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高考数学一轮复习

时间:2013-06-05


高三数学一轮复习精品学案:函数、导数及其应用
2.3 函数的奇偶性与周期性 【高考新动向】 一、考纲点击 1、结合具体函数,了解函数奇偶性的含义; 2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性; 3、了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性。 二、热点难点提示 1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点; 2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题; 3.多以选择、填空题的形式出现,属中低档题目. 【考纲全景透析】 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内 关于 y 轴对称 任意一个,都有 f(-x)=f(x),那 么函数 f(x)是偶函数。 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内 关于原点对称 任意一个,都有 f(-x)=-f(x),那 么函数 f(x)是奇函数。 注:1、奇偶函数的定义域的特点:由于定义中对任意一个 x 都有一个关于原点对称的-x 在定 义域中,即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称; 2、存在既是奇函数,又是偶函数的函数,它们的特点是定义域关于原点对称,且解析式化简 后等于零。 二、奇偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反(填 “相同”“ 相反”。 、 ) 2、在公共定义域内,

亦即: (1)两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数; (2)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数; (3)一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数。 注:以上结论是在两函数的公共定义域内才成立;并且只能在选择题、填空题中直接应用, 解答题需先证明再利用。
用心 爱心 专心

-1-

3、若是奇函数 f(x)且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. 4、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称,且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件; 5、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立; 6、可逆性: f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) 是偶函数;

f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? f ( x ) 奇函数;
7、等价性: f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0

f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0
8、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称; 9、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。 三、周期性 1、周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时, 都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,T 为这个函数的周期。 2、最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正 数就叫做它的最小正周期。 【热点难点全析】 一、函数奇偶性的判定 1、相关链接 <1>利用定义判断函数奇偶性的一般步骤

,即: (1)首先确定函数的定义域,看它是否关于原点对称。若不对称,则既不是奇函数又不是偶 函数。 (2)若定义域关于原点对称,再判定 f(-x)与 f(x)之间的关系 ①若 f(-x)=-f(x)(或 f(-x) +f(x)=0) ,则为奇函数; ②若 f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0),则 f(x)为偶函数; ③若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数; ④若 f(-x) ≠f(x)且 f(-x)≠- f(x),则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 <2>图象法:
用心 爱心 专心 -2-

<3>性质法:

<4>一些重要类型的奇偶函数 函数 f(x)=ax+a-x 为偶函数; 函数 f(x)=ax-a-x 为奇函数; 函数 f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中(a>0 且 a≠1)为奇函数;

1? x
函数 f(x)=loga( 1 ? x )为奇函数(a>0 且 a≠1); 函数 f(x)= loga( x ?

x 2 ? 1 )为奇函数(a>0 且 a≠1)

2、例题解析 〖例 1〗讨论下述函数的奇偶性:

(1) f ( x ) ?

16 x ? 1 ? 2 x 2x

;

?1n ( x ? 1 ? x )( x ? 0) ? ( 2 ) f ( x ) ? ?0 ( x ? 0) ; ? ?1n ( 1 ? x ? ? x )( x ? 0) x 2 ? 1 ? 1);

(3) f ( x ) ? 1og 2 ( 1 ? x 2 ?
( 4) f ( x ) ? a2 ? x2 | x ? a | ?a

(常数 a ? 0 );

解: (1)函数定义域为 R,

f (? x) ?

16 ? x ? 1 ? 2 ? x 2?x

? 2x

1 16 x

?1 ?1 ? 2x ?

1 ? 16 x 4x

?1 ?

16 x ? 1 ? 2 x 2x

? f ( x)


∴f(x)为偶函数;

f ( x) ?
(另解)先化简:

16 x ? 1 4x

? 1 ? 4 x ? 4 ?x ? 1

,显然 f (x ) 为偶函数;从这可以看出,

用心

爱心

专心

-3-

化简后再解决要容易得多。 (2)须要分两段讨论: ①设

x ? 0, ? ? x ? 0, ? f ( ? x ) ? 1n ( 1 ? x ?
②设 x ? 0,? ? x ? 0,
? f ( ? x ) ? 1n ( ? x ? 1 ? ? x ) ? 1n 1 1? x ? ? x ? ?1n ( 1 ? x ? ? x ) ? ? f ( x )

x ) ? 1n

1 x ?1 ? x

? ?1n ( x ? 1 ? x ) ? ? f ( x );

