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直线的方程小结与复习(一)


一、回顾与复习:
问题1:确定一条直线的条件有哪些?

1.由直线上一点和直线的方向确定,而直 线的方向由斜率(倾斜角不是直角)确定, 这便是点斜式的由来,斜截式是点斜式的 特例。
2.由两点确定一条直线,这便是两点式 的由来,两点式也可以由点斜式而来, 截距式可看做是两点式的特例。

3.方程Ax+By+C=0(A

,B不全为0) 叫做直线方程的一般式,任何一条直线 的方程不管是用点斜式、斜截式、两点 式还是截距式表示的,都可以化成一般 式。
4.直线与二元一次方程的关系: 直线的方程都是二元一次方程; 任何一个关于x,y的二元一次方程都 表示一条直线。

问题2:直线方程归纳
名 称 已 知 条 件 标准方程 适用范围
不垂直于x轴的直线

斜截式 斜率k和y轴上的截距

y ? kx ? b

点斜式 点P ( x1,y1 )和斜率k y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 不垂直于x轴的直线 1 两点式 截距式
y ? y1 x ? x1 ? 不垂直于x、y轴的直线 点P ( x1,y1 )和点P2 ( x2,y2 ) 1 y1 ? y2 x1 ? x2

在x轴上的截距a 在y轴上的截距b

x y ? ?1 a b

不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线

一般式 两个独立的条件

Ax ? By ? C ? 0 A、B不同时为零

二、巩固练习1:

1.求过A(2a,b),B(5 ? 2a,b ? 1)两点的直线方程。 2.求过M(2, 1 )点,倾斜角比直线x ? 4 ? 0 的倾斜角大45?的直线方程。 3.已知:A( ? 5, 1 ),B(7,),求过线段AB 11 的中点M,且在x,y轴上截距相等的直线方程。

巩固练习2:(1)如果A(3, 1)、B(-2, k)、 C(8, 11),在同一直线上,那么k 的值是( D) (A)-6 (B)-7 (C)-8 (D)-9
小结:证明三点共线的方法--斜率相等法,
直线方程法, 向量平行法, 线段相等法。

(2)如果直线通过点(-1,-3), 并且与x 轴平行,那么的方程是( A)。 (A)y+3=0
(C)x+1=0

(B)y-3=0
(D)x-1=0

若将此题中的平行改为垂直,答案怎样?

(3)已知ab >0, ac <0, 那么 ax+by+c =0 必不经过( C )。 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

例1.直线l过点P(?1,)且与以A(?2, 3)、B(3,) 2 ? 0 为端点的线段相交,那么直线l的斜率的取值范 围是
解法一: k PA ? 5,k PB ? 由图可知, 1? ? k ? ? ? ?, ? ? ?5, ? ?. ? ? 2? ?
A

三、例题精讲:

1 ?? , 2

y

P
B o x

解法二:设l的方程为y ? k ( x ? 1) ? 2, 3 而线段AB的方程为y ? ( x ? 3)( ?2 ? x ? 3), 5 5k ? 19 将两式联立,解得:x ? , 3 ? 5k 5k ? 19 则? 2 ? ? 3, 3 ? 5k 1 解得k ? ? ,或k ? 5. 2 1? ? ? k ? ? ? ?, ? ? ?5, ? ?. ? ? 2? ?

例2.设直线l的方程为(a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0(a ? R), (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.

答案:)3x ? y ? 0,或x ? y ? 2 ? 0; )a ? ?1. (1 (2
例3.直线l过点P(2,,且分别与x、y轴正半轴 1) 交于A、B两点,O为坐标原点. (1)当?AOB面积最小时,求直线l的方程; (2)当 PA ? PB 取最小值时,求直线l的方程.

解:设直线l的方程为y ? 1 ? k ( x ? 2), 1 令x ? 0,得B(0,? 2k ),令y ? 0,得A(2 ? ,), 1 0 k 且由题意知,k <0.

1 1 1? 1 ? (1) S ?AOB ? (1 ? 2k )( 2 ? ) ? ?4 ? (?4k ) ? (? )? ? 4, 2 k 2? k ? 1 1 当且仅当 ? 4k ? ? ,即k ? ? 时取最小值, k 2 1 故l的方程为y ? 1 ? ? ( x ? 2),即x ? 2 y ? 4 ? 0. 2

1 2 1 2 2 (2) PA ? PB ? ( ) ? 1 ? 4 ? 4k ? ? k ? 2 ≥4. 2 k k 取最小值时k ? ?1,故l的方程为x ? y ? 3 ? 0.

点评: )设?BAO ? ?,过点P作PM ? x轴与M, (1
作PN ? y轴于N .可用三角函数表示所涉及 的各量,进而用基本不等式求解. x y (2)设直线方程为 ? ? 1,知 a>0,b>0. a b 2 1 且 ? ? 1.进而也可求解. a b

四、课堂小结:
1.求直线方程需要两个独立的条件.

2.求直线方程的方法:
①直接法;②待定系数法. 3.注意各种直线方程的适用范围,求解 时要防止可能产生的遗漏情况. 4.注重数形结合、分类讨论思想的运用.

(4)不论m为何实数,直线(m-1)x-y+2m +1=0 恒过定点( D )。
1 (A)(1, - 2 )

(B)(-2, 0)
(D)(-2, 3)

(C)(2, 3)


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