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山东省临沂一中2014届高三9月月考数学(理科)试题


13—14 高三上学期 9 月月考试题数学(理)
2013.9.26

温馨提示:态度决定高度,细节决定成败!
(本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟)

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每

小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? {?2, ?1, 0,1, 2},N ? {x | A. {0,1} B. {?1 0} ,

1 ? 2 x ?1 ? 8,x ? R} ,则 M ? N ? ( 2
D. {?2, ?1, 0,1, 2}

)

C. {?1, 0,1}

2.命题“若函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数,则 log a 2 ? 0 .”的逆 否命题 是( )

A.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 B.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 C.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 D.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 3.幂函数 f ( x) ? x 的图象过点 (2, 4) ,那么函数 f ( x) 的单调递增区间是( A. (?2, ??) 4.函数 f ( x) ? B. [?1, ??) C. [0, ??) D. (??, ?2) )
?



1 1n( x 2 ? 3x ? 2) ? ? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为( x
B. (?4, 0) ? (0,1) D. [?4, 0) ? (0,1]

A. (??, ?4][2, ??) C. [?4, 0)(0,1]

5.已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x), 当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x , 则f (7) ?
2

( ) A.-2
?1

B.2

C.-98
3

D.98 )

1) 6.若 x ? (e ,,a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln x ,则(

A. a < b < c C. b < a < c
2

B. c < a < b D. b < c < a

7.若函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1)x ? 2在区间 (??, 4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (??, ?3] 8.已知p : x ? 1, q : A.充分不必要 C.充要 B. (??, 4] C. (??,5] )条件 D. [3, ??)

1 ? 1, 则p是?q成立的 ( x

B.必要不充分 D.既非充分也非必要 ) D.3

9.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 1 的零点的个数是( A.0 B.1 C.2

10.若不等式 x ? ( )

1 ? a ? 2 ? 1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 x

A. 2 ? a ? 3

B. 1 ? a ? 2

C. 1 ? a ? 3

D. 1 ? a ? 4
x

11.若函数 f ( x), g ( x )分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,则有 ( ) A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3)
x 2

B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)

12. 已知函数 f ( x) ? 2 ? 1, g ( x) ? 1 ? x , 构造函数 F ( x) 的定义如下: | f ( x) |? g ( x) 时, 当

F ( x) ?| f ( x) | ,当 | f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ? ? g ( x) ,则 F ( x) (
A.有最小值 0,无最大值 C.有最大值 1,无最小值

)

B.有最小值-1,无最大值 D.无最大值,也无最小值

第Ⅱ卷(非选择题 共 60 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上)
13. 若命题 ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 是真命题” 则实数 a 的取值范围是 “ ,
2



14.设 g ( x) ? ? 15.设命题 p:

?e x

x ≤ 0,

?ln x, x ? 0,

则 g ? g ? ?? ?

? ? 1 ?? ? ? 2 ??



2x ?1 2 ? 0 ,命题 q: x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0, 若 x ?1

p 是 q 的充分不必要条件,

则实数 a 的取值范围是___________. 16.已知 f (3 ) ? 4 x log 2 3 ?1990 ,则 f (64) 的值等于
x



三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 12 分) 已 知 命 题 p : 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 等 的 负 实 根 , 命 题 q : 方 程
2

4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0
无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 函数 f (x) 在 x ? ? 2, 6? 上的最大值和最小值.

2 试判断此函数 f (x) 在 x ? ? 2, 6? 上的单调性, 并求此 , x ? ?2,6? , x ?1

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log a (1 ? x) ? log a ( x ? 3)(0 < a < 1) . (1)求函数 f ( x) 的定义域 ; (2)若函数 f ( x) 的最小值为 ? 4 ,求实数 a 的值. 20. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ?

?cx ? 1 ? ?2 ?
? x c2

(0 ? x ? c) (c ≤ x ? 1)

?1

满足 f (c ) ?
2

9 . 8

(1)求常数 c 的值 ;

(2)解不等式 f ( x) ?

2 ? 1. 8

21. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图象 ; (2)设集合 A ? ? x f ( x) ? 5 ?,

B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) . 试判断集合 A 和

B 之间
的关系,并给出证明 ; (3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图象位于函数 f (x) 图象的 上方.

