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立体几何中几类典型问题的向量解法1

时间:2017-07-20


刘江华(题型归纳总结)

立体几何中几类典型问题的向量解法
空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几 何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的,因此应加强 运用向量方法解决几何问题的意识, 提高使用向量的熟练程度和自觉性, 注意培养向量的代 数运算推理能力,掌握向量的基本知识和技能,充分

利用向量知识解决图形中的角和距离、 平行与垂直问题。 一、利用向量知识求点到点,点到线,点到面,线到线,线到面,面到面的距离 (1)求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得,方法是: 求出平面的一个法向量的坐标,再求出已知点 P 与平面内任一点 M 构成的向量 MP 的坐

????

? ???? n ? MP ???? ? ???? 标,那么 P 到平面的距离 d ? MP ? cos ? n, MP ? ? ? n
(2)求两点 P, Q 之间距离,可转化求向量 PQ 的模。 (3) 求点 P 到直线 AB 的距离, 可在 AB 上取一点 Q , 令A Q ?? Q BP Q , A B ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

或 PQ 的

??? ?

最小值求得参数 ? ,以确定 Q 的位置,则 PQ 为点 P 到直线 AB 的距离。还可以在 AB 上 任取一点 Q 先求 cos ? PQ, AB ? ,再转化为 sin ? PQ, AB ? ,则 PQ sin ? PQ, AB ? 为 点 P 到直线 AB 的距离。 (4)求两条异面直线 l1 , l2 之间距离,可设与公垂线段 AB 平行的向量 n , C , D 分别是 l1 , l2 上

??? ?

??? ?

?

??? ? ? CD ? n 的任意两点,则 l1 , l2 之间距离 AB ? ? n
例 1:设 A(2,3,1), B(4,1, 2), C (6,3,7), D(?5, ?4,8) ,求点 D 到平面 ABC 的距离

例 2:如图,正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直。 点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM ? BN ? a (0 ? a ? (Ⅰ)求 MN 的长; (Ⅱ)当 a 为何值时, MN 的长最小; z (Ⅲ)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 ? 的大小

2) 。

C

D M B y E N A(O)
第1页

F

x

刘江华(题型归纳总结)

例 3:正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,求异面直线 AC 1 1 与 AB1 间的距离 z D 1 M

C1 B1 z
N z C B y

A1
z D A x

z

例 4:如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 4, BC ? 3, CC1 ? 2, 求平面 A 1 BC1 与平 面 ACD1 的距离。

D1

z

C1 B1
y

A1
D

C

x

A

B

点评: 若 n 是平面 ? 的法向量, AB 是平面 ? 的一条斜线段, 且 B ?? , 则点 A 到平面 ? 的

?

??? ? ? AB ? n 距离 d ? ? ,平行平面之间的距离转化为点到平面的距离,变为斜线在法向量上的射 n
影。 二、利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小。

C , D 是直线 l2 上的任意两点, (1) 设 l1 , l2 是两条异面直线,A, B 是 l1 上的任意两点, 则 l1 , l2

??? ? ??? ? AB ? CD 所成的角为 arccos ??? ? ??? ? AB ? CD
(2) 设 AB 是平面 ? 的斜线, 且 B ? ? , BC 是斜线 AB 在平面 ? 内的射影, 则斜线 AB 与

??? ? ??? ? AB ? BC ? 平面 ? 所成的角为 arccos ??? ? ??? ? 。设 n 是平面 ? 的法向量, AB 是平面 ? 的一条斜线, AB ? BC ??? ? ? ??? ? ? AB ? n AB ? n ? 则 AB 与平面 ? 所成的角为 ? arccos ??? ? ? ,或者arcsin ??? ? ? 。 2 AB ? n AB ? n

第2页

刘江华(题型归纳总结)

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 (3)设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的面 ? , ? 的法向量,则 ? n1 , n2 ?? arc cos ?? ?? ? 就是 n1 ? n2
二面角的平面角或补角的大小。 例 5:在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A B C D 中, EF 分别是 BC , A' D' 的中点,
' ' ' '

(1)求直线 AC与DE 所成角; (2)求直线 AD 与平面 B EDF 所成的角, (3)求平面 B EDF 与平面 ABCD 所成的角
' '

'

z

A' B'

F

D'

C'

A B E

G D C

y

x

例 6:如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD,AD=PD,E, F 分别 CD、PB 的中点. (Ⅰ)求证:EF ? 平面 PAB; z (Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小. P x C F E A y

D

B 例 7:如图, PA ? 平面ABC ,

AC ? BC, PA ? AC ? 1, BC ? 2 ,求二面角 A ? PB ? C 的大小。

P z E x A D C

B y

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刘江华(题型归纳总结)

点评:如果 AB, CD 分别是二面角 ? ? l ? ? 两个面内的两条直线,且 A ? l , C ? l ,

??? ? ??? ? AB ? l , CD ? l ,则二面角的大小为 ? AB, CD ?
例 8:如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中,∠ABC = 90° ,SA⊥面 ABCD,SA = 1 AB = BC = 1, AD ? .求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. 2 z S B A y C x

D

点评: 用向量知识求二面角的大小时, 是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题, ( 1 )当法向量 n1与n2 的方向分别指向二面角内侧与外侧时,二面角的大小等于法向量

?? ?? ?

