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2015-2016学年高中数学 2.1.1参数方程的概念练习 新人教A版选修4-4

时间:2015-11-21


2.1.1
?预习梳理 1.参数方程的定义.

参数方程的概念

一般地, 在平面直角坐标系中, 如果曲线 C 上任一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为某个 变量 t 的函数:______________;反过来,对于 t 的每个允许值,由函数式?
? ?x=f(t), ? ?y=g(t) ? ?x=f(t), ?y=g(t) ?



确定的点 P(x,y)________________,那么方程?

叫作曲线 C 的__________,变

量 t 是参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出__________________的方程叫做 普通方程,参数方程可以转化为普通方程. 2.关于参数的说明. 参数方程中参数可以有物理意义、几何意义,也可以没有明显意义. 3.曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程;若知道变数 x、y 中的一个与参数
?x=f(t), ? t 的关系,可把它代入普通方程,求另一变数与参数 t 的关系,则所得的? 就是 ? ?y=g(t)

参数方程. ?预习思考 以下表示 x 轴的参数方程的是(
? ?x=t +1, A.? (t 为参数) ?y=0 ? ?x=1+sin θ , ? ? ?y=0
2

) B.?
?x=4t+1, ? ? ?y=0 ? ?x=0,

?y=3t+1 ?

(t 为参数)

C.?

(θ 为参数) D.?

(t 为参数)

, 预习梳理
1.?
? ?x=f(t), ?y=g(t) ?

都在曲线 C 上 参数方程 点的坐标间关系

预习思考 D 一 层 练 习 1.当参数 θ 变化时,由点 P(2cos θ ,3sin θ )所确定的曲线过点( )
1

A.(2,3)

B.(1,5) D.(2,0)

? π? C.?0, ? 2? ?
1.D

? ?x=2+sin θ , 2.将参数方程? (θ 为参数)化为普通方程是( 2 ?y=sin θ ?

2

)

A.y=x-2 B.y=x+2 C.y=x-2(2≤x≤3) D.y=x+2(0≤y≤1) 2.C
? ?x=sin θ , 3.在方程? (θ 为参数)所表示的曲线上其中一个点的坐标是( ?y=cos 2θ ?
2

)

?1 2? A.(2,7) B.? , ? ?3 3? ?1 1? C.? , ? ?2 2?
3.D 4.将参数方程?
2 2

D.(1,-1)

?x=1+2cos θ , ? ?y=2sin θ ?

(θ 为参数)化为普通方程是____________.

4.(x-1) +y =4 5.曲线? 5.± 3 二 层 练 习
? ?x=1+cos θ , ?y=2sin θ ?

?3 ? (θ 为参数)经过点? ,a?,则 a=____________. ?2 ?

1 x=x + t, ? 2 ? 6.若一直线的参数方程为? (t 为参数),则此直线的倾斜角为( 3 ? ?y=y - 2 t
0 0

)

A.60°

B.120° C.30°

D.150°
2

6.B 7.参数方程? A.直线 7.C 1 ? ?x=2-2t, 8.(2015?湛江市高三(上)调考)直线? (t 为参数)被圆 x +y =4 截得的弦 1 ? ?y=-1+2t
2 2

?x=cos θ , ? ? ?y=sin θ
2

2

(θ 为参数)表示的曲线是(

)

B.圆 C.线段 D.射线

长为________. 8.命题立意:本题主要考查了直线的参数方程,以及直线和圆的方程的应用,考查 计算能力,属于基础题. 1 ? ?x=2-2t, 解析:∵直线? (t 为参数), 1 ?y=-1+2t ? ∴直线的普通方程为 x+y-1=0, 圆心到直线的距离为 d= 1 2 = , 2 2

弦长=2 答案: 14

4-?

? 22? ?= 14. ?2 ?

9.(2015?惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的参数方程 为:?

?x= 3+3cos θ , (θ 为参数),以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为: ?y=1+3sin θ

π? ? ρ cos?θ + ?=0,则圆 C 截直线所得弦长为________. 6? ? 9.解析:圆 C?

?x= 3+3cos θ (θ 为参数)表示的曲线是以点( 3,1)为圆心,以 3 ?y=1+3sin θ

π? ? 为半径的圆,将直线 ρ cos?θ + ?=0 的方程化为 3x-y=0,圆心( 3,1)到直线 3x- 6? ?

y=0 的距离 d=

| 3? 3-1| 2 2 =1,故圆 C 截直线所得弦长为 2 3 -1 =4 2. + 2 ( 3) 1

3

答案:4 2 10.圆锥曲线? 10.(1,0)
?x=t , ? ? ?y=2t
2

(t 为参数)的焦点坐标是________.

三 层 练 习 11.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极 坐标方程为 ρ cos θ =4 的直线与曲线? ________. 11.16 12.设曲线 C 的参数方程为?
? ?x=t, ?y=t ?
2

?x=t , ? ? ?y=t
3

2

(t 为参数)相交于 A,B 两点,则|AB|=

(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的

正半轴为极轴建立即坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为____________________. 12.ρ cos θ -sin θ =0 13.已知动点 P,Q 都在曲线 C:?
?x=2cos β , ? ?y=2sin β ?
2

(β 为参数)上,对应参数分别为 β =

α 与 β =2α (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 13.解析:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ),因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).
?x=cos α +cos 2α , ? M 的轨迹的参数方程为? (α 为参数,0<α <2π ). ?y=sin α +sin 2α ?

(2)M 点到坐标原点的距离

d= x2+y2= 2+2cos α (0<α <2π ).
当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 14.边长为 a 的等边三角形 ABC 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴两正半轴上移动, 顶点 C 和原点 O 分别在 AB 两侧,记∠CAx=α ,求顶点 C 的轨迹的参数方程.

4

14.解析: 如下图,过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,设点 C 的坐标为(x,y).

则由?

?x=OA+AD, ? ?y=DC, ?



2π ? ? ?x=acos? ? 3 -α ?+acos α , ? ? (α 为参数), ? ? ?y=asin α 即为顶点 C 的轨迹方程.

1.求曲线参数方程的主要步骤. 第一步 设点:画出轨迹草图.设 M(x,y)为轨迹上任意一点的坐标,画图时注意根据 几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系. 第二步 选参:选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐 标(x,y)与参数的关系比较明显,容易列出方程.二是 x,y 的值可以由参数唯一确定.例 如,在研究运动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数.此 外,离某一定点的“有向距离”,直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数. 第三步 表示、结论:根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的 坐标与参数的函数关系式.证明可以省略. 2.将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法. (1)代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示),再代入另一个方 程. (2) 利 用 代 数 或 三 角 函 数 中 的 恒 等 式 消 去 参 数 , 例 如 对 于 参 数 方 程

? 1? x =a?t+ ?cos θ , ? ? ? t? 如果 t 是常数,θ 是参数,那么可以利用公式 sin ? ? 1? t- ?sin θ , ? ?y=a? ? t?
2

2

θ +cos θ =1

2

消参;如果 θ 是常数,t 是参数,那么适当变形后可以利用(m+n) -(m-n) =4mn 消参.

2

5


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