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2015.1.海淀区高二第一学期期末数学文科


海淀区高二年级第一学期期末练习
数 学(文科) 2015.1 一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 直线 y ? x ? 2 的倾斜角是( A. )

π 2π 3π C. D. 4 3 4 2 2 1 x y ? ? 1 的离心率是 ,则实数 m 的值是 2.

焦点在 x 轴上的椭圆 m 3 2 9 3 A. 4 B. C. 1 D. 4 4
B. 3. 一个空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为( A. 8 B. )

π 6


2 主(正)视图 2 左(侧)视图



8 3

C.

16 3

D. 6

2 俯视图

4. 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : 3x ? 4 y ? 3 ? 0 ,则直线 l 被圆 O 所截的 ( A. )

弦长为

6 5

B. 1

C.

8 5

D.2 )

5. 命题 “ ?k ? 0 ,使得直线 y ? kx ? 2 的图象经过第一象限”的否定是( A. ? k ? 0 ,使得直线 y ? kx ? 2 的图象不经过第一象限 B. ? k ? 0 ,使得直线 y ? kx ? 2 的图象经过第一象限 C. ? k ? 0 ,使得直线 y ? kx ? 2 的图象不经过第一象限 D. ? k ? 0 ,使得直线 y ? kx ? 2 的图象不经过第一象限 6. 已知等差数列 {an } ,则“ a2 ? a1 ”是“数列 {an } 为单调递增数列”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B.必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



7. 已知正四面体 A ? BCD 的棱长为 2 ,点 E 是 AD 的中点,则下面四个命题中正确的是 ( ) A. ? F ? BC , EF ? AD B. ? F ? BC , EF ? AC

高二数学试题

文科

第 1 页 共 9 页

C. ? F ? BC , EF ? 3

D. ? F ? BC , EF∥AC )

8. 已知曲线 W: x 2 ? y 2 ? | y |? 1 , 则曲线 W 上的点到原点距离的最小值是( A.

1 2

B.

2 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

二、填空题:本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 9. 已知直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 y ? ax 平行,则实数 a ? ___.

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为________________. 16 9 x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 4,则 P 到另一个焦点的距离是_______. 11. 椭圆 25 16 x2 y2 12. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若等边 △F1F2 P 的一个顶点 P 在椭圆 C a b
10. 双曲线 上,则椭圆 C 的离心率为______. 13. 已知平面 ? ? ? ,且 ?

? ? l ,在 l 上有两点 A, B, 线段 AC ? ? ,

α C

线段 BD ? ? , AC ? l , BD ? l , 则线段 CD 的长为_____.

AB ? 4, AC ? 3,

BD ? 12,
β

l A D B

14. 已知点 A( ?1,0) , 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 P ( x, y ) 在抛物线上,且 | AP |? 2 | PF | , 则 | OP |? ___ . 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题共 10 分)
2 2 已知点 A(0,2) , 圆 O : x ? y ? 1 .

( I ) 求经过点 A 且与圆 O 相切的直线方程; ( II ) 若点 P 是圆 O 上的动点,求 OA ? AP 的取值范围.

16. (本小题共 12 分)
2 2 已知直线 l : y ? x ? t 与椭圆 C : x ? 2 y ? 2 交于 A, B 两点.

( I ) 求椭圆 C 的长轴长和焦点坐标;
高二数学试题 文科 第 2 页 共 9 页

( II ) 若 |AB |?

4 2 ,求 t 的值. 3

17.(本小题共 12 分) 如图所示的几何体中,直线 AF ? 平面 ABCD ,且 ABCD 为正方形, ADEF 为梯形, DE∥AF ,又

AB ? 1, AF ? 2 DE =2a .
( I ) 求证:直线 C E∥ 平面 AB F ;
高二数学试题 文科 第 3 页 共 9 页
B

F

E

A C

D

( II ) 求证:直线 BD ? 平面 AC F (Ⅲ) 若直线 AE ? CF ,求 a 的值.

18.(本小题共 10 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,经过点 A(0,3) 的直线与椭圆交于 P, Q 两点. 4 3

( I ) 若 | PO |?| PA | ,求点 P 的坐标; ( II ) 若 S△OAP =S△OPQ ,求直线 PQ 的方程.
高二数学试题 文科 第 4 页 共 9 页

海淀区高二年级第一学期期末练习 数 学(文科) 参考答案及评分标准 2015.1 一. 选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 题号 1
高二数学试题

2
文科

3

4

5

6

7

8

第 5 页 共 9 页

答案

B

A

B

C

C

C

A

A

二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分. 9. 1 或 ?1 12. 10. y ? 13. 13

3 3 x或 y ?? x 4 4

11. 6 14.
5

1 2

说明:9,10 题每个答案两分,丢掉一个减两分 三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 15. (本小题满分 10 分) 解: (I)由题意知道,所求直线的斜率存在, 设切线方程为 y ? kx ? 2 ,即 kx ? y ? 2 ? 0 , 所以圆心 O 到直线的距离为 d ? -------------1 分

2 k2 ?1



-------------3 分

所以 d ?