?? ?? ? n1与n2 的夹角的大小。 ?? ?? ? (2)当法向量 n1与n2 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角的大小等于法向量 ?? ?? ? ? ?? ? n1与n2 的夹角的补角 ? ? ? n1, n2 ? 。

三、利用向量知识解决平行与垂直问题。 例 9:如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4, AB ? 5 ,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:A1C //平面 CDB1;

点评:平行问题的转化: 面面平行 转化 线面平行

转化

线线平行;

例 10.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1, AB=2,点 E 在棱 AD 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为 . 四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。 例 11 . 如 图 , 在 直 三 棱 柱

D1 A1 D A E B B1

C1

? . 4

C

ABC ? A1B1C1 中 ,

C1
D

A C ? 3 , B ?C 4 , A ? B 1 5 , ?A A 4

A1
D C

B1
D

第4页

A

D

B

刘江华(题型归纳总结)

(1)求证 AC ? BC1; (2)在 AB 上是否存在点 D 使得 AC1 ? CD ? (3)在 AB 上是否存在点 D 使得 AC 1 // 平面CDB 1

五、专题突破: 1 、 如 图 : 已 知 二 面 角 ? ? l ? ? 的 大 小 为 120 , 点 A ?? , B ? ? , AC ? l 于 点 C ,
?

BD ? l于D ,且 AC ? CD ? DB ? 1 ,求 (1)直线 AB与CD 所成角的大小, (2)直线 AB与CD 的距离。
A C 2、如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、 F 分别是 AB、PB 的中点. (Ⅰ)求证:EF⊥CD; (Ⅱ)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论; (Ⅲ)求 DB 与平面 DEF 所成角的大小.

D

l
B

3、如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90° ,CB=1,CA= 3 , AA1= 6 ,M 为侧棱 CC1 上一点, AM ? BA1 . (1)求证: AM?平面 A1BC ; (2)求二面角 B-AM-C 的大小; (3)求点 C 到平面 ABM 的距离.
C A B A
1

C
1

B
1

M

4、如图, ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正四棱柱,侧棱长为 3,底面边长为 2,E 是 棱 BC 的中点。 (Ⅰ)求证: BD1 //平面 C1DE ;
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刘江华(题型归纳总结)

(Ⅱ)求二面角 C1 ? DE ? C 的大小 (Ⅲ)在侧棱 BB1 上是否存在点 P ,使得 CP ? 平面 C1DE ?证明你的结论。 5、如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2. (I)证明:AB1⊥BC1; (II)求点 B 到平面 AB1C1 的距离. (III)求二面角 C1—AB1—A1 的大小

6、( 2006 年湖南卷)如图 4,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4.(Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离. P D A B C

Q

图4

7、 (2006 年全国卷 II)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC,D、E 分别为 BB1、 AC1 的中点. (Ⅰ)证明:ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; (Ⅱ)设 AA1=AC= 2AB,求二面角 A1-AD-C1 的大小. C1 A1 D E C 题型一、平行与垂直的证明 A
F D E

B1

B
P

例 1.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD
第6页

C

A

B

刘江华(题型归纳总结)

⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD

例 2.四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD,已知

?ABC ? 45? , AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
(Ⅰ)证明: SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小. E D C A

S

O

B

变式: 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC=

1 AB=1,M 是 PB 的中点. 2

P M N E B

(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小.
D A C

题型二、空间角与距离 例 3 .如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形,

O

M
第7页

A B C

D

刘江华(题型归纳总结)

?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点。

(Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

例 4. 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别 BD、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2 (Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 E 到平面的距离.

变式: 如图,正三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA 、OB 、OC 两两垂直,且长度均为 2. E 、 F 分 别是 AB 、 AC 的中点, H 是 EF 的中点,过 EF 的平面与侧棱 OA 、 OB 、 OC 或其延长 线分别相交于 A 1 ? 1、 B 1 、 C1 ,已知 OA (1)求证: B1C1 ⊥面 OAH ; (2)求二面角 O ? A 1B 1 ? C1 的大小.
A1 A E B H F C C1

3 . 2

O

B1

题型三、探索性问题 例 5.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB、

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刘江华(题型归纳总结)

PC 的中点. (1)求证: EF // 平面 PAD; (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时, 直线

EF ? 平面 PCD?

变式: 如图,在三棱锥 A-BCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边, 且 AD= 3 ,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形 (1)求证:AD?BC (2)求二面角 B-AC-D 的大小 (3)在直线 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与面 BCD 成 30?角?若存 在,确定 E 的位置;若不存在,说明理由.