③当 x=0 时 f(x)=0,也满足 f(-x)=-f(x); 由①、②、③知,对 x∈R 有 f(-x) =-f(x), ∴f(x)为奇函数;

?1 ? x 2 ? 0 ? ?? 2 ? x2 ? 1 ?x ? 1 ? 0 (3) ? ,∴函数的定义域为 x ? ?1 ,
∴f(x)=log21=0(x=±1) ,即 f(x)的图象由两个点 (-1,0)与 (1,0)组成,这两点既关 于 y 轴对称,又关于原点对称,∴f(x)既是奇函数,又是偶函数; (4)∵x2≤a2, ∴要分 a >0 与 a <0 两类讨论,

?? a ? x ? a ? 函数的定义域为 [( ? a ,0) ? ( 0, a )], ? ?| x ? a |? a ①当 a >0 时,

?| x ? a |? 0,? f ( x ) ?

a2 ? x2 x
a2 ? x2 ? x ? 2a
,∴当 a >0 时,f(x)为奇函数;

?| x ? a |? 0,? f ( x ) ?

, 取定义域内关于原点对 称的两点 x1 ?

a 2

, x2 ? ?

a 2

,

a a 3 3 ? f ( ) ? f (? ) ? ? ? 0,? 当 a ? 0时, f ( x ) 2 2 5 3 既不是奇函数,也不是偶函数
〖例 2〗f(x)是定义在(-∞,-5] ? [5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在[5,+∞) 上单调递减,试判断 f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明. 解析:任取 x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5.

因 f(x)在[5,+∞]上单调递减,所以 f(-x1)<f(-x2) ? f(x1)<-f(x2) ? f (x1)>f(x2) ,即 f(x)在(-∞,-5]上单调减函数. 二、分段函数的奇偶性 1、分段函数奇偶性的判定步骤 分析定义域是否关于原点对称; 对 x 的值进行分段讨论,寻求 f(x)与 f(-x)在各段上的关系; 综合(2)在定义域内 f(x)与 f(-x)的关系,从而判断 f(x)的奇偶性。 注:奇偶性是函数的一个整体性质,不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。 2、例题解析
用心 爱心 专心 -4-

? x2 ? x ? 4 ( x ? 0) ? ? x f ( x) ? ? 2 ?? x ? x ? 4 ( x ? 0) ? x ? 〖例 1〗已知函数 。试判断 f ( x ) 的奇偶性
分析:确定定义域 ? 判断每一段上 f ( ? x) 与 f ( x ) 的关系 ? 判断整个定义域上 f ( ? x) 与

f ( x ) 的关系 ? 结论。
解答:由题设可知函数的定义域关于原点对称。 当 x ? 0 时, ? x ? 0

则f ( x) ? f (? x) ?

x2 ? x ? 4 x

, ? x2 ? x ? 4 x ,

(? x)2 ? (? x) ? 4

?x ? f ( x ) ? f ( ? x ). 当 x ? 0, ? x ? 0, 则f ( x) ? ? f (? x) ? , x (? x)2 ? (? x) ? 4 x2 ? x ? 4

?x ? f ( x ) ? f ( ? x ). ? f ( x )为偶函数。

??

x2 ? x ? 4 x

,

综上所述,对于x ? 0都有 f ( ? x ) ? f ( x )成立,
注:分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内 x 取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据 x 的范围取相应的解析式化简,判断 f(x)与 f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.

