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电学题1题目


1. 如图所示,在金属球 A 内有两个球形空腔。此金属球整体上不带电。在两空腔中心各 放置一点电荷 q1 和 q2 。此外在金属球 A 之外远处放置一点电荷 q(q 至 A 的中心距离 r >> 球 A 的半径 R) 。作用在 A、 q1 、 q2 、q 四物体上静电力各多少?

2. 相对介电常数为 ? r 的均匀电介质内有一球形空腔 (腔内为空

气) , 介质中有均匀电场 E , 求球面上的极化电荷面密度在球心激发的电场强度 E ? 。

3. 如图所示, 两个半径都为 R 带电荷都为 Q(>0)的均匀带电细圆环, 环的圆心位于 z 轴上, 环面与 z 轴垂直,坐标原点 O 到两圆环的圆心 O1 和 O2 的距离相等,用 D 表示此距离(其大 小可变,即可取任意值). (1)一质量为 m、电荷为 q(>0)的带电粒子,从 z = - ∞处沿 Oz 轴正方向射向两个圆环, 已知该粒子刚好能穿过两个圆环.试通过定性及半定量的分析,画出该粒子的动能 Ek 随 z 变化的图线,并求出与所画图线相应的 D 所满足的条件. (2) 若该粒子初始时位于坐标原点 z = 0 处, 现给粒子一沿 z 轴方向的速度(大小不限), 试尽可能详细讨论粒子可能做怎样的运动.不计重力的作用

4.
1

如图所示,G 为一竖直放置的细长玻璃管,以其底端 O 为原点,建立一直角坐标系 Oxy ,y 轴与玻璃管的轴线重 合. 在 x 轴上与原点 O 的距离为 d 处固定放置一电荷量为 Q 的正点电荷 A , 一个电荷量为 q (q>0) 的粒子 P 位于管内, 可沿 y 轴无摩擦地运动.设两电荷之间的库仑相互作用力不 受玻璃管的影响. (1)求放在管内的带电粒子 P 的质量 m 满足什么条件 时,可以在 y>0 的区域内存在平衡位置. O P

y G

A d

x

(2)上述平衡状态可以是稳定的,也可能是不稳定的;它依赖于粒子的质量 m.以 y (m)表示质量为 m 的粒子 P 处于平衡位置时的 y 坐标.当粒子 P 处于稳定平衡状态时,y (m)的取值区间是_________________;当粒子 P 处于不稳定平衡状态时,y(m)的取值 区间是_________________(请将填空答案写在答题纸上) . (3)已知质量为 m1 的粒子 P 处于稳定平衡位置,其 y 坐标为 y1 .现给 P 沿 y 轴一微 小扰动.试证明以后的运动为简谐运动,并求此简谐运动的周期. (4)已知质量为 m2 的粒子 P 的不稳定平衡位置的 y 坐标为 y2 ,现设想把 P 放在坐标 y3 处,然后从静止开始释放 P.求释放后 P 能到达玻璃管底部的所有可能的 y3(只要列出 y3 满足的关系式,不必求解) .

5. 图 1 中 K 为带电粒子发射源,从中可持续不断地射出质量、电荷都相同的带正电的粒 子流,它们的速度方向都沿图中虚线 O′O ,速度的大小具有一切可能值但都是有限的.当 粒子打在垂直于 O′O 的屏 NN ′ 上时,会在屏上留下永久性的痕迹.屏内有一与虚线垂直的 坐标轴 Y ,其原点位于屏与虚线的交点 O 处,Y 的正方向由 O 指向 N .虚线上的 A 、B 两处,各有一电子阀门 a 和 b .阀门可以根据指令开启或关闭.开始时两阀门都处于关闭 状态,挡住粒子流.M 、M′ 是两块较大的平行金属平板,到虚线 O′O 的距离都是 d ,板 M 接地.在两板间加上如图 2 所示的周期为 2T 的交变电压 u ,u 的正向最大值为 2U ,负 向最大值为 U .已知当带电粒子处在两平板间的空间时,若两平板间的电压为 U ,则粒子 在电场作用下的加速度 a 、电压 u 的半周期 T 和平板到虚线的距离 d 满足以下关系 1 aT2 = d 5