A

B

D

C

题型四、折叠、展开问题 例 6.已知正方形 ABCD

E 、F 分

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刘江华(题型归纳总结)

别是 AB 、 CD 的中点,将 ? ADE 沿 DE 折起,如图所示,记二面角 A ? DE ? C 的大小为

? (0 ? ? ? ? )
(1) 证明 BF // 平面 ADE ; (2)若 ? ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证明 你的结论,并求角 ? 的余弦值。

变式: 如图,在直角梯形 P1DCB 中,P1D∥CB,CD⊥P1D,P1D=6,BC=3,DC= 6 ,A 是 P1D 的中点,E 是线段 AB 的中点,沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置,使二面角 P- CD-B 成 45° 角. (Ⅰ)求证:PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求平面 PEC 和平面 PAD 所成的锐二面角的大小. P

A E 题型五、多面体的组合问题 B C

D

例 7. P ? ABCD 是正四棱锥, ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体,其中 AB ? 2, PA ? 6 . (Ⅰ)求证: PA ? B1D1 ; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角 ? 的大小; (Ⅲ)求 B1 到平面 PAD 的距离. D A B P

变式: 如图 4, 已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2, AB=4. (Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; A
1

C

D
1

C B
1 1

第 10 页

1 1 4 4

刘江华(题型归纳总结)

(Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离.
P

D

C

A

B

Q 图4

题型六、表面积与体积问题 例 8.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是 等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. M D A 变式: 正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积. C P

B

参考答案: 例 1:解:设平面 ABC 的法向量 n ? ( x, y, z),?n ? AB ? 0, n ? AC ? 0 ,所以

?

? ??? ?

? ??? ?

第 11 页

刘江华(题型归纳总结)

3 ? ?( x, y, z ) ? (2, ?2,1) ? 0 ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ? x ? ? z ?? ,? 2 ? ?4 x ? 6 z ? 0 ?( x, y, z ) ? (4, 0, 6) ? 0 ? ? y ? ?z

? ???? ? z ? ?2, 则n ? (3, 2, ?2) ,?cos ? n, AD ??
????

3 ? (?7) ? 2 ? (?7) ? 2 ? 7 32 ? 22 ? (?2)2 ? (?7)2 ? (?7)2 ? 72
? ?????? 49 49 17 ? 17 17

所以设 D 到平面 ABC 的距离为 d , d ? AD ? cos ? n, AD ? ? 例 2: 解:建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz.

???? ? a ???? 2 ?a F (1,0,0), B(0,1,0), C (0,1,1), AM ? (1 ? ) AC ? (0,1,1), 2 2
???? a ??? ? ???? ? a ??? ? 1 a ??? BN ? BF , AN ? (1 ? ) AB ? AF ? (a, 2 ? a, 0) 2 2 2 2 ???? ? ???? ???? ? 1 ???? ? 2 2 1 MN ? AN ? AM ? (a, 0, a ? 2) ? MN ? (a ? ) ? (0 ? a 2) 2 2 2
(2)由 MN ? (a ?

???? ?

? 2 ???? 2 2 2 1 , MN ? ) ? 得a ? min 2 2 2 2

(3)? a ?

???? 1 ???? 1 ? 1 2 ???? , MN ? (1, 0 ? 1), 又 MA ? (0, ?1, ?1), MB ? (0,1, ?1) 所以可求得平面 2 2 2 2 ?? ?? ? MNA 与 平 面 M N B 的 法 向 量 分 别 为 n1 ? (?1,1, ?1), n2 ? (1,1,1) , 所 以 1 ?1 1 ? ? ,所以 ? ? ? ? arccos 3 3 3? 3

?? ??? ? cos ? n1 ,n2 ??

例 3:解:如图建立坐标系,则 A(1,0,0), A 1 (1,0,1), B 1 (1,1,1), C1 (0,1,1) z D ???? ???? ? 1 MN ,设 是直线 与 的公垂线,且 AC AB ? AB1 ? (0,1,1), AC ? ( ? 1,1,0) 1 1 1 1 1 z A1 ???? ???? ????? ???? ? AN ? ? AB1 ? (0, ?, ?), A1M ? uAC 1 1 ? (?u, u,0) M

C1 B1 z
N z C B y

???? ? ???? ? ???? ???? D 则 MN ? MA 1 ? AA 1 ? AN ? ?(?u, u,0) ? (0,0,1) ? (0, ?, ?) ? (u, ? ? u, ? ?1)
A x

z

第 12 页

刘江华(题型归纳总结)

2 ? ???? ? ????? ??? ? ? ? ???? ? ?? ? 2u ? 0 1 1 1 3 ? MN ? A1C1 ? 0 ? 3 ???? ,? ? ?? , MN ? (? , , ) ? MN ? ? ???? ? ???? 3 3 3 3 ?2? ? u ? ?1 ?u ? ? 1 ? ? MN ? AB1 ? 0 ? 3 ?
例 4: 解:? BC1 // AD1 , AD1 ? 平面ACD1 ,? BC1 // 平面ACD1 ,同理 A 1 B // 平面ACD 1, 又

A1B ? BC1 ? B,?平面A1BC1//平面ACD1 ,建立直角坐标系 D ? xyz , ? AB ? 4, BC ? 3, CC1 ? 2 , A1 (3,0, 2), B(3, 4,0), C1 (0, 4, 2)

???? ???? ? ? ? A1B ? (0,4, ?2), BC1 ? (?3,0,2) ,设 n ? ( x, y, z) 为平面 A1BC1 的法D
向量,则 n ? A 1B ? n ? A 1B ? 0, ? 4 y ? 2z ? 0,

z

1

C1 B1
y

?