〖例 2〗判断函数

的奇偶性

解析:显然函数 f(x)的定义域为:(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, ∵当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x); 综上可知:对于定义域内的任意 x,总有 f(-x)=-f(x)成立,∴函数 f(x)为奇函数; 三、抽象函数的奇偶性 1、相关链接 判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现 f(x),f(-x)); 巧妙赋值,合理、灵活变形配凑; 找出 f(x)与 f(-x)关系,得出结论。 2、例题解析
用心 爱心 专心 -5-

〖例 1〗已知函数 f(x)对一切 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y), (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(-3)=a,用 a 表示 f(12). 分析:判断函数奇偶性的一般思路是利用定义,看 f(-x)与 f(x)的关系,进而得出函数的奇偶性; 解决本题的关键是在 f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现 f(-x);用 a 表示 f(12)实际上是如何用 f(-3)表示 f(12),解决该问题的关键是寻找 f(12)与 f(-3)的关系. 解答:

?1? 显然 f ( x )的定义域是 R,关于原点对称。
又 ? 函数对一切 x、 y都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ), ? 令 x ? y ? 0,得 f (0) ? 2 f (0),? f (0) ? 0. 再令 y ? ? x , 得 f (0) ? f ( x ) ? f ( ? x ), ? f ( ? x ) ? ? f ( x ),? f ( x )为奇函数。
(2) ? f ( ? 3) ? a且 f ( x )为奇函数, ? f (3) ? f ( ? 3) ? ? a. 又 ? f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ), x、 y ? R, ? f (12) ? f (6 ? 6) ? f (6) ? f (6) ? 2 f (6) ? 3 f (3 ? 3) ? 4 f (3) ? ?4 a.
〖例 2〗 设函数 f ( x ) 在 ( ?? ,?? ) 上满足 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) , f (7 ? x ) ? f (7 ? x ) ,且在 闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 。 (1)试判断函数 y ? f (x ) 的奇偶性; (2)试求方程 f ( x ) ? 0 在闭区间 [?2005 ,2005 ] 上的根的个数,并证明你的结论。 解析: (1)由 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) ,得函数 y ? f (x ) 的对称轴为 x ? 2 ∴ f ( ?1) ? f (5) 而 f (5) ? 0 ? f (1) ? f ( ?1) ,即 f ( x ) 不是偶函数 又 ∵ f ( x ) 在[0,7]上只有 f (1) ? f (3) ? 0 从而知函数 y ? f (x ) 不是奇函数 故函数 y ? f (x ) 是非奇非偶函数 ∴ f ( 0) ? 0

? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) ?? ? f ( 4 ? x ) ? f (14 ? x ) ? ? f (7 ? x ) ? f (7 ? x ) ? f ( x ) ? f (14 ? x ) (2)

? f ( x ) ? f ( x ? 10 )
从而知函数 y ? f (x ) 的周期为 T=10
用心 爱心 专心 -6-

又 f (3) ? f (1) ? 0 ∴ f (11) ? f (13 ) ? f ( ?7) ? f ( ?9) ? 0 故 f ( x ) 在[0, 10]和 [?10 ,0] 上均有 2 个根, 从而可知函数 y ? f (x ) 在[0, 2000]上有 400 个根, 在[2000,2005]上有 2 个根,在 [?2000 ,0] 上有 400 个根,在 [ ?2005 ,?2000 ] 上没有根。 ∴ 函数 y ? f (x ) 在 [?2005 ,2005 ] 上有 802 个根。 注:抽象函数奇偶性的判断,关键是要充分理解题意,灵活选取变量的值。 四、函数奇偶性应用 1、相关链接 应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关 于 f (x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式. (3)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法:利用 f(x)±f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数 的值或方程求解. (4)应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 2、例题解析 【例】 (1)(2011· 安徽高考)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, x≤0 时, 当 f(x)=2x2-x, f(1)=( 则 ) ( )-3 ( )-1 ( )1 ( )3

f ?x? ?
(2)(2011·辽宁高考)若函数

x

? 2x ? 1 ? ( x ? a ) 为奇函数,则 a=(

)

?A?

1 2

?B?

2 3

?C?

3 4

?D?1
f 2x ? 2 ? f ( 2 )

(3)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 是( )

?

?

的 x 的取值范围

? A ?? ?? , 0 ?

? B ? ? 0,

2

?

? C ? ? 0, 2

2

?

?D? (

2 , ?? )

【方法诠释】(1)将求 f(1)的值转化为求 f(-1)的值的问题求解; (2)由题意可知 f(-x)+f(x)=0,从而得到关于 x 的恒等式,再构建 a 的方程求解; (3)根据奇偶性得到

f 2x ? 2 ? f | 2x ? 2 | ,

?

? ?

?