2

Y N M O M′ l 图1 l l N′

K O′

A

a l

B b

u 2U

0 -U

2

4

6

8

10

12

t/T

图2 已知 AB 间的距离、B 到金属板左端的距离、金属板的长度以及金属板右端到屏的距离 都是 l .不计重力的作用.不计带电粒子间的相互作用.打在阀门上的粒子被阀门吸收,不 会影响以后带电粒子的运动.只考虑 MM′ 之间的电场并把它视为匀强电场. (1)假定阀门从开启到关闭经历的时间 δ 比 T 小得多,可忽略不计.现在某时刻突然 开启阀门 a 又立即关闭;经过时间 T,再次开启阀门 a 又立即关闭;再经过时间 T,第 3 次 开启阀门 a 同时开启阀门 b,立即同时关闭 a、b.若以开启阀门 b 的时刻作为图 2 中 t = 0 的时刻,则屏上可能出现的粒子痕迹的 Y 坐标(只要写出结果,不必写出计算过程)为 ___________________________. (2)假定阀门从开启到关闭经历的时间 δ = T ,现在某时刻突然开启阀门 a,经过时 10

间 δ 立即关闭 a ; 从刚开启 a 的时刻起, 经过时间 T, 突然开启阀门 b, 经过时间 δ 关闭 b. 若 以刚开启阀门 b 的时刻作为图 2 中 t = 0 的时刻,则从 B 处射出的具有最大速率的粒子射 到屏上所产生的痕迹的 Y 坐标为 痕迹的 Y 坐标为_______________. .具有最小速率的粒子射到屏上所产生的

6. 如图,两块大金属板 A 和 B 沿竖直方向平行放置,相距为 d ,两 板间加有恒定电压 U ,一表面涂有金属膜的乒乓球垂吊在两板之间, 其质量为 m 。轻推乒乓球,使之向其中一金属板运动,乒乓球与该板 碰撞后返回,并与另一板碰撞,如此不断反复。假设乒乓球与两板的
3

碰撞为非弹性碰撞,其恢复系数为 e ,乒乓球与金属板接触的时间极短,并在这段时间内达 到静电平衡。达到静电平衡时,乒乓球所带的电荷量 q 与两极板间电势差的关系可表示为
q ? C0U ,其中 C0 为一常量。同时假设乒乓球半径远小于两金属板间距 d ,乒乓球上的电

荷不影响金属板上的电荷分布; 连接乒乓球的绳子足够长, 乒乓球的运动可近似为沿水平方 向的直线运动;乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略,空气阻力可忽略。试求: (1)乒乓球运动过程中可能获得的最大动能; (2)经过足够长时间后,通过外电路的平均电流。

7. 如图 1 所示,器件由相互紧密接触的金属层( M )、薄绝缘 层( I )和金属层( M )构成.按照经典物理的观点,在 I 层绝缘性 能理想的情况下,电子不可能从一个金属层穿过绝缘层到达另 一个金属层.但是,按照量子物理的原理,在一定的条件下, MIM 图1

这种渡越是可能的,习惯上将这一过程称为隧穿,它是电子具有波动性的结果.隧穿是单个 电子的过程,是分立的事件,通过绝缘层转移的电荷量只能是电子电荷量-e ( e = 1.60 × 10
-19