????

? ????

? ???? ? ? ???? ? 由 n ? BC1 ? n ? BC1 ? 0 ? ?3x ? 2z ? 0 ,
不妨设 z ? 1,? y ?

A1
D

C

1 2 ? 2 1 , x ? ,? n ? ( , ,1) 2 3 3 2

二、利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小。 例 5:
'

x

A

B

解: (1)如图建立坐标系,则 A (0, 0, a ), C ( a, a, 0), D(0, a, 0), E ( a,

???? ???? a ? A'C ? (a, a, ?a), DE ? (a, ? , 0) , 2 ???? ???? ' ???? ???? AC ? DE 15 ' ? cos ? AC , DE ?? ???? ???? ? ' 15 AC ? DE
故 AC与DE 所成的角为 arccos
'

a , 0) 2

15 15

' ( 2 ) ? ?ADE ? ?ADF , 所以 AD 在平面 B EDF 内的射影在 ? EDF 的平分线上,又

B' EDF 为 菱 形 , ? DB' 为 ? EDF 的 平 分 线 , 故 直 线 AD 与 平 面 B' EDF 所 成 的 角 为 ?ADB' , 建 立 如 图 所 示 坐 标 系 , 则 A(0,0,0), B' (a,0, a), D(0, a,0) , ? ??? ? ???? ???? ? ? ??? ? ??? ? ???? DA ? DB' 3 ' ' ? DA ? (0, ?a,0), DB ? (a, ?a, a) ,? cos ? DA, DB ?? ??? ? ? ? ???? ' 3 DA ? DB
故 AD 与平面 B EDF 所成角为 arccos
'

3 3
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刘江华(题型归纳总结)

由 A(0, 0, 0), A (0, 0, a), B ( a, 0, a), D(0, a, 0), E ( a,

a , 0) 所 以 平 面 ABCD 的 法 向 量 为 2 ? ?? ???? F 法 向 量 , 设 n ? (1, y, z) , 由 m ? AA' ? (0,0, a) 下 面 求 平 面 B' E D 的 ? ??? ? ???? ? ??? ? ? a a ?n ? ED ? 0 ? y ? 2 ' ED ? (?a , , EB 0 )?, ? a ( 0 , ? ? , ???? ) ,? ,? n ? (1, 2,1) ?? ' 2 2 z ?1 ? ?n ? EB ? 0 ? ?? ? ? ?? m?n 6 6 ' ,所以平面 B EDF 与平面 ABCD 所成的角 arccos ? cos ? n, m ?? ?? ? ? 6 6 m?n
' '

点评: (1)设 l1 , l2 是两条异面直线, A, B 是 l1 上的任意两点,C , D 是直线 l2 上的任意两点,

??? ? ??? ? AB ? CD 则 l1 , l2 所成的角为 arccos ??? ? ??? ? AB ? CD
(2) 设 AB 是平面 ? 的斜线, 且 B ? ? , BC 是斜线 AB 在平面 ? 内的射影, 则斜线 AB 与

??? ? ??? ? AB ? BC 平面 ? 所成的角为 arccos ??? ? ??? ?。 AB ? BC
?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 (3)设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的面 ? , ? 的法向量,则 ? n1 , n2 ?? arc cos ?? ?? ? 就是 n1 ? n2
二面角的平面角或补角的大小。 例 6: (Ⅰ)证明:建立空间直角坐标系(如图) ,设 AD=PD=1,AB= 2 a ( a ? 0 ) ,则 E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), F ( a,

??? ? ??? ? 1 1 1 1 , ) .得 EF ? (0, , ) , PB ? (2a,1, ?1) , 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 AB ? (2a,0,0) . 由 EF ? AB ? (0, , ) ? (2a, 0, 0) ? 0 ,得 EF ? AB ,即 EF ? AB , 2 2 同理 EF ? PB ,又 AB ? PB ? B , 所以,EF ? 平面 PAB.

(Ⅱ)解:由 AB ?

2BC ,得 2a ? 2 ,即 a ?

2 . 2

得 E(

2 1 1 2 , , ) , C( 2,0,0) . , 0, 0) , F ( 2 2 2 2

z P x C F E A y

??? ? ??? ? ??? ? 1 1 2 , ?1, 0) , EF ? (0, , ) . 有 AC ? ( 2, ?1,0) , AE ? ( 2 2 2
设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,

D

B

第 14 页

刘江华(题型归纳总结)

1 1 1 ? ?1 ??? ? ( x, y,1) ? (0, , ) ? 0 y? ?0 ? ? ?n ? EF ? 0 2 2 2 ? ? ?2 由 ? ??? , ?? ?? ? ? ?( x, y,1) ? ( 2 , ?1, 0) ? 0 ? 2 x ? y ? 0 ?n ? AE ? 0 ? ? ? 2 ? 2
解得 ?