将原不等式转化为

f | 2x ? 2 | ? f

?

? ? 2?,

从而求解. 【解析】(1)选 .由奇函数的定义有 f(-x)=-f(x),所以 f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2+1]=-3.

用心

爱心

专心

-7-

x
(2)选

? 2x ? 1 ?? x ? a ? ? ?2x ? 1 ?? ? x ? a ? .∵函数 f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0 恒成立, 即

?

?x

?0

恒成立.可化为(2x+1) (x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立.整理得 2(1-2a)x=0 恒成立,则必有 1-2a=0,

?a ?

1 2

.

(3)选 .∵f(x)为偶函数,

? f 2x ? 2 ? f | 2x ? 2 | ,
又 f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴由

?

? ? ?

?

f | 2x ? 2 | ? f ( 2 )

?

得:

2x ? 2 ?

2,

解得: 0 ? x ?

2.

注:利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转 化为已知区间上的函数值、解析式、图象、单调性问题求解,充分体现了数学的转化与化归 思想. 五、函数的周期性及其应用 1、相关链接 关于周期函数的常用结论: (1)若对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x 都有:

f ?x ? a? ? ?


1 f ?x?


,则函数 f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;

1
②f(x+a)= f ( x ) ,则函数 f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;

f ?x ? a? ?


1 f ?x?

? a ? 0 ?,
,则函数 f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;

(2)如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则 ①kT(k∈Z,k≠0)也是函数 y=f(x)的周期,即 f(x+kT)=f(x); ②若已知区间[m,n](m<n)上的图象,则可画出区间[m+kT,n+kT](k∈Z,k≠0)上的图象. 2、例题解析

f ? x ? 1? ? ?
〖例 1〗(2011·新课标全国卷改编)已知函数 f(x)对任意的实数 x 满足: 当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2. (1)求 f(2 012); (2)确定函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点个数.

1 f ?x?

,


f ? x ? 1? ? ?
【方法诠释】解答(1)题需先由
用心

1 f (x)
专心

探究出函数 f(x)的周期,进而
-8-

爱心

利用周期性,求 f(2 012);(2)作出 y=f(x)及 y=|lgx|的图象,从而使问题得解.

f ? x ? 1? ? ?
【解析】(1)∵对任意 x∈R,都有

1 f (x)
1 ? f ?x?. 1 ? f ?x?

? f ? x ? 2 ? ? f ? ? x ? 1? ? 1? ? ?

1 f ? x ? 1?

??

∴f(x)是以 2 为周期的函数, ∴f(2 012)=f(2×1 006+0)=f(0)=02=0. (2)根据 f(x)的周期性及 f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下

可验证当 x=10 时,y=|lg10|=1; x>10 时,|lgx|>1,因此结合图象及数据特点 y=f(x)与 y=|lgx|的图象交点共有 10 个. 〖例 2〗 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 设 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈ [0,2] f(x)=2x-x2. 时, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013). 【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2] ,由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得 x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1. 五、函数奇偶性与周期性的综合应用 〖例〗已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x) =f(7+x)且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0, (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性;
用心 爱心 专心 -9-

