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高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 . 曲线与方程练习 理-课件

时间:2017-11-01


第八章 平面解析几何 8.8 曲线与方程练习 理
[A 组·基础达标练]

x y → 1 → → 1. [2015·石家庄模拟]已知点 Q 在椭圆 C: + =1 上, 点 P 满足OQ= OF (其 1+OP 16 10 2

2

2

(

)

/>中 O 为坐标原点,F1 为椭圆 C 的左焦点),则点 P 的轨迹为( A.圆 C.双曲线 答案 D B.抛物线 D.椭圆

)

→ 1 → → 解析 因为点 P 满足OQ= (OF1+OP),所以 Q 是线段 PF1 的中点,设 P(a,b),由于 F1 2 是椭圆 C: + =1 的左焦点,则 F1(- 6,0),故 Q? 16 10 ?
2 2

x2

y2

x y ?a- 6 b? , ?,由点 Q 在椭圆 C: + 16 10 2 2?
2 2

?a- 6? b =1 上,则 P 点的轨迹方程为 + =1,故点 P 的轨迹方程为椭圆. 64 40 2.方程(x +y -4) x+y+1=0 的曲线形状是(
2 2

)

答案 C 解析 原方程可化为?
2 2

?x +y -4=0 ? ? ?x+y+1≥0

2

2

或 x+y+1=0.显然方程表示直线 x+y+1=0 和

圆 x +y -4=0 在直线 x+y+1=0 的右上方部分,故选 C. 3.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的 轨迹方程是( A. - =1 9 16 C. - =1(x>3) 9 16 答案 C 解析 如图,|AD|=|AE|=8, ) B. D. - =1 16 9 - =1(x>4) 16 9

x

2

y

2

x2 x2

y2 y2

x2

y2

1

|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支, 方程为 - =1(x>3). 9 16 → → → 4.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC=λ 1OA+λ 2OB(O 为坐标原点),其中 λ 1,λ 2∈R,且 λ 1+λ 2=1,则点 C 的轨迹是( A.直线 C.圆 答案 A → → → 解析 设 C(x,y),则OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3), → → → ∵OC=λ 1OA+λ 2OB, ∴?
?x=3λ 1-λ ?
2

x2

y2

)

B.椭圆 D.双曲线

?y=λ 1+3λ 2, ?

又 λ 1+λ 2=1,

∴x+2y-5=0,表示一条直线. 5.动点 P 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点,F1、F2 为椭圆的两个 焦点,动圆 C 与线段 F1P、F1F2 的延长线及线段 PF2 相切,则圆心 C 的轨迹为( A.椭圆 C.抛物线 答案 D B.双曲线 D.直线 )

x2 y2 a b

2

解析 如图所示,设三个切点分别为 M、N、Q. ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|F2N|=2a, ∴|F2N|=a-c, ∴N 点是椭圆的右顶点, ∴CN⊥x 轴, ∴圆心 C 的轨迹为直线. 6.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与圆 C 相切 的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( A.x - =1(x>1) 8 C.x + =1(x>0) 8 答案 A
2 2

) B.x - =1(x<-1) 8 D.x - =1(x>1) 10
2 2

y

2

y2

y2

y2

解析 设另两个切点为 E、F,如图所示, 则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|. 从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|, 所以 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的右支.a=1,c=3, ∴b =8. 故方程为 x - =1(x>1).故选 A. 8 7.已知|AB|=2,动点 P 满足|PA|=2|PB|,试建立恰当的平面直角坐标系,动点 P 的轨 迹方程为________.
2 2

y2

? 5?2 2 16 答案 ?x- ? +y = 9 ? 3?

解析 如图所示,以 AB 的中点 O 为原点,直线 AB 为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标 系,则 A(-1,0),B(1,0). 设 P(x,y),因为|PA|=2|PB|,
3

所以 ?x+1? +y =2 ?x-1? +y . 两边平方,得(x+1) +y =4[(x-1) +y ]. 10 2 2 整理,得 x +y - x+1=0, 3
2 2 2 2

2

2

2

2

? 5?2 2 16 即?x- ? +y = . 9 ? 3? ? 5?2 2 16 故动点 P 的轨迹方程为?x- ? +y = . 9 ? 3?
8.动圆与⊙C1:x +y =1 外切,与⊙C2:x +y -8x+12=0 内切,则动圆圆心的轨迹 是________. 答案 以 C1,C2 为焦点的双曲线的右支 解析 ⊙C2 的圆心为 C2(4,0),半径为 2,设动圆的圆心为 M,半径为 r,因为动圆与⊙
2 2 2 2