22. (本小题满分 13 分) 设 a 为实数,记函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g (a ) . (1)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ; (2)求 g (a ) ; 1 (3)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a. a

高三理科上学期 9 月月考试题答案
一、选择题: 二、填空题: 三、解答题:
?? ? 0 ? 17.解:若 p 真 ? ? x1 ? x 2 ? ? m ? 0 ? m>2;若 q 真 ? ? <0 ? 1<m<3.???4 分 ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
由题意,p, q 中有且仅有一为真,一为假. 当 p 假 q 真, 则 ? ?????6 分 当 p 真 q 假,则

1-5 CACDA
13. a ? ?2或a ? 1;

6-10 CABBC
14.

11-12 DB
; 16.2014 .

1 ; 2

15. ?0,2?

?m ? 2, ? 1<m≤2 ; ?1 ? m ? 3

?m ? 2 ? m≥3. ??????10 分 ? ?m ? 1或m ? 3
综上所述实数 m 的取值范围(1,2]∪[3,+∞). 18.解:设 x1、x2 是区间[2,6]上的任意两个实数,且 x1<x2, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ?????12 分 ?????1 分

2[( x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x 2 ? x1 ) 2 2 = = .???4 分 x1 ? 1 x 2 ? 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

由于 2<x1<x2<6,得 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0, 于是 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? . 所以函数 f ( x) ? ?????6 分

2 是区间[2,6]上的减函数. ?????7 分 x ?1 2 因此函数 f ( x) ? 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值, x ?1 2 ?????11 分 ? f max ( x) ? f (2) ? 2, f min ( x) ? f (6) ? . 5
故函数 f (x) 在 x ? ? 2, 6? 上的最大值和最小值分别为 2 和 19.解: (1)要使函数有意义:则有 ?

2 .????12 分 5

?1 ? x > 0 ,解之得 ?3 < x < 1 . ??3 分 ?x ? 3 > 0

所以函数的定义域为 x ? 3 ? x ? 1 . (2)函数可化为

?

?

??????4 分

f ( x) ? log a (1 ? x)( x ? 3) ? log a ( ? x 2 ? 2 x ? 3) ? log a ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ? . ? ?
??????6 分

∵?3 < x < 1 ,∴ 0 < -( x ? 1)2 ? 4 ? 4 .

??????8 分

∵0 < a < 1 ,∴ log a ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ? ? log a 4 ,即 f ( x) min ?log 4 . ???9 分 a ? ?
由 log a 4 ? ?4 ,得 a
?4

? 4 ,∴ a ? 4

?

1 4

?

2 . 2

??????11 分

故实数 a 的值为

2 . 2
2

??????12 分

20.解: (1)因为 0 ? c ? 1,所以 c ? c ;由 f (c 2 ) ?

9 9 1 ,即 c3 ? 1 ? ,? c ? . 8 8 2
????????????4 分

?1 1? ? ? ? 2 x ? 1,? ? x ? 2 ? 2 ? ? ? (2)由(1)得 f ( x ) ? ? ,由 f ( x) ? ? 1 得,??6 分 8 ? ?2?4 x ? 1,? ≤ x ? 1? ? ? ? ?? ? ?
当0 ? x ? 当

2 1 1 ?x? ; 时,解得 4 2 2

??????8 分

1 1 5 ≤ x ? 1 时,解得 ≤ x ? . 2 2 8

??????10 分

所以 f ( x) ?

? 2 2 5? ? ? ? 1 的解集为 ? x ? x? ?. 8 8? ? 4 ? ?

??????12 分

21. 解: (1)函数 f (x) 在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出的图象如下图所示:

??????2 分 (2)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14 , 0, 4 和 2 ? 14 , 由于 f (x) 在 ( ? ?, ? 1] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增, 因此 A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14 , ? ? . 由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A . (3)解法一:当 x ?[ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 5 . 设

?

?

?

?