(2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上根的个数,并证明你的结论. 思路分析:(1)判断函数奇偶性的一般思路是利用定义,看 f(-x)与 f(x)的关系,但本题不易出现 f(-x)与 f(x), 但可先假设该函数是奇函数或偶函数, 看能否得出不正确的结论, 进而得出结论(即 举反例来判断函数的奇偶性).(2)先求函数的周期,然后在它的一个周期内求解,再由其周期性 求出定义域内的全部解. 解析:(1)若 y=f(x)为偶函数, 则 f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x), ∴f(7)=f(3)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是偶函数. 若 y=f(x)为奇函数, 则 f(0)=f(-0)=-f(0),∴f(0)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是 奇函数. 综上可知:函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)∵f(x)=f(2+(x-2))=f(2-(x-2))=f(4-x), f(x)=f(7+(x-7))=f(7-(x-7)) =f(14-x), ∴f(14-x)=f(4-x),即 f(10+(4-x))=f(4-x) ∴f(x+10)=f(x),即函数 f(x)的周期为 10. 又∵f(1)=f(3)=0, ∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z), f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z), 即 x=1+10n 和 x=3+10n(n∈Z)均是方程 f(x)=0 的根. 由-2 011≤1+10n≤2 011 及 n∈Z 可得 n=0,±1,±2,±3,? ,±201,共 403 个; 由-2 011≤3+10n≤2 011 及 n∈Z 可得 n=0,±1,±2,±3,? ,±200,-201,共 402 个; 所以方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上的根共有 805 个. 【方法提示】(1)如何判断函数不具有某性质 判断函数不具有某性质只需举出一个反例即可; (2)奇偶函数根的个数问题 由于奇偶函数的定义域关于原点对称,且 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x),所以,除去根为零外,如果有解,则解的个数为偶数个. 注:方程 f(x)=A(其中 A 为非零常数)的解的个数,如果函数 f(x)为偶函数时解的个数为偶数个, 如果函数 f(x)为奇函数时解的个数不一定为偶数个. 六、函数的奇偶性与单调性的综合应用 〖例〗定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足对任意 x、y ? R 恒有 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,且 f ( x ) 不 恒为 0。 (1)求 f (1) 和 f (?1) 的值; (2)试判断 f ( x ) 的奇偶性,并加以证明; (3)若 x ? 0 时 f ( x ) 为增函数,求满足不等式 f ( x ? 1) ? f ( 2 ? x ) ? 0 的 x 的取值集合。 解析: (1)令 x ? y ? 1 ,得 f (1) ? f (1) ? f (1) 令 x ? y ? ?1 ,得 f (1) ? f ( ?1) ? f ( ?1)
用心 爱心 专心 - 10 -

∴ f (1) ? 0

∴ f ( ?1) ? 0 (2)令 y ? ?1 ,由 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,得 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( ?1) 又 f ( ?1) ? 0 ∴ f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x ) 为偶函数

又 ∵ f ( x ) 不恒为 0

(3)由 f ( x ? 1) ? f ( 2 ? x ) ? 0 知 f ( x ? 1) ? f ( 2 ? x ) ∴ ∴ 又由(2)知 f ( x ) ? f (| x |) 又 ∵ f ( x ) 在 [ 0, ?? ) 上为增函数

f ( x ? 1) ? f ( 2 ? x ) x ?1 ? 2 ? x

1 {x | x ? } 2 故 x 的取值集合为
注: (1)对抽象函数解不等式问题,应充分利用函数的单调性,将“ f ”脱掉,转化为我们 会求的不等式; (2)奇偶函数的不等式求解时,要注意到:奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性,偶 函数在对称的单调区间上有相反的单调性。 【高考零距离】 1、 (2012·浙江高考文科·T16)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0, 1]时,f(x)=x+1,则错误!不能通过编辑域代码创建对象。=_______________。 【解题指南】考查函数的性质,利用函数的周期性和奇偶性的性质把所求函数值化到已知的区 间里面.

3 1 1 3 f( ) f ( ? ) ? f ( ) 2 = 2 2 =2 . 【解析】 3
答案: 2 . 2、 (2012·湖南高考文科·T9)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期 2π 的偶函数,f(x)的

? ? 导函数,当 X∈[0,π ] 时, 0<f(x)<1; 当 x∈(0,π ) 且 x≠ 2 时 , (x- 2 )f’(x)>0 ,
则函数 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 .2 .4 .5 .8 【解题指南】有偶函数得出值域,由导数得出单调区间及相应的单调性,根据曲线的交点判 断零点的个数。 【解析】选 . 由当 x∈(0,π ) 且 x≠错误!不能通过编辑域代码创建对象。时 ,
用心 爱心 专心 - 11 -

(x ?

?
2

) f ?( x ) ? 0
,知

? ?? ?? ? x ? ? 0, ? 时,f ?( x ) ? 0, f ( x )为减函数; ? ? , ? ? 时,f ?( x ) ? 0, f ( x )为增函数 x ? 2? ?2 ?


x ? ? 0, ? ?

