nbhkdz.com冰点文库

高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习) g3.1012函数的奇偶性和周期性

时间:2010-11-28


g3.1012 函数的奇偶性和周期性
一、知识回顾: 知识回顾: 1、函数的奇偶性: (1)对于函数 f (x) ,其定义域关于原点对称: ......... 如果______________________________________,那么函数 f (x) 为奇函数; 如果______________________________________,那么函数 f

(x) 为偶函数. (2)奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称. (3)奇函数在对称区间的增减性 ;偶函数在对称区间的增减性 . 2、函数的周期性 对于函数 f (x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ( x + T ) = f ( x) ,则 f (x) 为周期函数,T 为这个函数的周期. 基本训练: 二、基本训练: 1 1、以下五个函数: 1) y = ( x ≠ 0) ; 2) y = x 4 + 1 ; 3) y = 2 x ; 4) y = log 2 x ; ( ( ( ( x ( 5 ) y = log 2 ( x + x 2 + 1) ,其中奇函数是 ______ ,偶函数是 ______ ,非奇非偶函数是 _________ 变题:已知函数 f ( x) 对一切实数 x, y 都有 f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) ,则 f ( x) 的奇偶性如何?
2、函数 y = ax 2 + bx + c 是偶函数的充要条件是___________ 3、 已知 f ( x) = ax 7 + bx 5 + cx 3 + dx + 5 , 其中 a, b, c, d 为常数, f (?7) = ?7 , f (7) = _______ 若 则 4、若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数 F ( x) = f ( x) + f ( x ) 的图象关于(



(A) x 轴对称
5、函数 F ( x) = (1 +
x

(B) y 轴对称

(C)原点对称

(D)以上均不对 )

2 ) f ( x)( x ≠ 0) 是偶函数,且 f (x) 不恒等于零,则 f (x) ( 2 ?1 (A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数

三、例题分析: 例题分析: 例 1、 1)如果定义在区间 [3 ? a,5] 上的函数 f (x) 为奇函数,则 a =_____ ( (2)若 f ( x) = 2 x ? 2 ? x lg a 为奇函数,则实数 a = _____ (3)若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ∈ (0,+∞) 时, f ( x) = x(1 + 3 x ) ,那么当 x ∈ (?∞,0) 时, f (x) =_______ (4) f (x) 是 (?∞,+∞) 上的奇函数,f ( x + 2) = ? f ( x) , 0 ≤ x ≤ 1 时,f ( x) = x , f (47.5) 设 当 则 等于 ( ) (A)0.5 (B) ? 0.5 (C)1.5 (D ) ? 1 . 5

例 2、判断下列函数的奇偶性 (1 ) f ( x ) =
1? x2 ; | x + 2 | ?2

(2) f ( x) = lg x 2 + lg

1 ; x2

(3) f ( x) = (1 ? x)

1+ x 1? x

3 例 3、 f (x) 是定义在实数集 R 上的函数, 设 且满足 f ( x + 2) = f ( x + 1) ? f ( x) , 如果 f (1) = lg , 2 f (2) = lg 15 ,求 f (2001)

例 4、设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x + 2) = ? f ( x) ,又当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) = x 3 , (1)证明:直线 x = 1 是函数 f ( x) 图象的一条对称轴: 2)当 x ∈ [1,5] 时,求 f ( x) 的解析式。 (

变题:设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x = 1 对称,求证: f ( x) 是周期 函数。

四、作业 同步练习 g3.1012 函数的奇偶性和周期性
1、若 f ( x) ( x ∈ R) 是奇函数,则下列各点中,在曲线 y = f ( x) 上的点是 ( ) (A) (a, f (? a )) (B) (? sin α,? f (? sin α)) 1 (C) (? lg a,? f (lg )) (D) (? a,? f (a )) a 2、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则 T f (? ) = 2 T T (A )0 (B) (C)T (D ) ? 2 2 3、已知 f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) 对任意实数 x, y 都成立,则函数 f ( x) 是 ( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)可以是奇函数也可以是偶函数 (D)不能判定奇偶性

4、 05 福建卷) f (x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f ( 2) = 0 ,则方程 f (x ) =0 在 (

区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( A.5 B.4 C .3


D.2

5、 (05 山东卷)下列函数既是奇函数,又在区间 [ ?1,1] 上单调递减的是(



(A) f ( x ) = sin x (B) f ( x) = ? x + 1 (C) f ( x ) = ( 6、 04 年全国卷一.理 2)已知函数 f ( x) = lg
A.b B.-b C.

1? x .若f (a ) = b.则f (? a ) = 1+ x

1 x 2? ( a + a ? x ) (D) f ( x) = ln 2 + x 2 x





1 1 D.- b b 7、 (04 年福建卷.理 11)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时, f(x)=2-|x-4|,则() ) (B)f(sin1)>f(cos1) 6 6 2π 2π )<f(sin ) (D)f(cos2)>f(sin2) (C)f(cos 3 3 8、(97理科)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象 与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式 ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是 (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④ 9、已知函数 y = f (x) 在 R 是奇函数,且当 x ≥ 0 时, f ( x) = x 2 ? 2 x ,则 x < 0 时, f ( x) 的解析 式为_______________ x+m 10、定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) = 2 ,则常数 m = ____, n = _____ x + nx + 1 11、下列函数的奇偶性为 (1 ) ; 2) ( . (1) f ( x) = ln(1 + e 2 x ) ? x (A)f(sin

π

)<f(cos

π

? x(1 ? x) (2 ) f ( x ) = ? ? x(1 + x)

( x ≥ 0) ( x < 0)

12、已知 f ( x) = x(

1 1 + ) , 1)判断 f (x) 的奇偶性; 2)证明: f ( x) > 0 ( ( 2 ?1 2
x

, 13、定义在 [?1 1] 上的函数 y = f (x) 是减函数,且是奇函数,若 f (a 2 ? a ? 1) + f (4a ? 5) > 0 , 求实数 a 的范围。

1 14、设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x = 1 对称,对任意 x1 , x 2 ∈ [0, ] ,都有 2 1 1 f ( x1 + x 2 ) = f ( x1 ) f ( x 2 ) . (I)设 f (1) = 2 ,求 f ( ), f ( ) ; (II)证明 f (x) 是周期函数。 2 4

答案: 基本训练 :1、 (1) (5)(2)(3) ; ; (4)变题:奇函数 例题:1(1)8 2(1)奇函数 (2)10 (3) x(1 ? 3 x )
(4)B

2、 b = 0

3、17

4、B

5、A

(2)既是奇函数也是偶函数

(3)非奇非偶函数

3、1

4(1)证 f (1 + x) = f (1 ? x) 作业: 1—8、 BD DAA 奇函数
BDC

?(2 ? x)3 , x ∈ [1,3] ? (2) f ( x) = ? 3 ?( x ? 4) , x ∈ ( 3, 5] ? 9、f ( x) = ? x 2 ? 2 x( x < 0)
? ?3 + 33 ? 13、 ?1, ? ? 2 ? ?

变题:T=4

10、 0 0;

11(1)偶函数 (2)T=2

(2)

12(1)偶函数

1 1 14(1) f ( ) = 2, f ( ) = 4 2 2 4