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高中数学必修4三角函数测试题答案详解


三角函数
一、选择题 1.已知 ???为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 2.若 sin θcos θ>0,则 θ 在( A.第一、二象限 C.第一、四象限 3.sin
4π 5π ? 4π ? cos tan ?- ? =( 3 6 ? 3 ?
3 3 4
? 所在的象限是( 2

).

>
B.第二或第三象限 D.第二或第四象限 ). B.第一、三象限 D.第二、四象限 ).

A.-

B.

3 3 4

C.-

3 4

D. ).

3 4

4.已知 tan θ+ A.2

1 =2,则 sin θ+cos θ 等于( tan?

B. 2
1 5

C.- 2

D.± 2 ). D.
4 3

5.已知 sin x+cos x= (0≤x<π),则 tan x 的值等于( A.-
3 4

B.-

4 3

C.

3 4

6.已知 sin ??>sin ?,那么下列命题成立的是( A.若?,??是第一象限角,则 cos ??>cos ? B.若?,??是第二象限角,则 tan ??>tan ? C.若?,??是第三象限角,则 cos ??>cos ? D.若?,??是第四象限角,则 tan ??>tan ? 7.已知集合 A={?|?=2kπ± C= {γ|γ=kπ±
2π ,k∈Z},则这三个集合之间的关系为( 3

).

2π 2π ,k∈Z},B={?|?=4kπ± ,k∈Z}, 3 3

).

A.A ? B ? C

B.B ? A ? C

C.C ? A ? B

第 1 页 共 7 页

D.B ? C ? A 8.已知 cos(?+?)=1,sin ?= ,则 sin ??的值是( A.
1 3
1 3

). D.- ).
2 2 3

B.-

1 3

C.

2 2 3

9.在(0,2π)内,使 sin x>cos x 成立的 x 取值范围为(
π π 5π A. ? , ? ∪ ? π, ? ? ? ? ? ?4 2? π 5π C. ? , ? ? ? ?4 4 ? ? 4 ?

B. ? , π ? ? ?
π ?4 ? ? 5π 3π ? , ? ? 4 2 ?

D. ? , π ? ∪ ? ? ? ?
π ?4

10.把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动 把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 示的函数是( ).

π 个单位长度,再 3

1 倍(纵坐标不变), 得到的图象所表 2
x π B.y=sin ? + ? ,x∈R ? ?

π A.y=sin ? 2x - ? ,x∈R ? ? 3? ? π C.y=sin ? 2x + ? ,x∈R ? ? 3? ?

?2 6? 2π D.y=sin ? 2x + ? ,x∈R ? ? 3 ? ?

二、填空题 11.函数 f(x)=sin2 x+ 3 tan x 在区间 ? , ? 上的最大值是 ?4 3? ? ?
π π



2 5 π , ≤?≤π,则 tan ?= . 2 5 π π 3 13.若 sin ? + ? ? = ,则 sin ? -? ? = . ? ? ? ? 5 ?2 ? ?2 ? π π 14.若将函数 y=tan ? ?x + ? (ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函 ? ? 4? 6 ? π 数 y=tan ? ?x + ? 的图象重合,则 ω 的最小值为 . ? ? 6? ?

12.已知 sin ?=

15.已知函数 f(x)= 是 .

1 1 (sin x+cos x)- |sin x-cos x|,则 f(x)的值域 2 2

π 16.关于函数 f(x)=4sin ? 2x + ? ,x∈R,有下列命题: ? ? ? 3? π ①函数 y = f(x)的表达式可改写为 y = 4cos ? 2x - ? ; ? ? ? 6?

②函数 y = f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数; ③函数 y=f(x)的图象关于点(-
? ,0)对称; 6

第 2 页 共 7 页

④函数 y=f(x)的图象关于直线 x=- 其中正确的是______________. 三、解答题 17.求函数 f(x)=lgsin x+

? 对称. 6

2 cos x ? 1 的定义域.