时,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐标系

中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x ) 草图像如下,由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 4 个.
y

1
y ? f ( x)

?2?

o

2?
y ? sin x

x

?1
故选 。 3、 (2012·陕西高考数学文科·T2)相同下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(
y ? x ?1
y ? ? x3

)

( ) ( ) ( ) ( ) y ? x| x| 【解题指南】根据奇函数和增函数的定义进行判断;或根据已知函数的性质和图象直接判断,也 可以用排除法求解. 【解析】 选 选项 为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项 是奇函数,不是增函数;选项 是 反比例函数,为奇函数,不是增函数;选项 ,取绝对值号,变为分段函数,符合题意. 4、 (2011·广东高考理科·T4)设函数 f ( x ) 和 g (x ) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列 结论恒成立的是 . f ( x ) +| g (x ) |是偶函数 . f ( x ) -| g (x ) |是奇函数 .| f ( x ) |- g (x ) 是奇函数

y?

1 x

g (x) 是偶函数 .| f ( x ) | +
【 精 讲 精 析 】 选

【思路点拨】本题主要考查函数的奇偶性,可由奇偶性的概念进行判断. . 由 题 意 f (? x) ? f ( x), g (? x) ? ? g ( x) . 令 F ( x) ? f ( x)? | g ( x) | , 则

F (? x) ? f (? x)? | g (? x) |? f ( x)? | g ( x) |? F ( x) . ? F (x) 是偶函数.故选 .
2 5. (2011· 安徽高考文科· T11) f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, x≤0 时, f ( x ) = 2x ? x , 设 当

则 f (1) ?

.
用心 爱心 专心 - 12 -

f ?1? ? ? f ( ?1). 【思路点拨】由奇函数的定义有 f ( ? x) ? ? f ( x), 所以
【 精 讲 精 析 】 答 案 :-3. 由 奇 函 数 的 定 义 有

f ( ? x) ? ? f ( x), 所 以

f ?1? ? ? f ? (

? ?) ? ?[ 22? 1

( ?1 ) ?
.

1 ]

3

6. (2011·广东高考文科·T12)设函数 f(x)=x3cosx+1,若 f(a)=11,则 f(-a)=_______. 【思路点拨】令 g(x)=x3cosx,利用 g(x)是奇函数,求出 g(a)=10,从而 f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1,可得 结论. 【精讲精析】答案-9 令 g(x)=x3cosx,则 f(x)= g(x)+1 且 g(x)为奇函数,所以 g(-a)=-g(a).由 f(a)=11 得 g(a)+1=11,所以 g(a)=10 f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9 7. (2011·浙江高考理科·T11)若函数

f ( x) ? x 2 ? x ? a

为偶函数,则实数 a ?

【思路点拨】两个偶函数的和函数亦是偶函数,偶函数与其它函数的和函数为非奇非偶函数. 【精讲精析】解法一:∵ f ( x ) 为偶函数,∴ f ( ? x ) ? f ( x ) , 即

x 2 ? | x ? a |? ( ? x ) 2 ? | ? x ? a |? x ? a ? x ? a

恒成立,∴ a ? 0 .

2 y ? x?a y? x a 解法二:函数 y ? x 为偶函数,函数 是由偶函数 向左或向右平移了 个单

位,要使整个函数为偶函数,则需 a ? 0 . 【考点提升训练】 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ( )y=-x3,x∈R ( )y=sinx,x∈R

)

1
( )y=x,x∈R ( )y=( 2 )x,x∈R )

2.(2012·宿州模拟)已知 f(x)满足 f(x+4)=f(x)和 f(-x)=-f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)=( ( )-2 ( )2 ( )-98 ( )98 3.(预测题)f(x),g(x)都是定义在 R 上的奇函数,且 F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若 F(a)=b,则 F(-a)=( ) ( )-b+4 ( )-b+2 ( )b-4 ( )b+2

2
4.函数 y=lg( 1 ? x -1)的图象关于( )

( )x 轴成轴对称图形 ( )y 轴成轴对称图形 ( )直线 y=x 成轴对称图形 ( )原点成中心对称图形 5.(2012·临沂模拟)若函数 f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)=loga(x+k)的图象是( )

用心

爱心

专心

- 13 -

6.(2012·莆田模拟)若 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数,且 f(x)-g(x)=ex,则有( ( )f(2)<f(3)<g(0) ( )g(0)<f(3)<f(2) ( )f(2)<g(0)<f(3) ( )g(0)<f(2)<f(3) 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)



? x ? 2 ?? x ? k ?
7.设函数 f(x)=

tanx

为奇函数,则 k=______.