C1 外切,又与⊙C2 内切,所以 r>2,|MC1|=r+1,①
|MC2|=r-2.② 由①-②得|MC1|-|MC2|=3<|C1C2|=4. 根据双曲线的定义知,动圆圆心的轨迹是以 C1,C2 为焦点的双曲线靠近 C2 的一支. 9.设 x,y∈R,i、j 为直角坐标平面内 x,y 轴正方向上的单位向量,向量 a=xi+(y +2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,则点 M(x,y)的轨迹方程为________. 答案 + =1 12 16
2 2

x2

y2

解析 由已知得 a=(x,y+2),b=(x,y-2),而|a|+|b|=8,故有 x +?y+2? +

x2+?y-2?2=8①,由①式知动点 M(x,y)到两定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为一
常数,满足椭圆的定义,故 M 点轨迹为以 F1、F2 为焦点的椭圆,椭圆的长半轴长 a=4,所以 短半轴长 b=2 3,故其轨迹方程为 + =1. 12 16 10.[2016·长春高三调研]已知平面上的动点 P(x,y)及两个定点 A(-2,0),B(2,0), 1 直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2 且 k1k2=- . 4 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与曲线 C 交于不同两点 M,N,当 OM⊥ON 时,求 O 点到直线 l 的 距离(O 为坐标原点). 解 (1)设 P(x,y),

x2

y2

由已知得

y y 1 · =- , x+2 x-2 4
2

整理得 x +4y =4,即 +y =1(x≠±2). 4 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),?y=kx+m,? +y =1, 4 ? 消去 y 得(4k +1)x +8kmx+4m -4=0, 由 Δ =(8km) -4(4k +1)(4m -4)>0,
4
2 2 2 2 2 2

2

x2

2

?

x2

2

得 4k +1-m >0.

2

2

x1+x2=-

8km 4m -4 ,x1·x2= 2 , 2 4k +1 4k +1

2

∵OM⊥ON, ∴x1·x2+y1·y2=0, 即 x1·x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k )x1·x2+km(x1+x2)+m =0,
2 4m -4 ? 8km ? 2 2 ∴(1+k )· 2 +km·?- 2 ?+m =0, 4k +1 ? 4k +1? 2 2

4 2 2 2 2 ∴m = (k +1)满足 4k +1-m >0, 5 ∴O 点到 l 的距离为 d= 即d=
2

|m| 1+k

2



4 2 5 = ,∴d= . 1+k 5 5
2

m2

[B 组·能力提升练] 1.[2015·郑州一模]如图,△PAB 所在的平面 α 和四边形 ABCD 所在的平面 β 互相垂 直,且 AD⊥α ,BC⊥α ,AD=4,BC=8,AB=6,若 tan∠ADP+2tan∠BCP=10,则点 P 在平 面 α 内的轨迹是( )

A.圆的一部分 C.双曲线的一部分 答案 B 解析 由题意可知 +2 =10.

B.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

PA AD

PB BC

则 PA+PB=40>AB=6,又因 P、A、B 三点不共线,故点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭 圆的一部分. 2.[2016·皖南八校联考]如图,正方体 AC1 中,

DF AE 2 CG BH 1 = = , = = ,点 P 为平面 DD1 AA1 3 CC1 BB1 3
)

EFGH 内的一动点,且满足∠PAA1=∠C1AA1,则点 P 的轨迹是(

5

A.抛物线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案 C 解析 因为点 P 为平面 EFGH 内一动点而且保证∠PAA1=∠C1AA1,故点 P 的轨迹为以 AA1 为轴, AC1 为母线, 将 AC1 进行旋转与平面 EFGH 相交形成的曲线, 又因为 1 = ,所以这个轨迹是椭圆. 3 3. [2014·广东高考]已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5, 0), 离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的 轨迹方程. 解 (1)由题意知 c= 5,e= =
2 2 2

DF AE 2 CG BH = = , = DD1 AA1 3 CC1 BB1

x2 y2 a b

5 . 3

c a

5 , 3

∴a=3,b =a -c =4, 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 9 4 (2)设两切线为 l1,l2, ①当 l1⊥x 轴或 l1∥x 轴时,l2∥x 轴或 l2⊥x 轴, 可知 P(±3,±2). ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设 l1 的斜率为 k,且 k≠0,则 l2 的斜率为 1 x y - ,l1 的方程为 y-y0=k(x-x0),与 + =1 联立, k 9 4 整理得(9k +4)x +18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0) -36=0, ∵直线 l1 与椭圆相切,∴Δ =0, 即 9(y0-kx0) k -(9k +4)·[(y0-kx0) -4]=0, ∴(x0-9)k -2x0y0k+y0-4=0, ∴k 是方程(x0-9)x -2x0y0x+y0-4=0(x0≠±3)的一个根,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

