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选修4-4 坐标系与参数方程

时间:2017-10-19


选修 4-4 坐标系与参数方程
1.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极 3 ? ?x=2+ 2 t, 坐标系,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程 1 ? ?y=2t 为 ρ=2cos θ. (1)求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最值. 解 1. (2)由(1)可知,曲线 C 是圆心为 C(1,0),半径 r=1 的圆. 且圆心 C(1,0)到直线 l 的距离 d= |1-0-2| 1 =2<r=1,故直线 l 与曲线 C 相 1+3 (1)化为直角坐标方程得,直线 l:x- 3y-2=0,曲线 C:(x-1)2+y2=

3 交.所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 d+r=2,最小值为 0. 2.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C ? π? 的极坐标方程为 ρcos?θ-3?=1,M,N 分别为曲线 C 与 x 轴,y 轴的交点. ? ? (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求点 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. ? π? (1)∵ρcos ?θ-3?=1, ? ? π π ∴ρcos θcos 3+ρsin θsin 3=1. 解 ?x=ρcos θ, 1 3 又? ∴ x+ y=1, 2 ?y=ρsin θ, 2 即曲线 C 的直角坐标方程为 x+ 3y-2=0. 2 3 令 y=0,则 x=2,令 x=0,则 y= 3 , ? ?2 3 π? 2 3? ?,∴M 的极坐标为(2,0),N 的极坐标为? ∴M(2,0),N?0, ,2?. 3 ? ? ? 3 ? π ? 3? (2)MN 连线的中点 P 的直角坐标为?1, ?,直线 OP 的极角为 θ=6,∴直线 3? ?

π OP 的极坐标方程为 θ=6(ρ∈R). ?x=cos θ, 3.已知 P 为半圆 C:? (θ 为参数,0≤θ≤π )上的点,点 A 的坐标为(1, ?y=sin θ π ︵ 0),O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧AP的长度均为3. (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. π π (1)由已知,点 M 的极角为3,且点 M 的极径等于3,故点 M 的极坐标为 ?π π? ?3,3?. ? ? ?π 3π? ?,A(1,0). (2)点 M 的直角坐标为? , 6 ? ?6 解 ?π ? ? ?6-1?t, x = 1 + ? ? ? 故直线 AM 的参数方程为? (t 为参数). 3π ? ?y= 6 t ?x=tcos α, 4.(2015· 全国Ⅱ卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:? (t 为参数,t≠0), ?y=tsin α 其中 0≤α<π,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ =2sin θ,曲线 C3:ρ=2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 解 (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 3 ? x = ? ?x +y -2y=0, ?x=0, 2, 3x=0.联立? 2 2 解得? 或? 3 ?y=0 ?x +y -2 3x=0, ? ?y=2.
2 2

x2+y2-2

? 3 3? 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和? , ?. ? 2 2? (2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α<π.因此 A 的极坐标 为(2sin α,α), B 的极坐标为(2 3cos α,α).

π?? ? ? 所以|AB|=|2sin α-2 3cos α|=4?sin?α-3??. ? ? ?? 5π 当 α= 6 时,|AB|取得最大值,最大值为 4. 3 ? ?x=5+ 2 t, 5.(2015· 湖南卷)已知直线 l:? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴 1 ? ?y= 3+2t 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, 3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|· |MB| 的值. 解 (1)ρ=2cos θ 等价于 ρ2=2ρcos θ.①

将 ρ2=x2+y2, ρcos θ=x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.② 3 ? ?x=5+ 2 t, (2)将? (t 为参数)代入②式,得 t2+5 1 ? ?y= 3+2t

3t+18=0.

设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即知, |MA|· |MB|=|t1t2|=18.


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