8.(2011·广东高考)设函数 f(x)=x3cosx+1,若 f(a)=11,则 f(-a)=______. 9.(2012·泉州模拟)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=f(1-x),则 f(2 012)=________. 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(易错题)设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实 数 m 的取值范围.

1
11.(2012·珠海模拟)已知函数 f(x)=a-

2x ? b

是偶函数,a 为实常数.

(1)求 b 的值; (2)当 a=1 时, 是否存在 n>m>0,使得函数 y=f(x)在区间 [m,n] 上的函数值组成的集合也是 [m,n] , 若存在,求出 m,n 的值,否则,说明理由. (3)若在函数定义域内总存在区间[m,n](m<n),使得 y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的 集合也是[m,n],求实数 a 的取值范围. 【探究创新】 (16 分)设函数 f(x)的定义域为 ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M? ),有 x+l∈ , 且 f(x+l)≥f(x),则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数. (1)如果定义域为[-1,+∞)的函数 f(x)=x2 为[-1,+∞)上的 m 高调函数,求实数 m 的取值范围. (2)如果定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=|x-a2|-a2,且 f(x)为 R 上的 4 高调函 数,求实数 a 的取值范围. 答案解析 1.【解析】选 .在定义域内为奇函数的为 , , ,又 y=sinx 在 R 上不单调,y=x 在 R 上为 增函数,故选 . 2.【解析】选 .由已知得 f(x)为以 4 为周期的奇函数, ∴f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1), 又 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,∴f(7)=-2×12=-2. 3.【解析】选 .∵函数 f(x),g(x)均为奇函数, ∴f(a)+f(-a)=0,g(a)+g(-a)=0, ∴F(a)+F(-a)=3f(a)+5g(a)+2+3f(-a)+5g(-a)+2=4,
用心 爱心 专心

- 14 -

∴F(-a)=4-F(a)=4-b. 4.【解题指南】先确定函数的定义域,再判断函数的奇偶性,从而利用奇偶性判断其图象的对 称性.

2

1? x

【解析】选 .函数 y=f(x)=lg( 1 ? x -1)=lg 1 ? x , ∴函数 y=f(x)的定义域为(-1,1),

1? x
又∵f(-x)=lg 1 ? x

1? x
=-lg 1 ? x =-f(x),

2
∴y=lg( 1 ? x -1)为奇函数. ∴其图象关于原点成中心对称图形. 5.【解析】选 .因为 f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,a≠1)为 R 上的奇函数, ∴f(0)=(k-1)-1=0,得 k=2, ∴f(x)=ax-a-x. 又∵f(x)为 R 上的减函数,∴0<a<1. 故 g(x)=loga(x+k)=loga(x+2)的图象是由 y=logax(0<a<1)的图象向左平移两个单位而得到,故选 . 6. 【解析】选 .∵f(x)-g(x)=ex, 又 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴f(-x)-g(-x)=e-x,即-f(x)-g(x)=e-x,

?g?x? ?

?e x ? e ? x 2

,f ?x? ?

ex ? e?x 2

.

可知 f(x)是 R 上的增函数, ∴0<f(2)<f(3),g(0)=-1<0, ∴g(0)<f(2)<f(3).

? x ? 2 ?? x ? k ?
7.【解析】∵f(x) = ∴f(-x)=-f(x),

tanx

为奇函数,

即:

? ? x ? 2 ?? ? x ? k ? ? x ? 2 ?? x ? k ? tan ? ? x ? tanx =?

得:(2+k)x=0,又 x≠kπ + 2 (k∈Z)时恒成立. ∴2+k=0,得 k=-2. 答案:-2 8.【解析】令 g(x)=x3cosx,则 f(x)=g(x)+1 且 g(x)为奇函数,所以 g(-a)=-g(a).
用心 爱心 专心 - 15 -

由 f(a)=11 得 g(a)+1=11,所以 g(a)=10, f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9. 答案:-9 9.【解析】∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,又 f(x)=f(1-x), ∴f(1)=f(0)=0,∴f(-1)=0, 令 x=2,得 f(2)=f(-1)=0, ∴f(-2)=0,同理可得 f(2 012)=0. 答案:0 10.【解析】由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1), 即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上单调递减且 f(x)在[-2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数,



? ?2 ? 1 ? m ? 2 ? ? ?2 ? m ? 2 , ?1 ? m ? m ?

