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河北省唐山市2015届高三上学期期末考试 数学文 Word版含答案


河北省唐山市 2014-2015 学年度高三年级期末考试

数学(文)试题
说明: 一、本试卷分为第 I 卷和第 II 卷.第 I 卷为选择题;第 II 卷为非选择题,分为必考和选考 两部 分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改 动,

用 橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回,

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. (1)函数 y ?

x ? 2. x ? 5 的定义域为
(B)(一∞,—5]U[2,+oo) (D)[2,+ ∞)
2

(A)[一 5,2] (C)[一 5,+ ∞) (2)函数 f ( x) ? 1 ? 2sin (A) 2 ? (C)

x 的最小正周期为 2

(B) ? (D)4 ?

? 2
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的 25 ? k k ? 9

(3)"k<9’’是“方程

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x ? y ? 1 ? 0, ? (4)设变量 x、y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0, 则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ?
(A)7 (B) 8 (5)在等比数列{an}中,a2a3a7=8,则 a4= (A)1 (6)己知 f ( x) ? x ? (A)-4 (B) 4 (C) 22 (D) 23

(C)2

(D) 2 2

1 ? 1, f (a) ? 2, 则 f (?a) ? x
(B-2 (C)-1 (D)-3

-1-

(7)抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是 (A)

1 9

(B)

1 6

(C)

1 18

(D)

1 12

(8)己知 f ( x) ? ? (A)(一∞,一 1]

?(1 ? 2a) x ? 3a, x ? 1, 的值域为 R,那么 a 的取值范围是 x ? 1. ?1nx,
(B)(一 l,

1 ) 2

(C)[-1,

1 ) 2

(D)(0,

1 ) 2

(9)执行如图所示的算法,则输出的结果是 (A)1 (B)

4 3

(C)

5 4

(D)2

(10)右上图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于 (A)

1 3

(B)

2 3

(C)1

(D)

4 3

(11)椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,若 F 关于直线 3x ? y ? 0 的对称点 A 是椭 a 2 b2

圆 C 上的点,则椭圆 C 的离心率为 (A)

1 2

(B)

3 ?1 2

(C)

3 , 2

(D) 3 一 l

3 (12)设函数 f ( x) ? ax ? x ? 1( x ? R) ,若对于任意 x ? [一 1,1]都有 f ( x ) ≥0,则实数 a 的取

值范围为 (A)(- ? , 2]

(B)[0+ ? )

(C)[0,2]

(D)[1,2]

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)若复数 z 满足 z=i(2+z)(i 为虚数单位) ,则 z= 。 (14)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S3 =6,S4=12,则 S6= .

A C B . (15) 过点 A(3,1)的直线 l 与圆 C: x 2 ? y ? 4 y ?1 ? 0 相切于点 B, 则C
2

?



-2-

(16) 在三棱锥 P-ABC 中,PB=6,AC=3,G 为△PAC 的重心,过点 G 作三棱锥的一个截面,使 截面平行于直线 PB 和 AC,则截面的周长为 . 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17) - (21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 csinB=bcos C=3. (I)求 b; ( II)若△ ABC 的面积为

21 ,求 c. 2

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PA⊥ 底面 ABCD,∠ PCD=90°, PA =AB=AC. (I)求证:AC⊥ CD; ( II)点 E 在棱 PC 的中点,求点 B 到平面 EAD 的距离.

(19)(本小题满分 12 分) 为了调查某校学生体质健康达标情况,现采 用随机抽样的方法从该校抽取了 m 名学生进行体 育测试.根据体育测试得到了这 m 名学生各项平 均成绩(满分 100 分) ,按照以下区间分为七组: [30,40), [40, 50), [50, 60), [60, 70),[70, 80),[80,90),[90,100),并得到频率分布直方 图(如图) ,己知测试平均成绩在区间[30,60)有 20 人. (I)求 m 的值及中位数 n; (II)若该校学生测试平均成绩小于 n,则 学校应适当增加体育活动时间.根据以上抽样调 查数据,该校是否需要增加体育活动时间?

