证 a - 5 ? a < a - 2 + a - 3 只需证 a(a - 5)< (a - 2)(a - 3) 只需证 a(a - 5)<(a - 2)(a - 3) 只需证 0 < 6 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.

a - 2 - a.

三:反证法
问题一: 求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.

问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.

问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,

求证;AC,SD也是异面直线.
C D

L1

a

L2
A

B

五.归纳、类比、猜想、证明
例:在各项为正的数列{a n }中,数列的前n项 1 1 和s n 满足s n = (a n + ) 2 an (1)求a1、a 2、a 3; (2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式, 并用数学归纳法证明你的猜想。

例:有下列各式: 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + ? + > 2 2 3 4 5 6 7 15 ? 你能得到怎样的一般不等式,并加以证明。

例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.

又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都 成 立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.

注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. n-1 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________ 个区域. 2k

作业:P110 A组 4
1:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2个区域.


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