? ? y ? ?1 . 于是 n ? (? 2, ?1,1) . ? ?x ? ? 2

设 AC 与面 AEF 所成的角为 ? , AC 与 n 的夹角为 ? AC, n ? .

??? ?

??? ?

??? ? ( 2, ?1,0) ? (? 2, ?1,1) AC ? n ??? ? 3 则 sin ? ? cos ? AC, n ? ? ??? . ? ? ? 6 2 ?1? 0 2 ?1?1 AC ? n
得 ? ? arcsin

3 . 6 3 . 6

所以,AC 与平面 AEF 所成角的大小为 arcsin

点评:设 n 是平面 ? 的法向量, AB 是平面 ? 的一条斜线,则 AB 与平面 ? 所成的角为

?

?

??? ? ? AB ? n ? arccos ??? ? ? ,或者arcsin 2 AB ? n

??? ? ? AB ? n ??? ? ? 。 AB ? n

例 7:解: 建立如图所示空间直角坐标系 C ? xyz , 取 PB 的中点 D , 连 DC , 可证 DC ? PB , 作 AE ? PB 于 E ,则向量 DC与EA 的夹角的大小为二面角 A ? PB ? C 的大小。

???? ??? ?

? A(1,0,0), B(0, 2,0), C(0,0,0), P(1,0,1) , D 为 PB 的中点,
PE AP 1 1 2 1 ? ? , ?( , , ) ,在 Rt ? PAB 中, 2 EB AB 3 2 2 2
x
2

P z E D A C

??? ? ? 1 1 3 2 3 ??? 2 3 ? E分 PB的比为 ,? E ( , , ) ? EA ? ( , ? ,? ) 3 4 4 4 4 4 4

???? ??? ? ???? 1 ??? ? 1 2 1 3 DC ? (? , ? , ? ) , EA ? DC ? , EA ? , 2 2 2 2 2

B y

???? ??? ? ???? DC ? 1, cos ? EA, DC ??
例 8:

1 2 ? 3 ,? 二面角 A ? PC ? C 的大小为 arc cos 3 3 3 3 ?1 2

第 15 页

刘江华(题型归纳总结)

解:如图建立直角坐标系,则 B(0,1, 0), D( , 0, 0), C (1,1, 0), S (0, 0,1)

???? 1 ??? ? ??? ? 1 AD ? ( , 0, 0), SC ? (1,1, ?1), SD ? ( , 0, ?1) ,? SA ? 平面ABCD,? AD ? 平面SAB 2 2 ???? ? z 所以 AD 是平面 SAB 的一个法向量。设平面 SCD 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ? ??? ? ? ??? ? ?x ? y ? z ? 0 ? ? ?x ? 2z ? ?n ? SC ?n ? SC ? 0 S ?? 由 ? ? ??? ,? ? 1 ? , ? ? ? ??? ? y ? ? z x ? z ? 0 ? ?n ? SD ?n ? SD ? 0 ? ? ? ?2 ???? ? ???? ? ???? ? ? AD ? n 6 2 令 z ? 1, n ? (2, ?1,1) ,? cos ? AD, n ?? ???? ? ? , ? tan ? AD, n ?? 3 2 AD ? n
A

1 2

y B C x

D

2 平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的正切值为 2
点评: 用向量知识求二面角的大小时, 是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题, ( 1 )当法向量 n1与n2 的方向分别指向二面角内侧与外侧时,二面角的大小等于法向量

?? ?? ?

?? ?? ? n1与n2 的夹角的大小。 ?? ?? ? (2)当法向量 n1与n2 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角的大小等于法向量 ?? ?? ? ? ?? ? n1与n2 的夹角的补角 ? ? ? n1, n2 ? 。

三、利用向量知识解决平行与垂直问题。 例 9:解:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C 两两垂直,如图,以 C 为坐标原点,直线 CA、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空 间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(3,0,0) ,C1(0,0,4) ,B(0,4,0) ,B1(0,4,4) ,D (

3 ,2,0) 2

(1)∵ AC =(-3,0,0) , BC1 =(0,-4,0) ,∴ AC ? BC1 =0,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交战为 E,则 E(0,2,2).∵ DE =(- 4) , ∴ DE ?

????

