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均值不等式的常见题型


学辅教育

成功就是每天进步一点点!

均值不等式的常见题型 一、基本练习 1、已知: x 2 ? y 2 ? a, m 2 ? n 2 ? b 且 a ? b ,则 mx ? ny 的最大值为( ) (A) ab (B)
a?b 2

(C)

a2 ? b2 2

(

D)

a2 ? b2 2

2、若 a, x, y ? R ? ,且 x ? y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是( ) (A) 2 2 (B) 2 (C)2 (D)1

3、已知下列不等式:① x 3 ? 3 ? 2x( x ? R ? ) ;② a 5 ? b5 ? a 3b 2 ? a 2b3 (a, b ? R ? ) ; ③ a 2 ? b 2 ? 2(a ? b ? 1) . 其中正确的个数是( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 )

4、设 a, b ? R ? ,则下列不等式中不成立的是( (A) (a ? b)( ? ) ? 4 (C) ab ?
1 ab ?2
1 a 1 b

(B) (D)

a2 ? b2 ab

? 2 ab

2ab ? ab a?b

5、设 a, b ? R ? 且 2a ? b ? 1, S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值是( ) (A) 2 ? 1 (B)
2 ?1 2

(C) 2 ? 1

(D)

2 ?1 2

6、若实数 a, b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 a ? 3b 的最小值是( (A)18 (B)6 (C) 2 3

) (D) 24 3 )

7、已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 且 a ? b ? c ? 1 则 A 13.5 B 12 C 10 D 9

1 4 ? 的最小值是( a?b c

8、已知 a ? 1, 0 ? b ? 1 则 loga b ? logb a 的取值范围是( A (2, ??) B [2, ??) C (??, ?2) D (??, ?2]



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9、较难:设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a 2 ?

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是( ab a (a ? b)



10、若 x, y ? R ? ,且 2 x ? y ? 1 ,则 ? 的最小值为

1 x

1 y

. .

11、若 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1, 且a ? b ,则 a ? b,2 ab, a 2 ? b 2 ,2ab 中最大的是 A.2 B.4 C. 2
5

D.5 .

12、若正数 a, b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是 13、已知:x > 0, y > 0,且 ?
1 x 9 ? 1, 求 x + y 的最小值 y

14、已知:a > 0, b > 0,且 4a + b = 30,求 ? 的最小值

1 a

1 b

15、已知:x > 0, y > 0,且 2x + 8y – xy = 0,求 x+ y 的最小值

16、已知:x > 0,y > 0, ?

4 x

3 ? 1 求 x + 3y 的最小值 y

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二、典型例题分析 1、若 a, b ? R ? 且 a ? b ? 1 ,求证: a ? ? b ?
1 2 1 ?2 2

2、是否存在常数 c ,使得不等式 数 x, y 恒成立,试证明你的结论. 注:考虑 x ? y 的特殊情况.

x y x y 对任意正 ? ?c? ? 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2x ? y

【课外作业】 : 1、已知 x, y, z 是互不相等的正数且 x ? y ? z ? 1 ,求证: ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ?
1 x 1 y 1 z 1 8

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2、已知 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 ,求 (a ? )( b ? ) ?

1 a

1 b

25 . 4

3、证明:对于任意实数 x, y, 有 x 4 ? y 4 ? xy ( x ? y ) 2

1 2

4、若 a > b > 0,求 a 2 ?

16 的最小值 b( a ? b)

5、已知:x > 0,y > 0,且 x + 4y = 1,求 xy 的最大值

6、已知 x > 0,y > 0,且 ?

x 3

y ? 1 ,求 xy 的最大值 4

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