??????6 分 ??????8 分

g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4 x ? 5)

? x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5)

4?k? k 2 ? 20k ? 36 ? ??x ? , ??????9 分 ? ? 2 ? 4 ? 4?k ? k ? 2,? ? 1. 又 ?1? x ? 5 , 2 4?k 4?k ① 当 ?1? , ?1 , 即 2 ? k ? 6 时 , 取 x ? 2 2 k 2 ? 20k ? 36 1 2 g (x) min ? ? ? ? ?k ? 10? ? 64 . 4 4 ? 16 ? (k ? 10) 2 ? 64, ? (k ? 10) 2 ? 64 ? 0 , 则 g ( x) min ? 0 . ???11 分 4?k ② 当 ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , g (x) min = 2k ? 0 . 2 由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g ( x) ? 0 , x ?[ ? 1, 5 ] . ??????12 分 因 此 , 在 区 间 [ ? 1, 5 ] 上 , y ? k ( x ? 3) 的 图 象 位 于 函 数 f (x) 图 象 的 上 方. ??????13 分 解法二:当 x ?[ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 5 .

2

?

?

? y ? k ( x ? 3), 由? 得 x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? 0 , 2 ? y ? ? x ? 4 x ? 5, 令 ? ? (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) ? 0 ,解得 k ? 2 或 k ? 18 ,??????10 分 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,当 k ? 2 时, y ? 2( x ? 3) 的图象与函数 f (x) 的图象只交于一点 ( 1, 8 ) ; 当 k ? 18 时, y ? 18( x ? 3) 的图象与函数 f (x) 的图象没有交点.????11 分 如图可知,由于直线 y ? k ( x ? 3) 过点 ( ? 3, 0 ) , 当 k ? 2 时,直线 y ? k ( x ? 3) 是由直线 y ? 2( x ? 3) 绕点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图象位于函数 f (x) 图象的上方. ??13 分

22. 解: (1)∵ t ? 1 ? x ? 1 ? x ,∴要使 t 有意义,必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 .
∵ t ? 2 ? 2 1 ? x ? [2,4] ,且 t ? 0 ……①
2 2

∴ t 的取值范围是 [ 2 ,2] , 由①得: 1 ? x ?
2

??????2 分

1 2 t ? 1, 2 1 2 1 2 ∴ m(t ) ? a( t ? 1) ? t ? at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] .?????4 分 2 2 1 2 (2)由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) ? at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 的最大值, 2 1 1 2 ∵直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴, ??????5 分 a 2
∴可分以下几种情况进行讨论: ①当 a ? 0 时,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t ? ?

1 ? 0 知 m(t ) 在 t ? [ 2 ,2] 上单调递增,故 g (a ) ? m(2) ? a ? 2 ; a ②当 a ? 0 时, m(t ) ? t , t ? [ 2 ,2] ,有 g (a ) =2;
③当 a ? 0 时, ,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

2 1 ? (0, 2 ] 即 a ? ? 时, g (a ) ? m( 2 ) ? 2 , 2 a 2 1 1 1 1 ,? ] 时, g (a ) ? m(? ) ? ?a ? 若 t ? ? ? ( 2 ,2] 即 a ? (? , 2 2 a a 2a 1 1 若 t ? ? ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a ) ? m(2) ? a ? 2 . a 2
若t ? ? ??????9 分

1 ? a?? , ? a ? 2, 2 ? 1 2 1 ? ,? ?a?? , 综上所述,有 g (a ) = ? ? a ? ??????10 分 2a 2 2 ? ? 2 a?? . ? 2, 2 ? 1 3 (3)当 a ? ? 时, g (a ) ? a ? 2 ? ? 2 ; 2 2 2 1 1 2 1 2 1 ?( ,1] ,∴ ? a ? ? ? a ? ? 时, ? a ? [ , ),? 当? , 2a 2 2 2 2 2 2a 1 1 2 ? 2 (?a) ? (? ) ? 2 ,故当 a ? ? 时, g (a ) ? 2 ; g (a ) ? ?a ? 2a 2a 2 1 1 1 当 a ? 0 时, ? 0 ,由 g (a ) ? g ( ) 知: a ? 2 ? ? 2 ,故 a ? 1 ; a a a 1 1 1 当 a ? 0 时, a ? ? 1 ,故 a ? ?1 或 ? ?1 ,从而有 g ( a ) ? 2 或 g ( ) ? 2 , a a a 2 1 2 2 1 要使 g (a ) ? g ( ) ,必须有 a ? ? , ?? ,即 ? 2 ? a ? ? , 2 a 2 2 a 1 此时, g ( a ) ? 2 ? g ( ) . ??????13 分 a


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