18.化简:
-sin(180 ?+? )+sin(-? )- tan 360 ?+? ) ( ; tan ?+180 ?)+cos ? )+cos 180 ?-? ) ( (- ( (2) sin(?+nπ)+ sin(?-nπ) (n∈Z). sin(?+nπ)cos ?-nπ) (

(1)

π 19.求函数 y=sin ? 2x - ? 的图象的对称中心和对称轴方程. ? ? ? 6?

20.(1)设函数 f(x)=

sin x+a (0<x<π),如果 a>0,函数 f(x)是否存在 sin x

最大值和最小值,如果存在请写出最大(小)值; (2)已知 k<0,求函数 y=sin2 x+k(cos x-1)的最小值.

第 3 页 共 7 页

参考答案 一、选择题 1.D 解析:2kπ+π<?<2kπ+ π,k∈Z ? kπ+
3 2

? ? 3 < <kπ+ π,k∈Z. 4 2 2

2.B 解析:∵ sin θcos θ>0,∴ sin θ,cos θ 同号. 当 sin θ>0,cos θ>0 时,θ 在第一象限;当 sin θ<0,cos θ<0 时,θ 在第 三象限.
3 3 π ?? π ?? π? ? 3.A 解析:原式= ? ? sin ?? ? cos ?? ? tan ? =- . 4 3 ?? 6 ?? 3? ?

4.D 解析:tan θ+

sin ? cos? 1 1 1 = + = =2,sin?? cos ?= . 2 tan? sin ? cos? cos? sin ?

(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=2.sin??+cos ?=± 2 . 5.B

? sinx+cosx= 5 解析:由 ? 2 ? sin x+cos2 x=1
解得 cos x= 或- . 又 0≤x<π,∴ sin x>0.
4 5 3 5

1

得 25cos2 x-5cos x-12=0.

若 cos x= ,则 sin x+cos x≠ , ∴ cos x=- ,sin x= ,∴ tan x=- . 6.D 解析:若 ?,??是第四象限角,且 sin ?>sin ?,如图,利用单位圆中的三角函数线确定 ?,??的终 边,故选 D.
3 5 4 5 4 3

4 5

1 5

2π 7.B 解析:这三个集合可以看作是由角± 的 3

(第 6 题`)

终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到的角的集合. 8.B 解析:∵ cos(?+?)=1, ∴ ?+?=2kπ,k∈Z.
第 4 页 共 7 页

∴ ?=2kπ-?. ∴ sin ?=sin(2kπ-?)=sin(-?)=-sin ?=- . 9.C 解析:作出在(0,2π)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横 坐标 和
? 4 5? ,由图象可得答案.本题也可用单位圆来解. 4 1 3

π? ? 10.C 解析:第一步得到函数 y=sin ? x ? ? 的图象,第二步得到函数 y= 3? ? π? ? sin ? 2x ? ? 的图象. 3? ?

二、填空题 11.
3 tan

π π π 15 .解析:f(x)=sin2 x+ 3 tan x 在 ? , ? 上是增函数,f(x)≤sin2 + ?4 3? 4 3 ? ?

π 15 = . 4 3
5 2 5 π , ≤?≤π?cos ?=- ,所以 tan ?=- 2 5 5

12.-2.解析:由 sin ?= 2.

13. .解析:sin ? + ? ? = ,即 cos ?= ,∴ sin ? ? ? ?
3 5
π ?2

π 3 ? -? ? =cos ?= . 5 ? ?2 ? 1 π π 14. .解析:函数 y=tan ? ?x+ ? (ω>0)的图象向右平移 个单位长度 ? ? 4? 6 2 ?

3 5

3 5

后得到函数 y=tan ?? ? x- ?+ ? =tan ? ?x+ - ? ? 的图象,则 = - ω+kπ(k∈Z), 6 ? 4? 4 6 ? 6 4 6 ? ? ?
1 1 ω=6k+ ,又 ω>0,所以当 k=0 时,ωmin= . 2 2
? 2? 15. ?-1, ? . 2 ? ?
? ? π? π?