-3-

(20)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 y2= 2px(p>0),过点 C(一 2,0)的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,坐标原点为 O, OAOB . ? 12 . (I)求抛物线的方程; ( II)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时,求直线 l 的方程.

(21)(本小题满分 12 分)
x 2 己 知 函 数 f ( x)? a e ? x, g 直 线 l 与 曲 线 C1 : y ? f( x )切 于 点 ( x )? s i n? x , bx

( 0 ,f ( 0 且与 ))
曲线 C2 : y=g(x)切于点 (

?

, g ( )) . 2 2

?

(I)求 a,b 的值和直线 l 的方程. ( II)证明:除切点外,曲线 C1,C2 位于直线 l 的两侧。

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作 答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22)(本小题满分 1 0 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形么 BDC 内接于圆,BD= CD,过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点. (I)求证:∠ EAC=2∠ DCE; ( II)若 BD⊥ AB,BC=BE,AE=2,求 AB 的长.

(23)(本小题满分 10)选修 4—4;坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单 位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) ,斜率为 3 的直线 l 交 y 轴于 点 E(0,1). (I)求 C 的直角坐标方程, l 的参数方程; ( II)直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|EA|+|EB |。

-4-

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| (I)求 a; ( II)已知两个正数 m,n 满足 m2+n2=a,求

1 x ? 1| ? | x | ( x ? R) 的最小值为 a. 2
1 1 ? 的最小值. m n

参考答案
一、选择题: A 卷:DABAC ABCAB DC B 卷:DAADC BBCDA CC 二、填空题: (13)-1+i (14)30 (15)5 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)由正弦定理得 sin Csin B=sin Bcos C, 又 sin B≠0,所以 sin C=cos C,C=45°.

(16)8

因为 bcos C=3,所以 b=3 2. 1 21 (Ⅱ)因为 S=2acsin B= 2 ,csin B=3,所以 a=7. 据余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos C=25,所以 c=5. (18)解: (Ⅰ)证明: 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD, 因为∠PCD=90?,所以 PC⊥CD, 所以 CD⊥平面 PAC, 所以 CD⊥AC. …4 分 B (Ⅱ) 因为 PA=AB=AC=2, E 为 PC 的中点, 所以 AE⊥PC, AE= 2. 由(Ⅰ)知 AE⊥CD,所以 AE⊥平面 PCD. 作 CF⊥DE,交 DE 于点 F,则 CF⊥AE,则 CF⊥平面 EAD. 因为 BC∥AD,所以点 B 与点 C 到平面 EAD 的距离相等, CF 即为点 C 到平面 EAD 的距离. CE×CD 2×2 2 3 在 Rt△ECD 中,CF= DE = = 3 . 6 2 3 所以,点 B 到平面 EAD 的距离为 3 .

…6 分

…12 分
P

E F A D C

…8 分

…12 分

(19)解: (Ⅰ)由频率分布直方图知第 1 组,第 2 组和第 3 组的频率分别是 0.02,0.02 和 0.06,

-5-

则 m×(0.02+0.02+0.06)=20,解得 m=200. 由直方图可知,中位数 n 位于[70,80),则 0.02+0.02+0.06+0.22+0.04(n-70)=0.5,解得 n=74.5. …4 分 (Ⅱ)设第 i 组的频率和频数分别为 pi 和 xi,由图知, p1=0.02,p2=0.02,p3=0.06,p4=0.22,p5=0.40,p6=0.18,p7=0.10, 则由 xi=200×pi,可得 x1=4,x2=4,x3=12,x4=44,x5=80,x6=36,x7=20, …8 分 故该校学生测试平均成绩是 — 35x1+45x2+55x3+65x4+75x5+85x6+95x7 x= =74<74.5, 200 所以学校应该适当增加体育活动时间. …11 分 …12 分

(20)解: (Ⅰ)设 l:x=my-2,代入 y2=2px,得 y2-2pmy+4p=0. (?)
2 y2 1y2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2pm,y1y2=4p,则 x1x2= 4p2 =4.