C )的整数倍,因此也称为单电子隧穿,MIM 器件亦称为隧穿结或单电子隧穿结.本题

涉及对单电子隧穿过程控制的库仑阻塞原理, 由于据此可望制成尺寸很小的单电子器件, 这 是目前研究得很多、有应用前景的领域. (1)显示库仑阻塞原理的最简单的做法是将图 1 的器件看成一个电容为 C 的电容器, 如图 2 所示. 电容器极板上的电荷来源于金属极板上导电电子云相对于正电荷背景的很小位 移,可以连续变化.如前所述,以隧穿方式通过绝缘层的只能 是分立的单电子电荷.如果隧穿过程会导致体系静电能量上升, 则此过程不能发生,这种现象称为库仑阻塞.试求出发生库仑 阻塞的条件即电容器极板间的电势差 VAB = VA-VB 在什么范围 内单电子隧穿过程被禁止. (2)假定 VAB = 0.10 mV 是刚能发生隧穿的电压.试估算电容 C 的大小. (3)将图 1 的器件与电压为 V 的恒压源相接时,通常采用图 2 所示的双结构器件来 观察单电子隧穿,避免杂散电容的影响.中间的金属块层称为单电子岛.作为电极的左、右 金属块层分别记为 S ,D .若已知岛中有净电荷量-ne ,其中净电子数 n 可为正、负整 数或零,e 为电子电荷量的大小,两个 MIM 结的电容分别为 CS 和 CD .试证明双结结 Q A
-Q

B

图2

4

构器件的静电能中与岛上净电荷量相关的静电能(简称单电子岛的静电能)为 Un = (-ne )2 . 2( CS +CD )

8. 为了减少线路的输电损耗, 电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式. 在传 输线路上建造一系列接地的铁塔,把若干绝缘子连成串(称为绝缘子串,见图甲) ,其上端 A 挂在铁塔的横臂上,高压输电线悬挂在其下端 B.绝缘子的结构如图乙所示:在半径为 R1 的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质,介质外是一内半径为 R2 的半球形导 体球壳.已知当导体球与导体球壳间的电压为 U 时,介质中离球心 O 的距离为 r 处的场强 为E= R 1R 2 U 2 ,场强方向沿径向. R2-R1 r

A

半球形导体球壳 绝缘层

导体球

B 图甲 图乙

(1)已知绝缘子导体球壳的内半径 R2 = 4.6 cm ,陶瓷介质的击穿强度 Ek = 135 kV / cm .当介质中任一点的场强 E >Ek 时,介质即被击穿,失去绝缘性能.为使绝缘子所能承 受的电压(即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压)为最大,导体球的半径 R1 应取什 么数值?此时,对应的交流电压的有效值是多少? (2)一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串(如图甲) ,每个绝缘子的两导体间 有电容 C0 .每个绝缘子的下部导体(即导体球)对于铁塔(即对地)有分布电容 C1(导体 球与铁塔相当于电容器的两个导体极板, 它们之间有一定的电容, 这种电容称为分布电容) ; 每个绝缘子的上部导体(即导体球壳)对高压输电线有分布电容 C2 .若高压输电线对地电 压的有效值为 U0 .试画出该系统等效电路图.
5

(3)若 C0 = 70 pF = 7 × 10 大电压(指有效值) .

-11

F ,C1 = 5 pF ,C2 = 1 pF ,试计算该系统所能承受的最

9. 一电荷量为 q 的点电荷产生的电场在距离它为 r 处的电场强度的大小为 E ? ke
q ,式中 r2

ke 为常量;一条长直导线中通有电流 i 时,它产生的磁场在与导线相距为 r(远小于长直导 线的长度)处的磁感应强度的大小为 B ? km 上述两常量比值的平方根
2i ,式中 km 也为常量。 r

ke 可用如图所示的实验装置,通过低频(约几百赫兹)的电 km

场和磁场来测定。图中 A、B 表示水平放置的、电容为 C1 的平行板电容器的极板,极板为 正方形, 边长为 a1 (极板间距远小于 a1) 。 极板 B 固定, 极板 A 悬挂在天平臂一端的挂钩上, M、N 为两根水平放置的平行长直金属细杆,长度均为 a2,两杆间的距离为 h(h<<a2) 。杆 N 固定,杆 M 悬挂于天平臂的另一挂钩上。C2 为一个已知电容器的电容,K 是电键。交流 电源的电压 u 与时间 t 的关系为 u=U0cos2πft,其中 f 表示交流电的频率。各部分通过导线如 图链接。已知在电键 K 打开时,天平已调节至平衡。 接通电源后,天平将失去平衡。通过调节交流电源的
A C1 a1 u K M J N C2 J a2 h

