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【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 双基限时练28 新人教A版必修4


双基限时练(二十八)
3π ? 3 α ? 1.已知 cosα =- ,且 α ∈?π , ?,则 cos 的值为( 2 5 2 ? ? A. 5 5 2 5 5 B.- 5 5 )

C.

2 5 D.- 5

3π π α 3π α 解析 ∵π <α < ,∴ < < ,∴cos

<0. 2 2 2 4 2 由 cosα =2cos
2

α 3 1 2α -1=- ,得 cos = , 2 5 2 5

α 5 ∴cos =- . 2 5 答案 B 2.设 α ∈(π ,2π ),则 α A.sin 2 α C.-sin 2 解析 ∵α ∈(π ,2π ),∴ ∴ 1-cos?π +α ? = 2 1-cos?π +α ? 等于( 2 α B.cos 2 α D.-cos 2 α ?π α ? ∈? ,π ?,∴cos <0. 2 ?2 2 ? 1+cosα α =|cos | 2 2 )

α =-cos . 2 答案 D 3.函数 y=8sinxcosxcos2x 的最小正周期为 T,最大值为 A,则( A.T=π ,A=4 C.T=π ,A=2 π B.T= ,A=4 2 π D.T= ,A=2 2 )

解析 y=8sinxcosxcos2x=4sin2xcos2x=2sin4x, 2π π ∴最小正周期 T= = ,最大值 A=2. 4 2 答案 D 4.若 3sinα +cosα =0,则 1 的值为( cos α +sin2α
2

)
1

A. C.

10 3 2 3

B.

5 3

D.-2

1 解析 ∵3sinα +cosα =0,∴tanα =- . 3 1 sin α +cos α = 2 cos α +sin2α cos α +2sinα cosα
2 2 2

?-1?2+1 10 ? 3? 9 10 tan α +1 ? ? = = = = . 1+2tanα 1 1 3 ? ? 1+2×?- ? ? 3? 3
2

故应选择 A. 答案 A 5.若 f(x)=cos2x+8sinx,则它的最大值和最小值分别是( A.最大值是 9,最小值是-9 B.最大值不存在,最小值为 7 C.最大值是 7,最小值是-9 D.最大值是 7,最小值不存在 解析 f(x)=cos2x+8sinx=1-2sin x+8sinx =-2(sin x-4sinx)+1=-2(sinx-2) +9. ∵x∈R,-1≤sinx≤1, ∴当 sinx=1 时,f(x)有最大值 7; 当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-9. 答案 C
2 2 2

)

? π? 6.使 f(x)=sin(2x+θ )+ 3cos(2x+θ )为奇函数,且在区间?0, ?上是减函数的 4? ?
θ 的一个值是( π A.- 3 2 C. π 3 ) B. π 3

4 D. π 3

π? π ? ? π? 解析 f(x)=2sin?2x+θ + ?,当 θ 取- 时,为奇函数,但在?0, ?上递增;θ 3? 4? 3 ? ? π 4 2π 取 和 π 时为非奇非偶函数;当 θ 取 时,f(x)=-2sin2x 符合题意. 3 3 3 答案 C

2

α ?2 α? ? α 2?π 7.?sin +cos ? +2sin ? - ?的值等于__________. 2 2? ? ?4 2?

?π ? 1-cos? -α ? 2 ? ? 解析 原式=1+sinα +2· 2
=1+sinα +1-sinα =2. 答案 2 3 2 8.函数 y= 3sinxcosx+3cos x- 的最大值为________. 2 解析 y= = 3 1+cos2x 3 sin2x+3× - 2 2 2

3 3 sin2x+ cos2x 2 2 3.

π? ? = 3sin?2x+ ?≤ 3? ? 答案 3

sinA+sin2A 9.化简: =________. 1+cosA+cos2A sinA+2sinAcosA 解析 原式= 2 cosA+2cos A = sinA?1+2cosA? =tanA. cosA?1+2cosA?

答案 tanA 2cos -sinx-1 2 10.若 tanx= 2,则 =________. sinx+cosx 2cos -sinx-1 2 解析 sinx+cosx = = cosx-sinx 1-tanx = sinx+cosx tanx+1 1- 2 =2 2-3. 2+1
2 2

x

x

答案 2 2-3
2θ 2cos -sinθ -1 2 11.已知 tan2θ =-2 2,π <2θ <2π ,求 . π? ? θ + 2sin? 4? ? ?

3

2cos 解

θ -sinθ -1 2 cosθ -sinθ 1-tanθ = = , π cosθ +sinθ 1+tanθ ? ? 2sin?θ + ? 4? ?
2

∵tan2θ =-2 2,∴
2

2tanθ =-2 2. 2 1-tan θ
2

∴ 2tan θ -tanθ - 2=0.∴tan θ - ∴tanθ = 2或 tanθ =- ∴ π <θ <π ,∴tanθ <0. 2

2 tanθ -1=0. 2

2 .∵π <2θ <2π , 2

2? ? 1-?- ? 2 ? 2? ∴tanθ =- .∴原式= =3+2 2. 2 2 1- 2 12.

如图所示,已知矩形 ABCD 中,AB=a,AD=b,试求其外接矩形 EFGH 面积的最大值. 解 设∠CBF=θ ,则∠EAB=θ , EB=asinθ ,BF=bcosθ ,AE=acosθ ,HA=bsinθ ,
矩 形 EFGH

所以 S

= (bsinθ + acosθ )(bcosθ + asinθ ) = b sinθ cosθ + absin θ + ?a +b ? sin2θ +ab.由|sin2θ |≤1, 知当 θ =45°时, S 矩形 EFGH 2
2 2

2

2

abcos2θ +a2sinθ cosθ =

1 2 2 取得最大值为 (a +b )+ab. 2

x x 1 2x 13.已知函数 f(x)=cos -sin cos - . 2 2 2 2
(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; 3 2 (2)若 f(α )= ,求 sin2α 的值. 10 分析 (1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将 f(x)化成 f(x)=Asin(ω x+φ )形 式.再求解.

4

(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值. 解

x x 1 1 1 1 2 ? π? 2x (1)由已知 f(x)=cos -sin cos - = (1+cosx)- sinx- = cos?x+ ?. 4? 2 2 2 2 2 2 2 2 ?

所以函数 f(x)的最小正周期为 2π ,值域为?- (2)由(1)知,f(x)= π? 3 ? ∴cos?α + ?= . 4? 5 ? π? 3 2 2 ? cos?α + ?= , 4 ? 10 2 ?

? ?

2 2? , ?. 2 2?

3 2 18 ∴cosα -sinα = ,平方得 1-sin2α = . 5 25 7 ∴sin2α = . 25

5


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