6

1 2 2 2 同理,- 是方程(x0-9)x -2x0y0x+y0-4=0(x0≠±3)的另一个根,

k

2 ? 1? y0-4 2 2 ∴k·?- ?= 2 ,整理得 x0+y0=13,其中 x0≠±3, ? k? x0-9

∴点 P 的轨迹方程为 x +y =13(x≠±3). 检验 P(±3,±2)满足上式. 综上,点 P 的轨迹方程为 x +y =13. 4.[2014·湖北高考]在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的 距离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 解 |x|+1, 化简整理得 y =2(|x|+x).
? ?4x,x≥0 2 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y =? ? ?0,x<0.
2 2 2

2

2

(1)解法一(直接法):设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即 ?x-1? +y =

2

2

解法二(定义法):根据题意,设点 M(x,y), 当 x<0 时,y=0, 当 x≥0 时,动点 M 到 F(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等,所以动点 M 的轨迹为 以点 F 为焦点,x=-1 为准线的抛物线,方程为 y =4x,
?4x,x≥0 ? 2 综上,轨迹 C 的方程为 y =? ?0,x<0. ?
2

(2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y =4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). 由方程组?
2

2

? ?y-1=k?x+2? ?y =4x, ?
2

可得 ky -4y+4(2k+1)=0.(*1) 1 ①当 k=0 时,此时 y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 4

?1 ? 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点? ,1?. ?4 ?
②当 k≠0 时,方程(*1)根的判别式 Δ =-16(2k +k-1).(*2) 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则 2k+1 由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- .(*3)
2

k

?Δ <0 ? (ⅰ)若? ? ?x0<0,

1 由(*2)(*3)解得 k<-1 或 k> . 2

7

?1 ? 即当 k∈(-∞,-1)∪? ,+∞?时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点, ?2 ?
故此直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.
? ?Δ =0 (ⅱ)若? ?x0<0 ? ? ?Δ >0 或? ?x0≥0, ?

? 1? 1 由(*2)(*3)解得 k∈?-1, ?,或- ≤k<0. 2? 2 ? ? 1? 即当 k∈?-1, ?时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 2? ?

? 1 ? 当 k∈?- ,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. ? 2 ?
1? ? 1 ? ? 故当 k∈?- ,0?∪?-1, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 2 2? ? ? ? 1 1 (ⅲ)若{Δ >0,?x0<0, ,由②③解得-1<k<- 或 0<k< . 2 2 1? ? 1? ? 即当 k∈?-1,- ?∪?0, ?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点,故此 2? ? 2? ? 时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.

?1 ? 综合①②可知,当 k∈(-∞,-1)∪? ,+∞?∪{0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公 ?2 ?
1? 1? ? 1 ? ? ? 共点;当 k∈?- ,0?∪?-1, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈?-1,- ? 2? 2? ? 2 ? ? ?

? 1? ∪?0, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. ? 2?
5.[2015·广东高考]已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x +y -6x+5=0 相交于不同的两 点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解 (1)圆 C1 的标准方程为(x-3) +y =4,圆心 C1(3,0).
2 2 2 2

? 3?2 2 9 (2)由垂径定理知,C1M⊥AB,故点 M 在以 OC1 为直径的圆上,即?x- ? +y = . 4 ? 2?

8

? 3?2 2 9 2 2 故线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程是?x- ? +y = 在圆 C1:(x-3) +y =4 内部的部 4 ? 2? ? 3?2 2 9?5 ? 分,即?x- ? +y = ? <x≤3?. 4? 3 ? 2? ?
? 5 ? 3?2 2 9 (3)联立?x= ,??x- ? +y = , 3 4 ? 2? ? ? ? 5 2 5 解得?x= ,?y=± . 3 3 ? ?

2 5? ?5 2 5? ?5 不妨设其交点为 P1? , ?,P2? ,- ?, 3 3 3 3 ? ? ? ? 设直线 L:y=k(x-4)所过定点为 P(4,0), 2 5 2 5 则 kPP1=- ,kPP2= . 7 7

当直线 L 与圆 C 相切时,

?3k-4k? ?2 ? ? ? 3
2

3 = ,解得 k=± . 4 k +1 2

? 3? ? 2 5 2 5? ?3? 故当 k∈?- ?∪?- , ?∪? ?时,直线 L 与曲线 C 只有一个交点. 7 7 ? ?4? ? 4? ?

9


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