? 1 ???? AC1 , ∴DE∥AC1. ∵ DE ? 平面 CDB1, AC1 ? 2

3 ,0,2) , AC1 =(-3,0, 2

平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1; 点评:平行问题的转化: 面面平行 线面平行 线线平行; 转化 转化 例 10. 解: 以 D 为坐标原点, 直线 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x,则 A1(1,0,1) ,D1(0, 0,1) ,E(1,x,0) ,A(1,0,0)C(0,2,0) (1) 因为DA ,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E. 1, D 1 E ? (1 ( 2 ) 因 为 E 为 AB 的 中 点 , 则 E ( 1 , 1 , 0 ) ,从而

D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,
A1

D1 B1 D A E B

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刘江华(题型归纳总结)

? ???? ? ?n ? AC ? 0, AD1 ? (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ? ???? ? n ? AD ? ? 1 ? 0,
也即 ?

?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ,得 ? ,从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 ?? a ? c ? 0 ?a ? c
? 2 ?1? 2 1 ? . 3 3

h?

| D1 E ? n | |n|

(3)设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) ,∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1),

? ???? ? ? ?n ? D1C ? 0, ?2b ? c ? 0 ?? 由 ? ? ??? 令 b=1, ∴c=2,a=2-x, ? a ? b ( x ? 2) ? 0. n ? CE ? 0, ? ? ?
∴ n ? (2 ? x,1,2).

? ???? ? | n ? DD1 | 2 2 2 ???? ? ? ? ? . 依题意 cos ? ? 4 | n | ? | DD1 | 2 2 ( x ? 2) 2 ? 5

?

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) , x2 ? 2 ? 3 . ∴AE= 2 ? 3 时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。 例 11.解:直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AC, BC, CC1 两两垂直,以

C 为坐标原点,
直线 CA, CB, CC1 分别为 x 轴 y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C(0,0, 4), A(3,0,0), C1 (0,0, 4) , B(0, 4,0), B1 (0, 4, 4) (1)? AC ? (?3,0,0), BC1 ? (0, ?4,4) ,? AC ? BC1 ? 0,? AC ? BC1

C1 A1

Z

B1
C

??? ?

???? ?

??? ? ???? ?

??? ?

???? ?
A x

? AC ? BC

D

B

y

(2)假设在 AB 上存在点 D ,使得 AC1 ? CD ,则 AD ? ? AB ? (?3?, 4?,0) 其中 0 ? ? ? 1 ,则 D(3 ? 3? , 4? , 0),于是 CD ? (3 ? 3? , 4? , 0)由于 AC1 ? (?3, 0, 4),且

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

AC1 ? CD
所以 ?9 ? 9? ? 0 得 ? ? 1 ,所以在 AB 上存在点 D 使得 AC1 ? CD ,且这时点 D 与点 B 重 合。 ( 3 )假设在 AB 上存在点 D 使得 AC1 // 平面CDB1 ,则 AD ? ? AB ? ( ?3? , 4? , 0)其中
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????

??? ?

刘江华(题型归纳总结)

0 ? ? ? 1 则 D(3 ? 3? , 4? , 0) , B1D ? (3 ? 3?,4? ? 4, ?4) 又 B1C ? (0, ?4, ?4). 由 于

???? ?

????

???? ? ???? ? ???? ? ???? AC1 ? (? 3 , 0 , , 4AC ) 1 // 平面CDB1 ,所以存在实数 m, n, 使AC1 ? mB1D ? nB1C 成立,
? m(3 ? 3? ) ? ? 3,m (4 ? ? 4)? 4 n ? 0, ?4 m? 4 n ? 4, 所以 ? ?
使得 AC1 // 平面CDB1 ,且 D 使 AB 的中点。 总结:向量有一套良好的运算性质,它可以把几何图形的性质转化为向量运算,实现了数与 形的结合,在解决立体几何的距离与夹角、平行与垂直、探索性等问题中体现出巨大的优越 性,请同学们认真领会。 五、专题突破: 1 解:设 AC ? a, CD ? b , DB ? c , a ? b ? c ? 1, ? a, b ??? b , c ?? 90? , ? a, c ?? 60? ,

1 ,所以在 AB 上存在点 D 2

??? ?

? ? ???

? ? ???

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? AB ? (a ? b ? c )2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? 2 , ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? AB ? CD (a ? b ? c ) ? b b2 1 (1)? cos ? AB, CD ?? ??? ? , ? ??? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? b 2 ?1 2 AB ? CD
? AB, CD 所成的角为 60?
(2)设与 AB, CD 都垂直的非零向量 n ? xa ? yb ? zc , 由 n ? AB, n ? CD 得

?

?

?

?

?

??? ? ?

??? ?

? ? ? ? ? ? ? ?( xa ? yb ? zc ) ? (a ? b ? c ) ? 0 ?3x ? 2 y ? 3z ? 0 ,令 ?? ? ? ? ? ? ?y ? 0 ? ?( xa ? yb ? zc ) ? b ? 0

? ? ? x ? 1, 得z ? ?1,? n ? a ? c ,
???? ? ? ? ? (a ? c ) ? a 1 AC ? n ? 设 AB与CD 的距离为 d ,? d ? ? ? ? ?2 n (a ? c ) 2
2、解:以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系(如图) ,设 AD=a,则 D(0,0,0) 、A(a,0,0) 、B(a,a,0)、

a a a a ,0) 、 F ( , , ) 、 P(0,0, a). 2 2 2 2 a a (Ⅰ) EF ? DC ? (? ,0, ) ? (0, a,0) ? 0, ? EF ? DC . 2 2
C(0,a,0) E ( a, (Ⅱ) 设G( x,0, z),则G ? 平面PAD.

