nbhkdz.com冰点文库

数学必修2第三章知识点小结及典型习题


第三章

直线与方程

1、直线倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向 之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°.

3、直线的斜率:⑴一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字 母 k 表示,也就是 k = tanα 。 ①当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ②当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在.
? ? ? ? 当 ? ? ?0 ,90 ?时, k ? 0 ,k 随着α 的增大而增大; 当 ? ? ?90 ,180 ?时, k ? 0 ,k 随着

? α 的增大而增大; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.
1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y 2 ) 的直线的斜率公式: k ? ⑵过两点 P

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意下面四点: (1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°;
1、P 2 的顺序无关; (2)k 与 P (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率,再求倾斜角。 ※三点共线的条件:如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等,那么这三点共线; 反之,三点共线,任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。 4、直线方程(注意各种直线方程之间的转化)

①直线的点斜式方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,k 为直线的斜率,且过点 ?x0 , y 0 ? ,适用条 件是不垂直 x 轴。 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y ? y0 。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x0,所以它的方程是 x=x0。 ②斜截式: y ? kx ? b , k 为直线的斜率,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

④截矩式:

x y ? ? 1 ,其中直线 l 与 x 轴交于点 (a , 0) ,与 y 轴交于点 (0, b ) ,即 l 与 x a b 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式:

Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0)
不怕慢, 就怕站, 站一站, 十年赶不上。 ---------------11-----------------By Yang.

注意:①在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式。

②各式的适用范围 ③ 特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ;平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; 5、直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (1)平行直线系 平 行 于 已 知 直 线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 : , 所以平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 的直线方程可设: A0 x ? B0 y ? C ? 0(C 为常数) A0 x ? B0 y ? C ? 0, C ? C0 垂直于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线方程可设: B0 x ? A0 y ? C ? 0 (C 为常数) (2)过定点的直线系 ①斜率为 k 的直线系: y ? ②过两条直线 l1 :

y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) 6、两直线平行与垂直 (1)当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (2)当 l1 :

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 时,

l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0且B1C2 ? B2 C1 ? 0 ; l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0
例:设直线 l1 经过点 A(m,1)、B(—3,4),直线 l 2 经过点 C(1,m)、D(—1,m+1), 当(1) l1 / / l 2 (2) l1 ⊥ l 2 时,分别求出 m 的值 7、两条直线的交点

当 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交时,
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标是方程组 ? 的一组解。 ? A x ? B y ? C ? 0 2 2 ? 2
方程组无解 ? l1 // l 2 ;方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合。 8. 中点坐标公式: 已知两点 P1 (x1, y1)、 P2(x2, y2), 则线段的中点 M 坐标为( 例:已知点 A(7,—4)、B(—5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。

x 1 ? x 2 y1 ? y 2 , ) 2 2

B x2 , y2) 9、两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,则
不怕慢, 就怕站, 站一站, 十年赶不上。 ---------------12-----------------By Yang.

| AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
10、 点到直线距离公式: 一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为 d ? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 11、两平行直线距离公式(1)两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解,即:先在 任一直线上任取一点,再利用点到直线的距离进行求解。 (2)两平行线间的距离公式:已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B2

[实战演练 A 组] 一、选择题 1.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ?cos ? ?0 ,则
a , b 满足(

) D. a ? b ? 0 )

A. a ? b ? 1

B. a ? b ? 1

C. a ? b ? 0

2.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 ( ) 0 A. B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0

3 .已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 B. ? 8 C. 2 D. 10 )

4.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 5.直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A. 450 ,1 B. 1350 , ?1 )

C. 90 0 ,不存在

D. 1800 ,不存在

6 .若方程 (2m 2 ? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足 ( ) B. m ? ?
3 2
3 ,m ? 0 2

A. m ? 0 C. m ? 1 二、填空题

D. m ? 1 , m ? ?

不怕慢, 就怕站, 站一站, 十年赶不上。 ---------------13-----------------By Yang.

1.点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________. 2. 已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称, 则 l 2 的方程为__________;若 l 3 与 l1 关于 x 轴对称,则 l 3 的方程为_________;若 l 4 与 l1 关于 y ? x 对称,则 l 4 的方 程为___________; 3.若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ,则 l 的方程为____________________。 4.点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x 2 ? y 2 的最小值是________________. 5.直线 l 过原点且平分 ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为
B(1, 4), D(5, 0) ,则直线 l 的方程为________________。

[实战演练 B 组] 一、选择题 1.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5 ) )

1 2.若 A(?2,3), B (3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为( 2 1 1 A. B. ? C. ?2 D. 2 2 2 x y 3.直线 2 ? 2 ? 1 在 y 轴上的截距是( ) a b

A. b

B. ?b 2 C. b 2

D. ? b )

4.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. (0, 0) B. (0,1) C. (3,1) D. (2,1)

5.直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.斜交



D.与 a, b,? 的值有关 )

6.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为( A. 4 B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

不怕慢, 就怕站, 站一站, 十年赶不上。 ---------------14-----------------By Yang.

7.已知点 A(2, 3), B (? 3,? 2),若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜 率 k 的取值范围是( A. k ?
3 4



B.

