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1.2简单的逻辑联结词

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1.2简单的逻辑联结词
无为三中

我们来看几个复杂的命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词. 上面命题(1),(2),(3)的构成形式分别是: (1)P或q. (2)P且q. (3)非p.(记作? p )

思考?
下列

三个命题间有什么关系? (1)12能被3整除;

(2)12能被4整除;
(3)12能被3整除且能被4整除.

一般地,用逻辑联结词” 且”把命题p和命题q联结 起来.就得到一个新命题, 记作

“p且q”.

规定:当p,q都是真命题时, p且q 是真命题;当p,q两个命题中有一个 命题是假命题时, p且q 是假命题.

全真为真,有假即假.
p q

例1 将下列命题用”且”联结成新命 题,并判断它们的真假:

(1)P:平行四边形的对角线互相平 分,q:平行四边形的对角线相等. (2)P:菱形的对角线互相垂直, q:菱形的对角线互相平分.

?

例2

? 用逻辑联结词”且”改写下列命题 ,

并判断它们 的真假:

? (1)1既是奇数,又是素数;
? (2)2和3都是素数.

思考?
下列三个命题间有什么关系?
(1)27是7的倍数; (2)27是9的倍数;

(3)27是7的倍数或是9的倍数.

一般地,用逻辑联结词”或”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个 新命题,记作

p或q
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题 时, p或q 是真命题;当p,q两个命题中都是 假命题时, p或q 是假命题.

当p,q两个命题中有一个是真命 题时, P或q 是真命题;当p,q两个命 题都是假命题时, P或q 是假命题.

开关p,q的闭合 对应命题的真 假,则整个电路 的接通与断开 分别对应命题 P或q 的真与假.

p

q

例3

判断下列命题的真假
(1)2 ? 2; (2)集合A是 A ? B 的子集或是 A ? B 的子集; (3)周长相等的两个三角形全等或面积 相等的两个三角形全等.

思考?

如果 P且q 为真命题,那么 P或q 一定是真命题吗?

反之,如果 P或q 为真命题, 那么 P且q 一定是真命题吗?


逻辑联结词中的”或”相当于集合中的” 并集”,它与日常用语中的”或”的含义 不同.日常用语中的”或”是两个中任选 一个,不能都选,而逻辑联结词中的”或”, 可以是两个都选,但又不是两个都选,而是 两个中至少选一个,因此,有三种可能的情 况.

逻辑联结词中的”且”相当于集合中的” 交集”,即两个必须都选.

?思考?
? ? ?

下列命题间有什么关系?
(1)35能被5整除; (2)35不能被5整除.

一般地,对一个命题p全盘否定,就得 到一个新命题,记作

?p

读作”非p”或”p的否定” 若p是真命题,则 ? p 必是假命题;若 p是假命题,则 ? p 必是真命题.

“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 否定 = ≠ > ≤ 是 都是 至多有 至少有 一个 一个 至少有 没有一 两个 个

不是 不都是

例4 写出下列命题的否定,并判断它 们的真假:

() 1 p:y ? sin x是周期函数; (2)p:3 ? 2; (3)p:空集是集合A的子集。
(4)p:π是无理数 ; (5)p:等腰三角形的两个底角相等;

(6)q:等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合.

例5 分别写出由命题“p:平行四 边形的对角线相等”,“q:平行四 边形的对角线互相平分”构成的 “p或q”,“p且q”,“非p”形式的命 题。
(1)24既是8的倍数,又是6的倍数.

例6 分别指出下列命题的形式及构成它的 命题。

(2)李强是篮球运动员或跳水运动员.
(3)平行线不相交.

本节须注意的几个方面: (1)“≥”的意义是“>或=”. (2)“非”命题对常见的几个正面词语的否 至多有 至少有 定. 正面 = > 是 都是
一个
否定 ≠ ≤ 不是 不都是

一个

至少有 没有一 两个 个

例7 已知命题p,q,写出“p或q”,“p且q”,“非p” 形式的复合命题. (1)p:π是无理数,q:π是实数. (2)p:3>5,q:3+5=8. (3)p:等腰三角形的两个底角相等,q:等腰三 角形底边上的高和底边上的中线重合.

练习
1、判断下列命题的真假: (1)12是48且是36的约数; (2)矩形的对角线互相垂直且平分。 2、判断下列命题的真假 (1)47是7的倍数或49是7的倍数; (2)等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直。 3、写出下列命题的否定,然后判断他它们的真假:
(2)3是方程x (1)2+2=5;
2 2

? 9 ? 0的根;(3) (-1)? ?1。


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