? ? ?1 ? m ? 3 ? ? ?2 ? m ? 2 , ? 1 1 ?m ? 2 即? 解得-1≤m< 2 .
【误区警示】本题易忽视 m,1-m∈[-2,2]而致误.

1
11.【解析】(1)由已知,可得 f(x)=a-

2x ? b

b

b

的定义域为 =(-∞, 2 )∪( 2 ,+∞).

又 y=f(x)是偶函数,故定义域 关于原点对称. 于是,b=0. 又对任意 x∈ ,有 f(x)=f(-x),可得 b=0. 因此所求实数 b=0.

1
(2)由(1),可知 f(x)=a-

2x

( =(-∞,0)∪(0,+∞)).

1
考察函数 f(x)=a-

2x

的图象,可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,又 n>m>0,

∴y=f(x)在区间[m,n]上是增函数.

因 y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n].∴有

? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

1 2m 1 2n

?m , ?n

用心

爱心

专心

- 16 -

1
即方程 1- 2x =x,也就是 2x2-2x+1=0 有两个不相等的正根. ∵Δ =4-8<0,∴此方程无解.故不存在正实数 m,n 满足题意.

1
(3)由(1),可知 f(x)=a-

1
( =(-∞,0)∪(0,+∞)).考察函数 f(x)=a-

2x

2x

的图象,

可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数, f(x)在区间(-∞,0)上是减函数. 因 y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n] ,故必有 m、n 同号.

①当 0<m<n 时,f(x)在区间[m,n]上是增函数,有

1 ? ? a ? 2m ? m ? , ? ?a ? 1 ? n ? ? 2n

1
即方程 x=a- 2x ,也就是

2x2-2ax+1=0 有两个不相等的正实数根,因此 取方程 2x2-2ax+1=0 的两根即可).

?a ? 0 , ? 2 ? ? ? 4a ? 8 ? 0

解得 a> 2 (此时,m、n(m<n)

②当 m<n<0 时,f(x)在区间[m,n]上是减函数,有

? ?a ? ? ? ?a ? ? ?

1 2m 1 2n

?n , ?m
化简得(m-n)a=0,解得 a=0(此

1
时,m、n(m<n)的取值满足 mn= 2 ,且 m<n<0 即可). 综上所述,所求实数 a 的取值范围是 a=0 或 a> 2 . 【变式备选】已知函数 f(x)=ex-e-x(x∈R 且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都成立?若存在,求出 t;若不存在,请 说明理由.

1
【解析】(1)∵f(x)=ex-( e )x,且 y=ex 是增函数,

1
y=-( e )x 是增函数,所以 f(x)是增函数. 由于 f(x)的定义域为 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), 所以 f(x)是奇函数. (2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数, ∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 恒成立
用心 爱心 专心 - 17 -

?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切 x∈R 恒成立 ?x2-t2≥t-x 对一切 x∈R 恒成立 ?t2+t≤x2+x 对一切 x∈R 恒成立

1 (x ? ) 2 min 2 ?(t+ 2 )2≤ 1 1

1

?(t+ 2 )2≤0?t=- 2 .

1
即存在实数 t=- 2 , 使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都成立. 【探究创新】 【解析】(1)f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示,要使得 f(-1+m)≥f(-1),有 m≥2;x≥-1 时,恒有 f(x+2)≥f(x),故 m≥2 即可.所以实数 m 的取值范围为[2,+∞); (2)由 f(x)为奇函数及 x≥0 时的解析式知 f(x)的图象如图(2)所示, ∵f(3a2)=a2=f(-a2), 由 f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2), 故-a2+4≥3a2,从而 a2≤1, 又 a2≤1 时,恒有 f(x+4)≥f(x),故 a2≤1 即可. 所以实数 a 的取值范围为[-1,1].

用心

爱心

专心

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