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1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》第3课时2013.3.5


1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则

我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式

4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数 的导数的和(差),即:

f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) ? g ?( x) ?
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ?

法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

练习: 1 1、若直线y ? ? x ? b为函数y ? 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.

2.已知直线y ? x ? 1, 点P为y ? x 上任意一点,
2

求P在什么位置时到直线的距离最短 ?

3.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与 S1,S2均相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y? ? 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y? ? ?2( x ? 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
?2 x1 ? ?2( x2 ? 2) ? x1 ? 0 ? x1 ? 2 ?? 或? . 因为两切线重合, ? ? 2 2 ? ? x1 ? x2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x2 ? 0

若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.

所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.

复合函数的概念

一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),

如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那
么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合

函数,记作y=f(g(x)).

复合函数y ? f ( g ( x))的导数和函数 y ? f (u ), u ? g ( x)的导数间的关系为 yx ' ? yu '?u x '

例4 求下列函数的导数

(1) y ? (2 x ? 3)

2

(2) y ? e

?0.05 x?1

(3) y ? sin( ?x ? ? )(其中?,?均为常数)
解:)函数y ? (2 x ? 3) 可以看作函数y ? u 和 (1
2 2

u ? 2 x ? 3的复合函数。根据复合函数求导法则有

y x ' ? yu '?u x ' ? (u )'?(2 x ? 3)'
2

? 4u ? 8 x ? 12

(2) y ? e

?0.05 x?1

解:)函数y ? e?0.05 x?1可以看作函数y ? eu和 (1 u ? ?0.05 x ? 1的复合函数。根据复合函数求导法则有

yx ' ? yu '?u x ' ? (e )'?(?0.05 x ? 1)'
u

? ?0.05e ? ?0.05e

u ?0.05 x ?1

(3) y ? sin( ?x ? ? )(其中?,?均为常数)
解:)函数y ? sin( ?x ? ? )可以看作函数y ? sin u和 (1 u ? ?x ? ?的复合函数。根据复合函数求导法则有

y x ' ? yu '?u x ' ? (sin u )'?(?x ? ? )' ? ? cos u ? ? cos(?x ? ? )

复合函数求导三步曲: 第一步,分层(从外向内分解成基本函 数用到中间变量); 第二步,层层求导(将分解所得的基本 函数进行求导); 第三步,做积还原(将各层基本函数的 导数相乘,并将中间变量还原为原来的 自变量)。

如下函数由多少个函数复合而成:

1. y ? sin 2 x 2 2. y ? ? 2 x ?1 2 3. y ? (sin 2 x ? 1)

求下列函数的导数

x x 1. y ? x ? sin cos 2 2 2. y ? sin (2 x ? ) 3
2

?

3.y=

1

1? x

?

1

1? x

函数求导的基本步骤:

1,分析函数的结构和特征
2,选择恰当的求导法则和导数公式 3,整理得到结果

小结:

复合函数y=f(x)要先分解成基本初等函数 y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等,再求导: y’x=y’uu’vv’ x

根据函数式结构或变形灵活选择基本初 等函数求导公式或复合函数求导方法


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