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刘江华(题型归纳总结)

??? ? a a a FG ? ( x ? , ? , z ? ), 2 2 2 ??? ? ??? ? a a a a a FG ? CB ? ( x ? , ? , z ? ) ? (a, 0, 0) ? a( x ? ) ? 0, x ? ; 2 2 2 2 2 (Ⅲ) 设平面 DEF 的法 2 ??? ? ??? ? a a a a a FG ? CP ? ( x ? , ? , z ? ) ? (0, ?a, a) ? ? a( z ? ) ? 0, z ? 0. 2 2 2 2 2 a ? G点坐标为( , 0, 0), 即G点为AD的中点. 2
向量为 n ? ( x, y, z).

a a a ? ? ???? ( x , y , z ) ? ( , , ) ? 0, ? ?n ? DF ? 0, ? ? 2 2 2 由 ? ? ???? 得? ? ?n ? DE ? 0 ?( x, y, z ) ? (a, a , 0) ? 0, ? ? 2 ?a ( x ? y ? z ) ? 0, ? ?2 即? 取x ? 1, 则y ? ?2, z ? 1, a ?ax ? y ? 0. ? ? 2 ??? ? ? ? ??? ? ? BD ? n a 3 ? ? ? ? n ? (1, ?2,1).cos ? BD, n ?? ??? ? , | BD || n | 2a ? 6 6

? 3 3 ? DB与平面DEF 所成角大小为 ? arccos (即 arcsin ). 2 6 6
3、证明: (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,易知面 ACC1A1⊥面 ABC, ∵∠ACB=90° ,∴BC⊥面 ACC1A1,∵ AM ? 面 ACC1A1,∴BC⊥AM ∵ AM ? BA1 ,且 BC ? BA1? B ,∴ AM?平面 A1BC 解: (2)如图以 C 为原点,CA,CB, CC1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 系,则 A( 3, 0, 0), A ), (0,1,,设 0) M (0, 0,z1 )∵ AM ? BA1 ,∴ AM ? BA1 ? 0 即 1 ( 3, 0, 6 B

???? ? ????

?3 ? 0 ? 6 z1 ? 0 ,故 z1 ?

?? ???? ? ?? ???? ? ?? ??? ? ?? ? ?m ? A M ? 0 设 向 量 m ? ( x, y, z) 为 平 面 AMB 的 法 向 量 , 则 m ? AM , m ? AB , 则 ? ?? ??? 即 ? ? ? m ? A B? 0

6 6 ) ,所以 M (0,0, 2 2

? 6 ??? ? ?? z?0 ?? 3x ? ,令 x=1,的平面 AMB 的一个法向量为 m ? (1, 2, 3) ,显然向量 CB 是 2 ? ? ? 3x ? y ? 0 ?

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刘江华(题型归纳总结)

?? ??? ? ?? ??? ? m ? CB 2 ? ? 平面 AMC 的一个法向量, cos ? m, CB ?? ?? ??? | m | ? | CB | 2
?? ??? ? 易知, m 与 CB 所夹的角等于二面角 B-AM-C 的大小,故所求二面角的大小为 45° .

?? ??? ? | m ? CB | | m ? CB | ?? ?? (3)向量 CB 在法向量 m 上的投影的长 即为所求距离,∵ ?

?? ??? ? |m|

?? ??? ? |m|

3 6

?

2 ∴ 2

点 C 到平面 ABM 的距离为

2 2

4、 (Ⅰ)建立空间直角坐标系 D ? xyz ,如图,则又

D(0,0,0) , B(2, 2,0) , C (0, 2,0) , C1 (0, 2,3) , D1 (0,0,3) , E (1, 2, 0)
连接 CD1 ,与 C1D 相交于 O ,连接 EO 易知 O (0,1,1.5) ∴ BD1 ? (?2, ?2,3), EO ? (?1, ?1,1.5) 又 BD1 ? 平面 C1DE , EO ? 平面 C1DE

???? ?

??? ?

∴ BD1 ? 2EO ∴ BD1 // 平面 C1DE

???? ?

??? ?

∴ EO // BD1

(Ⅱ) 解: 过点 C 做 CH ? DE 于 H , 连接 C1H , 在正四棱柱 ABCD ? A CC1 ? 1B 1C1D 1 中, 平面 ABCD ∴ C1H ? DE , C1HC 是二面角 C1 ? DE ? C 的平面角 根据平面几何知识,易得 H (0.8,1.6,0) ∴ HC ? (?0.8,0.4,0), HC1 ? (?0.8,0.4,3)

????

