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高中数学 2.1.2 指数函数及其性质教案 新人教A版必修1

时间:2017-10-15


2.1.2

指数函数及其性质

(第一课时) 教学目标:1、理解指数函数的概念 2、根据图象分析指数函数的性质 3、应用指数函数的单调性比较幂的大小 教学重点:指数函数的图象和性质 教学难点:底数 a 对函数值变化的影响 教学方法:学导式 (一)复习: (提问) 引例 1: 某种细胞分裂时, 由 1 个分裂成 2 个, 2 个分裂成 4

个……1 个这样的细胞分裂 x 次 后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是: y ? 2x . 这个函数便是我们将要研究的指数函数,其中自变量 x 作为指数,而底数 2 是一 个大于 0 且不等于 1 的常量。 (二)新课讲解: 1.指数函数定义: 一般地,函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R . 练习:判断下列函数是否为指数函数。 ① y ? x2 ⑤ y ??
x

② y ? 8x ⑥ y ? 52 x
x
2

③ y ? (2a ? 1) x ( a ?
?1

1 且 a ? 1 )④ y ? (?4) x 2
x

⑦y?x

x

⑧ y ? ?10 .

x 2.指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象:

例 1.画 y ? 2 的图象(图(1) ) . 解:列出 x , y 的对应表,用描点法画出图象

x y ? 2x

… …

-3 0.13

-2 0.25

-1.5 0.35

-1 0.5

-0.5 0. 71

0 1

0.5 1.4

1 2

1.5 2.8

2 4

3 8

… …

1 y ? ( )x 2

y ? 2x

图(1) 例 2.画 y ? ( ) 的图象(图(1) ) .
x

x
1 y ? ( )x 2

1 2

… …

-3 8

-2 4

-1.5 2.8

-1 2

-0.5 1.4

0 1

0.5 0.71

1 0.5

1.5 0.35

2 0.25

3 0.13

… …

1 x 2 说明:一般地, 函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 的图象关于 y 轴对称。
指出函数 y ? 2x 与 y ? ( ) 图象间的关系? 3.指数函数 y ? a x 在底数 a ? 1 及 0 ? a ? 1 这两种情况下的图象和性质:

a ?1

0 ? a ?1

图 象

性 质

(1)定义域: R (2)值域: (0, ??) (3)过点 (0,1) ,即 x ? 0 时 y ? 1 (4)在 R 上是增函数
x

(4)在 R 上是减函数

( 1 ), (f 3)? 例 3.已知指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象经过点 (3, ? ) ,求 f (0), f 的值(教材第 66 页例 6) 。 例 4.比较下列各题中两个值的大小:

(1)1.72.5 ,1.73 ;

(2)0.8?0.1 ,0.8?0.2

(3)1.70.3 ,0.93.1

(教材第 66 页例 7) 小结:学习了指数函数的概念及图象和性质; 练习:教材第 68 页练习 1、3 题。 作业:教材第 69 页习题 2。1A 组题 第 6、7、8 题

2.1.2 指数函数 及其性质(第二课时) 教学目标:1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质; 2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域; 3.掌握比较同底数幂大小的方法; 4. 培养学生数学应用意识。 教学重点:指数函数性质的运用 教学难点:指数函数性质的运用 教学方法:学导式 (一)复习: (提问) 1.指数函数的概念、图象、性质 2.练习: (1)说明函数 y ? 4
? x ?3
2x

图象与函数 y ? 4 图象的关系; 图象的左移 2 个单位,再下移 1 个单位所得函数的解析式

?x

(2)将函数 y ? ( ) 是 ;

1 3

(3)画出函数 y ? ( ) 的草图。 (二)新课讲解:

1 2

x

例 1.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%,画 出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来 的一半(结果保留 1 个有效数字) 。 分析:通过恰当假设,将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数,并可列表、描点、作图,进而求得 所求。 解:设这种物质量初的质量是 1,经过 x 年,剩留量是 y . 1 经过 1 年,剩留量 y =1×84%=0.84 ; 2 经过 2 年,剩留量 y =1×84%=0.84 ; …… 一般地,经过 x 年,剩留量 y ? 0.84x , 根据这个函数关系式可 以列表如下:

x
y

0 1

1 0.84
x

2 0.71

3 0.59

4 0.50

5 0.42

6 0.35

用描点法画出指数函数 y ? 0.84 的图象。从图上看出 y ? 0.5 ,只需 x ? 4 . 答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半。 例 2. 说明下列函数的图象与指数函数 y ? 2 的图象的关系,并画出它们的示意图:
x

(1) y ? 2

x ?1


x ?1 ?2

(2) y ? 2
x

x ?2



解: (1)比较函数 y ? 2
?3?1

与 y ? 2 的关系:

y ? 2 与 y ? 2 相等, y ? 2?2?1 与 y ? 2?1 相等, y ? 22?1 与 y ? 23 相等 ,
…… 由此可以知道,将指数函数 y ? 2 的图象向左平移 1
x

个单位长度,就得到函数 y ? 2 (2)比较函数 y ? 2
?1? 2 x ?2

x ?1 x

的图象。

与 y ? 2 的关系:

y ? 2 与 y ? 2?3 相等, y ? 20?2 与 y ? 2?2 相等, …… y ? 23?2 与 y ? 21 相等 , x x ?2 由此可以知道, 将指数函数 y ? 2 的图象向右平移 2 个单位长度, 就得到函数 y ? 2 的图象。 说明: 一般地, 当 a ? 0 时, 将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 a 个单位得到 y ? f ( x ? a) 的 图象; 当 a ? 0 时, 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 | a | 个单位, 得到 y ? f ( x ? a) 的图象。
练习:说出下列函数图象之间的关系: (1) y ?