频率,可使天平重新达到平衡(注意:天平具有惯性, B 实际上是交流电的平均效果使天平平衡) , 试求
ke 的 km

表达式。 【图中的双线可视为刚性绝缘杆,单线视为导线,曲线表示柔软无质量的导线。不 考虑电场、磁场的边缘效应。不考虑导线磁场对 M 和 N 的影响。 】

10. 如图所示,坐标系 Oxyz 的 x 轴和 z 轴都位于纸面内,y 轴垂直纸面向里.两无限大金属 极板 P 和 Q 分别位于 x = -d 和 x = d 处. 磁感应强度大小为 B 的匀强磁场的方向平行于 Oxz 坐标平面,与 z 轴的夹角为 α .在坐标原点 O 处,有一电荷为 q(>0) 、质量为 m 的带 电粒子,以沿 y 轴正方向的初速度 v0 开始运动.不计重力作 用. (1)若两极板间未加电场,欲使该粒子在空间上恰好能 2d
6

z P α O x B Q

到达极板(但与板不接触) ,则初速度 v0 应为多大?所需最短时间 t0 是多少? (2)若在两极板间沿 x 轴正方向加上一场强为 E 的匀强电场,使该粒子能在第 1 问中 所求得的时间 t0 到达极板,则该粒子的初速度 v0 应为多大?若 α = 粒子的坐标. π ,求粒子到达极板时 4

11. 如图所示,y 轴右边存在磁感强度为 2B0 的匀强磁场,y 轴左边存在磁感强度为 B0 的匀 强磁场,它们的方向皆垂直于纸面向里.在原点 O 处,一个带正电的电荷量为 q、质量为 m 的粒子 a,在 t=0 时以大小为 2v0 的初速度沿 x 轴方向运动.在粒子 a 开始运动后,另一质 量和电荷量都与 a 相同的粒子 b 从原点 O 以大小为 v0 的初速度沿负 x 轴方向开始运动.要 想使 a 和 b 能在运动过程中相遇, 试分析和计算它们出发的时间差的最小值应为多大, 并求 出与此对应的相遇地点的坐标.设整个磁场区域都处于真空中,且不考虑重力及 a、b 两粒 子之间相互作用力.

12. 如图所示,K 为一带电粒子发生器,从中可以不断地射出各种不同速率的带电粒子,它 们都带正电,电量为 q,质量为 m,速度的方向都沿图中的虚线.D1、D2 为两块挡板,可定 时开启和关闭.C1、C2 为两扇“门”,C1 紧靠 Dl,两门之间的距离为 L,两个门上都加上交 变电压 u=U0sin(2πt/T),T 为交变电压的周期.已知只有当门上电压的值为零附近的无限短 的时问内, 粒子才能通过该门. C 为能量增减器, 它紧靠挡板 D2, 到门 C2 的距离为 L/2. 当 带电粒子在 t 时刻通过 G 时,粒子可获得一定的能量△E1=E0sin(2πt/T+π/4),但速度的方向
2 不变,式中 E0= 2m L .通过 G 的粒子从 O 点进入 G 右侧的匀强磁场区域,磁场的磁感应

4T 2

强度大小为 B, 方向垂直纸面向里(整个装置都放在真空中).在磁场区建立以 O 作为原点的 如图所示的直角坐标系 Oxy,MN 为磁场区域的边界,它平行于 x 轴.现在 t=0 的时刻,同
7

时打开 D1 与 D2,让粒子进入 C1,在 t=3T/4 时刻,关闭挡板 D1.使粒子无法进入 C1;在 t=10T/4 时刻,再关闭挡板 D2,使粒子无法进入 G.已知从 O 进入磁场中速度最大的粒子 经过坐标为(3 cm,3 cm)的 Q 点.问:假如要使从 O 进入磁场中速度最小的粒子能经过 Q 点,则应将磁场边界 MN 在 Oxy 平面内平移到什么位置.

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