???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? HC ?HC1 2 ∵ cos C1 HC ? cos( HC ?HC1 ) ? ???? ???? ? ? HC ?HC1 7
∴ ?C1 HC ? arccos

2 2 ∴二面角 C1 ? DE ? C 的大小为 arccos 7 7

(Ⅲ)解:在侧棱 BB1 上不存在点 P ,使得 CP ? 平面 C1DE 证明如下:假设 CP ? 平面 C1DE ,则必有 CP ? DE 设 P(2, 2, a) ,其中 0 ? a ? 3 ,则 CP?DE ? 2 ? 0 ,这显然与 CP ? DE 矛盾 ∴假设 CP ? 平面 C1DE 不成立,即在侧棱 BB1 上不存在点 P ,使得 CP ? 平面 C1DE 5、 (1)如图建立直角坐标系,其中 C 为坐标原点.依题意 A(2,0,0) ,B(0,2,0) ,B1 (0,2,2) ,C1(0,0,2) ,因为 AB1 ? BC1 ? (?2,2,2) ? (0,?2,2) ? 0 ,所 以 AB1⊥BC1.

??? ? ??? ?

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刘江华(题型归纳总结)

(2)设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 AB1C1 的法向量, 由 n1 ? AB1 ? 0, n1 ? AC1 ? 0 得

? y 1 ? 0, ?? x1 ? y1 ? z1 ? 0, 所以 ? 令 z1 ? 1 ,则 n1 ? (1,0,1) , ? ? x1 ? z1 , ?? x1 ? z1 ? 0,
因为 AB ? (?2,2,0) ,所以,B 到平面 AB1C1 的距离为 d ?

| AB ? n1 | | n1 |

? 2.

(3)设 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) 是平面 A1AB1 的法向量.由 n2 ? AB ? 0, n2 ? AA 1 ? 0, 得

?? x2 ? y 2 ? 0, ? x2 ? y 2 , 令 y 2 =1,则 n2 ? (1,1,0), 所以? ? ? z 2 ? 0. ? z 2 ? 0,
因为 cos ? n1 , n2 ?

n1 ? n2 | n1 |, | n2 |

?

1 2 2

?

1 所以,二面角 C1—AB1—A1 的大小为 60° 2

6、 (Ⅰ)连结 AC、BD,设 AC ? BD ? O .由 P-ABCD 与 Q-ABCD 都是正四棱锥,所以 PO ⊥平面 ABCD,QO⊥平面 ABCD.从而 P、O、Q 三点在一条直线上,所以 PQ⊥平面 ABCD. (Ⅱ)由题设知,ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 由(Ⅰ) ,QO⊥平面 ABCD. 故可分别以直线 CA、DB、QP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系(如图) ,由题条件,相关各点的坐标分别是 P(0,0,1) ,A( 2 2 ,0,0) ,Q (0,0,-2) ,B(0, 2 2 ,0). 所以 AQ ? (?2 2 ,0,?2) PB ? (0, 2 2, ?1)

??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? AQ ? PB 2 1 于是 cos ? AQ, PB ?? ???? ??? ? . ? ? AQ ? PB 2 3 ? 2 3 6
1 从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos . 3
D

z P

C O B y

A x

(Ⅲ)由(Ⅱ) ,点 D 的坐标是(0,- 2 2 ,0) ,
AD ? (?2 2 ,?2 2 ,0) ,

Q

??? ? PQ ? (0,0, ?3) ,设 n ? ( x, y, z) 是平面 QAD 的一
个法向量,由
? ? ?n ? AQ ? 0 ? 2x ? z ? 0 得? .取 x=1,得 n ? (1,?1,? 2 ) . ? ? ? ?x ? y ? 0 ?n ? AD ? 0

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刘江华(题型归纳总结)

??? ? ? PQ ? n 3 2 所以点 P 到平面 QAD 的距离 d ? . ? ? 2 n
7、 (Ⅰ)如图,建立直角坐标系 O-xyz,其中原点 O 为 AC 的中点. 设 A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c). C1 则 C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c). → → ED =(0,b,0) ,BB1 =(0,0,2c). →→ → ED · BB1 =0,∴ED⊥BB1.又AC1=(-2a,0,2c), →→ ED · AC1=0,∴ED⊥AC1, C E O B A x z B1 A1 D y

所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线.

(Ⅱ)不妨设 A(1,0,0),则 B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2), → → → BC =(-1,-1,0), AB =(-1,1,0),AA1 =(0,0,2), →→ →→ BC · AB =0, BC · AA1 =0,即 BC⊥AB,BC⊥AA1,又 AB∩AA1=A, ∴BC⊥平面 A1AD. 又 E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1), → → → EC =(-1,0,-1), AE =(-1,0,1), ED =(0,1,0), →→ →→ EC · AE =0, EC · ED =0,即 EC⊥AE,EC⊥ED,又 AE∩ED=E, ∴ EC⊥面 C1AD. →→ → → → → EC · BC 1 cos< EC , BC >= = , 即得 EC 和 BC 的夹角为 60°. 所 → → 2 | EC |· | BC |

以二面角 A1-AD-C1 为 60°.

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