1 1 ?x ? x?a 2 2 与 y ? ; (2) y ? 3 与 y ? 3 ; (3) y ? x ? 2x 与 y ? x ? 2x . x ?1 x
1

例 3.求下列函数的定义域、值域: (1) y ? 8 2 x ?1 (2)y ? 1 ? ( ) ∴x?

1 2

x

(3) y ? 3

?x

(4)y ?

a x ?1 (a ? 0, a ? 1) . ax ?1
1 2

解: (1)? 2 x ? 1 ? 0

1 2

原函数的定义域是 {x x ? R, x ? } ,

1 则 t ? 0, t ? R 2x ?1 ∴ y ? 8t (t ? R, t ? 0) 得 y ? 0, y ? 1 ,
令t ? 所以,原函数的值域是 {y y ? 0, y ? 1} . (2)?1 ? ( ) ? 0
x

1 2

∴x ?0

原 函数的定义域是 ?0, ??? , ∴ 0 ? y ? 1,

令 t ? 1 ? ( ) ( x ? 0)
x

所以,原函数的值域是 ?0,1? . (3)原函数的定义域是 R , 令t ? ? x 则 t ? 0 , ? y ? 3t 在 ? ??,0? 是增函数, ∴ 0 ? y ? 1 ,

1 2

则 0 ? t ? 1 , ? y ? t 在 ?0,1? 是增函数

所以,原函数的值域是 ? 0,1? . (4)原函数的定义域是 R , 由y?

a x ?1 y ?1 (a ? 0, a ? 1) 得 a x ? ? , x a ?1 y ?1 y ?1 ?ax ? 0 ? 0, ∴? ∴ ?1 ? y ? 1 ,所以,原函数的值域是 ? ?1,1? . y ?1
说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函 数的值域。 小结:1.学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解; 2.学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。 3. 了解函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 及函数 y ? f ( x) 与 y ? f ( x ? a) 图象间的关系。 作业:习题 2.1 第 3,5,6 题 2.1.2 指数函数及其性质(第三课时) 教学目标:1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法; 2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法; 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点:函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点:指数函数性质的运用 教学方法:学导式 (一)复习: (提问) 1.指数函数的图象及性质 2.判断及证明函数单调性的基本步骤:假设→作差→变形→判断 3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤: (1)考查函数定义域是否关于原点对称; (2)比较 f (? x) 与 f ( x ) 或者 ? f ( x) 的关系; (3)根据函数奇偶性定义得出结论。 (二)新课讲解: 例 1.当 a ? 1 时,证明函数 y ?

ax ?1 是奇函数。 a x ?1

x 证明:由 a ? 1 ? 0 得, x ? 0 ,故函数定义域 {x x ? 0}关于原点对称。

f (? x) ?

a ? x ? 1 (a ? x ? 1)a x 1 ? a x ? ? ? f ( x) ? a ? x ? 1 (a ? x ? 1)a x 1 ? a x ax ?1 是奇函数。 a x ?1

∴ f (? x) ? ? f ( x) ,所以,函数 y ?

评析:此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明,但在证明过程中的恒等变形用到推广的 实数指数幂运算性质。 例 2.设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) , 2 ?1
x

(1)试证明:对于任意 a, f ( x) 在 R 为增函数; (2)试确定 a 的值,使 f ( x ) 为奇函数。 分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学 生注意不同题型的解答方法。 (1)证明:设 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则

2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1 2 2 ? x2 ? x1 2 ?1 2 ?1 2(2 x1 ? 2 x2 ) , ? x1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1) x x x x x 由于指数函数 y ? 2 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 ,所以 2 1 ? 2 2 即 2 1 ? 2 2 ? 0 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

x1

? 0 , 2 x2 ?1 ? 0 ,所以, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数, f ( x ) 在 R 为增函数。
又由 2 ? 0 ,得 2 1
x

x ?1

评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性。 (2)解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) ,

2 2 2 ? 2x 2 2(2x ? 1) ? ? ( a ? ) ,变形得: , 2 a ? ? ? 2? x ? 1 2x ? 1 (2? x ? 1) ? 2 x 2 x ? 1 2x ? 1 解得: a ? 1 ,所以,当 a ? 1 时, f ( x ) 为奇函数。 评述:此题并非直接确定 a 值,而是由已知条件逐步推导 a 值。应要求学生适应这种题型。 练习: (1)已知函数 f ( x ) 为偶函数,当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? ?2x ?1 ,求当 x ? (??, 0) 时, f ( x) 的解析式。
即a? (2)判断 y ? a x ?4 x (a ? 0, a ? 1) 的单调区间。 小结:灵活运用指数函数的性质,并掌握函数单调性,奇偶性证明的通法。 作业: (补充)
2

2x ?1 1.已知函数 f ( x) ? x , 2 ?1 (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求证函数 f ( x ) 在 x ? (??, ??) 上是增函数。
2.函数 y ? 32 x
2

?3 x ?6

的单调递减区间是



3.已知函数 f ( x ) 定义域为 R ,当 x ? 0 时有 f ( x ) ? ( )

1 3

x2 ? x

,求 f ( x ) 的解析式。


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