→ 因为→ OA · OB =12,所以 x1x2+y1y2=12,即 4+4p=12, 得 p=2,抛物线的方程为 y2=4x. …5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) (?)化为 y2-4my+8=0. y1+y2=4m,y1y2=8. …6 分 2 设 AB 的中点为 M,则|AB|=2xm=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m -4, ① 又|AB|= 1+m2| y1-y2|= (1+m2)(16m2-32), 由①②得(1+m2)(16m2-32) =(4m2-4)2, 解得 m2=3,m=± 3. 所以,直线 l 的方程为 x+ 3y+2=0,或 x- 3y+2=0. (21)解: (Ⅰ)f ?(x)=aex+2x,g ?(x)=cos x+b, ? ? ? f (0)=a,f ?(0)=a,g ( 2 )=1+ 2 b,g ?( 2 )=b, 曲线 y=f (x)在点(0,f (0))处的切线为 y=ax+a, ? ? 曲线 y=g (x)在点( 2 ,g ( 2 ))处的切线为 ? ? y=b(x- 2 )+1+ 2 b,即 y=bx+1. 依题意,有 a=b=1,直线 l 方程为 y=x+1. …4 分 x 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x)=e +x ,g (x)=sin x+x. …5 分 x 2 x 设 F (x)=f (x)-(x+1)=e +x -x-1,则 F ?(x)=e +2x-1, 当 x∈(-∞,0)时,F ?(x)<F ?(0)=0; 当 x∈(0,+∞)时,F ?(x)>F ?(0)=0. F (x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增, 故 F (x)≥F (0)=0. …8 分
-6-



…12 分

设 G (x)=x+1-g (x)=1-sin x,则 G (x)≥0, ? 当且仅当 x=2k?+ 2 (k∈Z)时等号成立. …10 分

综上可知,f (x)≥x+1≥g (x),且两个等号不同时成立,因此 f (x)>g (x). 所以:除切点外,曲线 C1,C2 位于直线 l 的两侧. …12 分 (22)解: (Ⅰ)证明:因为 BD=CD,所以∠BCD=∠CBD. 因为 CE 是圆的切线,所以∠ECD=∠CBD. 所以∠ECD=∠BCD,所以∠BCE=2∠ECD. 因为∠EAC=∠BCE,所以∠EAC=2∠ECD. …5 分 (Ⅱ)解:因为 BD⊥AB,所以 AC⊥CD,AC=AB. 因为 BC=BE,所以∠BEC=∠BCE=∠EAC,所以 AC=EC. 由切割线定理得 EC2=AE?BE,即 AB2=AE?( AE-AB),即 AB2+2 AB-4=0,解得 AB= 5-1. …10 分

(23)解: (Ⅰ)由 ρ=2(cos θ+sin θ),得 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), 即 x2+y2=2x+2y,即(x-1) 2+(y-1) 2=2.

?x= 2 t, l 的参数方程为? (t 为参数, t∈R) 3 y = 1 + t . ? 2
1

…5 分

?x= 2 t, (Ⅱ)将? 代入(x-1) +(y-1) =2 得 t -t-1=0, 3 ?y=1+ 2 t.
1
2 2 2

1+ 5 1- 5 解得,t1= 2 ,t2= 2 ,则 |EA|+|EB|=| t1|+| t2|=|t1-t2|= 5. (24)解: 3 - 2 x-1 , x<-2, 1 (Ⅰ)f (x)= - 2 x+1,-2≤x≤0, 3 x>0. 2 x+1, 当 x∈(-∞,0]时,f (x)单调递减, 当 x∈[0,+∞)时,f (x)单调递增, 所以当 x=0 时,f (x)的最小值 a=1. 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m2+n2=1,由 m2+n2≥2mn,得 mn≤ 2 , …10 分

? ? ? ? ?

…5 分

-7-

1 1 则 m + n ≥2

1 2 mn≥2 2,当且仅当 m=n= 2 时取等号. …10 分

1 1 所以 m + n 的最小值为 2 2. 注:各题如有其他解法,请参考评分标准给分.

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-8-


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