?

π

π

?

π

π

π

解析:f(x)= 即

1 1 cos x(sin x ≥cos x) (sin x+cos x)- |sin x-cos x|= ? ? 2 2 ?sin x(sin x<cos x)

f(x)等价于 min{sin x,cos x},如图可知,
?π? ?4?
2 ,f(x)min=f(π) =-1. 2

f(x)max=f ? ? =

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(第 15 题)

16.①③.
π π π 解析:① f(x)=4sin ? 2x ? ? =4cos ? ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 3? ?2 3?

6? ? π =4cos ? 2x ? ? . ? ? 6? ? 2π ② T= =π,最小正周期为 π. 2

π =4cos ? ? 2x ? ? ? ?

③ 令 2x+ =kπ,则当 k=0 时,x=-
? π ? ∴ 函数 f(x)关于点 ?- , ? 对称. 0 ? 6 ?

π 3

π , 6

④ 令 2x+ =kπ+ ,当 x=- ∴ ①③正确. 三、解答题 17.{x|2kπ<x≤2kπ+
? ,k∈Z}. 4

π 3

π 2

1 π 时,k=- ,与 k∈Z 矛盾. 6 2

解析:为使函数有意义必须且只需 ?

?sin x >0 ? ? ? 2cos x ? 1 ≥0

① ②

先在[0,2π)内考虑 x 的取值,在单位圆中,做出三角函数线. 由①得 x∈(0,π),
? 7 ]∪[ π,2π]. 4 4 ? π? 二者的公共部分为 x∈ ? 0, ? . ? 4?
(第 17 题)

由②得 x∈[0,

所以,函数 f(x)的定义域为{x|2kπ<x≤2kπ+ 18.(1)-1;(2) ± 解析:(1)原式=
2 . cos ?

? ,k∈Z}. 4

sin ?-sin ?-tan ? tan ? =- =-1. tan ?+cos ?-cos ? tan ?
第 6 页 共 7 页

(2)①当 n=2k,k∈Z 时,原式= ②当 n=2k+1, k∈Z 时, 原式= 19.对称中心坐标为 ? ?

sin (?+2kπ)+sin (?-2kπ) 2 = . sin (?+2kπ)cos(?-2kπ) cos ?

sin [?+(2k+ )π]+sin [?-(2k+ )π] 1 1 2 =- . sin [?+(2k+ )π]cos[?-(2k+ )π] 1 1 cos ?

kπ kπ π π ? + (k∈Z). + , 0 ? ;对称轴方程为 x= 12 ? 3 2 ? 2

解析:∵ y=sin x 的对称中心是(kπ,0),k∈Z,
kπ π π =kπ,得 x= + . 6 12 2 kπ π ∴ 所求的对称中心坐标为 ? + , 0 ? ,k∈Z. ? ? 2 12 ? ?

∴ 令 2x-

又 y=sin x 的图象的对称轴是 x=kπ+ ∴ 令 2x-

? , 2

kπ π ? π =kπ+ ,得 x= + . 6 2 3 2 kπ π + (k∈Z). 3 2

∴ 所求的对称轴方程为 x=

20.(1)有最小值无最大值,且最小值为 1+a; 解析:(1) f(x)=

(2)0.

sin x+a a =1+ ,由 0<x<π,得 0<sin x≤1,又 a> sin x sin x

0,所以当 sin x=1 时,f(x)取最小值 1+a;此函数没有最大值. (2)∵-1≤cos x≤1,k<0, ∴ k(cos x-1)≥0, 又 sin2 x≥0, ∴ 当 cos x=1,即 x=2k?(k∈Z)时,f(x)=sin2 x+k(cos x-1)有最小值 f(x)min=0.

第 7 页 共 7 页


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