3 ?k?2 4

C. k ? 2或k ?

3 4

D. k ? 2

二、填空题 1.方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_________。 2.与直线 7 x ? 24y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是____________。 3.已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15上,则 a 2 ? b 2 的最小值为 4. 将一张坐标纸折叠一次, 使点 (0, 2) 与点 (4, 0) 重合, 且点 (7, 3) 与点 (m, n) 重合, 则 m ? n 的值是___________________。 5.设 a ? b ? k (k ? 0, k为常数) ,则直线 ax ? by ? 1 恒过定点 第三章 一、选择题 1.D
tan ? ? ?1, k ? ?1, ? a ? ?1, a ? b, a ? b ? 0 b



直线和方程

[实战演练 A 组]

2.A 设 2 x ? y ? c ? 0, 又过点 P(?1,3) ,则 ?2 ? 3 ? c ? 0, c ? ?1 ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 3.B 5.C 6.C
k? 4?m ? ?2, m ? ?8 m?2

4.C

y??

a c a c x ? , k ? ? ? 0, ? 0 b b b b

x ? 1 垂直于 x 轴,倾斜角为 90 0 ,而斜率不存在

2m2 ? m ? 3, m2 ? m 不能同时为 0
1 ? (?1) ? 1 2

二、填空题 1.
3 2 2

d?

?

3 2 2

2. l2 : y ? ?2x ? 3, l3 : y ? ?2x ? 3, l4 : x ? 2 y ? 3, 3. 2 x ? y ? 5 ? 0 4. 8
k' ? ?1 ? 0 1 ? ? , k ? 2, y ? (?1) ? 2( x ? 2) 2?0 2

x2 ? y 2 可 看 成 原 点 到 直 线 上 的 点 的 距 离 的 平 方 , 垂 直 时 最 短 :
?4 2 ?2 2

d?

5. y ?

2 x 3

平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点 (3, 2)

[实战演练 B 组] 一、选择题
3 3 1.B 线段 AB 的中点为 (2, ), 垂直平分线的 k ? 2 ,y ? ? 2( x ? 2), 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 2 ?2 ? 3 m ? 2 1 2.A k AB ? kBC , ? ,m ? 1 3? 2 2 ?3 2

3.B 令 x ? 0, 则 y ? ?b2

?x ? 3 ? 0 4.C 由 kx ? y ? 1 ? 3k 得 k ( x ? 3) ? y ? 1 对于任何 k ? R 都成立,则 ? ? y ?1 ? 0
5.B
cos ? ? sin ? ? sin ? ? (? cos ? ) ? 0

6.D 把 3x ? y ? 3 ? 0 变化为 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则 d ?
3 k PA ? 2, k PB ? , kl ? k PA ,或kl ? k PB 4 二、填空题

1 ? (?6) 6 ?2
2 2

?

7 10 20

7.C

1. 2

方程 x ? y ? 1 所表示的图形是一个正方形,其边长为 2

2. 7 x ? 24 y ? 70 ? 0 ,或 7 x ? 24 y ? 80 ? 0 设直线为 7 x ? 24 y ? c ? 0, d ? 3. 3 4.
44 5

c?5 242 ? 72

? 3, c ? 70, 或 ? 80
15 5

a 2 ? b 2 的最小值为原点到直线 3x ? 4 y ? 15的距离: d ?

点 (0, 2) 与点 (4, 0) 关于 y ? 1 ? 2( x ? 2) 对称,则点 (7, 3) 与点 (m, n)

23 m?7 ? ?n ? 3 m? ? 1 ? 2( ? 2) ? ? ? 2 ? 5 2 也关于 y ? 1 ? 2( x ? 2) 对称,则 ? ,得 ? ? n?3 ? ? 1 ? n ? 21 ?m ? 7 ? 2 5 ? ?
1 1 5. ( , ) k k

ax ? by ? 1 变化为 ax ? (k ? a) y ? 1, a( x ? y) ? ky ? 1 ? 0,

?x ? y ? 0 对于任何 a ? R 都成立,则 ? ?ky ? 1 ? 0


数学必修2第三章知识点小结及典型习题

数学必修2第三章知识点小结及典型习题_数学_高中教育_教育专区。数学必修2第三章知识点小结及典型习题花了大量时间整理,希望对你有所帮助!今日...

数学必修2第三章知识点小结及典型习题

数学必修2第三章知识点小结及典型习题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数学必修2第三章知识点小结及典型习题_数学_高中教育_教育...

数学必修2第二章知识点小结及典型习题

数学必修2第章知识点小结及典型习题_数学_高中教育_教育专区。数学必修2第章知识点小结及典型习题花了大量时间整理,希望对你有所帮助!第...

数学必修2第四章知识点小结及典型习题

数学必修2第章知识点小结及典型习题_数学_高中教育_教育专区。数学必修2第章知识点小结及典型习题花了大量时间整理,希望对你有所帮助!第...

数学必修2第一章知识点小结及典型习题

数学必修2第章知识点小结及典型习题_数学_高中教育_教育专区。数学必修2第章知识点小结及典型习题花了大量时间整理,希望对你有所帮助!数学...

高中数学必修2第三章知识点及练习题

高中数学必修2第三章知识点及练习题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学必修2第三章知识点及练习题_数学_高中教育_教育专区。...

高中数学必修2__第三章《直线与方程》知识点总结与练习

高中数学必修2__第三章《直线与方程》知识点总结练习_数学_高中教育_教育专区。第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 [知识能否忆起]...

必修3第三章知识点总结及典型例题解析

必修3第三章知识点总结及典型例题解析_数学_高中教育_教育专区。新课标必修 3 ...,则事件 A 的情解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 C 6 ? ...

必修2 第三章 直线与方程 知识点及经典例题

必修2 第三章 直线与方程 知识点及经典例题_高一数学_数学_高中教育_教育专区...高中数学必修2知识点总结... 2页 1下载券喜欢此文档的还喜欢 ...

高中数学必修二知识点、考点及典型例题

高中数学必修二知识点、考点及典型例题_高二数学_数学...E D F B C 第三章知识点: 直线与方程 y 2 ...教学总结精品范文 小学五年级英语教学工作总结 大学教师...