2 k2 ?1

? 1 ,解得 k ? ? 3 ,

-------------4 分

所求的直线方程为 y ? 3x ? 2 或 y ? ? 3x ? 2 . (II)设点 P ( x, y ) , 所以 OA ? (0,2) , AP ? ( x, y ? 2) , 所以 OA ? AP ? 2( y ? 2) . 又因为 x 2 ? y 2 =1 ,所以 ?1 ? y ? 1 , 所以 OA ? AP ?[?6, ?2] .

-------------5 分

-------------6 分 -------------7 分 -------------9 分 -------------10 分

16. (本小题满分 12 分) 解: (I)因为 x 2 ? 2 y 2 ? 2 , 所以

x2 ? y2 ? 1, 2

-------------1 分 -------------3 分 -------------4 分

所以 a ? 2, b ? 1 ,所以 c ? 1 , 所以长轴为 2a ? 2 2, 焦点坐标分别为 F1 ( ?1,0), F2 (1,0) . (II)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .
高二数学试题 文科 第 6 页 共 9 页

因为 ?

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 ?y ? x ?t

,

消元化简得 3x 2 ? 4tx +2t 2 ? 2 ? 0 ,

-------------6 分

? ? ? ? 16t 2 ? 12(2t 2 ? 2)=24 ? 8t 2 ? 0 ? ?4t ? 所以 ? x1 +x2 ? 3 ? 2 ? 2t ? 2 ? x1 x2 ? 3 ?
2 所以 |AB|= 1 ? 1 | x1 ? x2 |?

-------------8 分

2 24 ? 8t 2 , 3

-------------10 分

又因为 |AB|=

4 2 , 3
-------------12 分

所以

2 4 2 24 ? 8t 2 = , 解得 t ? ? 1 . 3 3

17.(本小题满分 12 分) 解: (I)因为 ABCD 为正方形,所以 AB 又 DE∥AF ,且 AB
CD .

-------------1 分

AF ? A, CD

DE ? D .
-------------3 分

所以平面 ABF∥平面 DCE . 而 CE ? 平面 EDC , 所以 CE ∥平面 ABF . (II) 因为 ABCD 为正方形,所以 AC ? BD 因为直线 AF ? 平面 ABCD , 所以 AF ? BD , 因为 AF

-------------4 分 -------------5 分

-------------6 分

AC ? A ,
-------------8 分

所以直线 BD ? 平面 ACF . (Ⅲ) 连接 FD . 因为直线 AF ? 平面 ABCD , 所以 AF ? CD , 又 CD ? AD , AD

AF ? A
-------------9 分

所以 CD ? 平面 ADEF , 所以 CD ? AE .
高二数学试题 文科 第 7 页 共 9 页

又 AE ? CF , FC

CD ? C ,

所以 AE ? 平面 FCD , 所以 AE ? FD . -------------11 分

π , 2 a 1 1 所以 tan ?EAD ? ? ? 1 tan ?EAD 2a 2 解得 a ? . 2
所以 ?EAD ? ?FDA ?

-------------12 分

18. (本小题满分 10 分) 解: (I) 设点 P( x1 , y1 ) , 由题意 |PO |?| PA | , 所以点 P 在 OA 的中垂线上,而 OA 的中垂线为 y ? 把其代入椭圆方程,求得 x1 ? ?1 . 所以 P(1, ) 或 P( ?1, ) . (II) 设 Q ( x2 , y2 ) . 根据题意,直线 PQ 的斜率存在, 设直线 PQ 的方程为 y ? kx ? 3 ,

3 3 , 所以有 y1 ? .-------------2 分 2 2

3 2

3 2

-------------4 分

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 所以 ? . ? y ? kx ? 3
消元得到 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24kx ? 24 ? 0 ,

? ?? ? (24k ) 2 ? 96(3 ? 4k 2 ) ? 0 ? ?24k ? 所以 ? x1 +x2 ? 3 ? 4k 2 ? 24 ? x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 ?
因为 S△OAP =S△OPQ , 所以 S△OAQ =2S△OPQ , 即

-------------6 分

1 1 | OA || x1 | =2 ? | OA || x2 | 2 2

-------------7 分 -------------8 分
文科 第 8 页 共 9 页

所以有 | x1 | =2 | x2 | ,
高二数学试题

因为 x1 x2 ?

24 ?0, 3 ? 4k 2

所以 x1,x2 同号, 所以 x1 ? 2 x2 .

? ? x1 ? 2 x2 ? ?24k ? 所以 ? x1 ? x2 ? , 3 ? 4k 2 ? 24 ? x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 ?

-------------9 分

3 , 经检验,此时 ? ? 0 , 2 3 3 所以直线 PQ 的方程为 y ? x ? 3, 或 y ? ? x ? 3. 2 2
解方程组得到 k ? ? 法二:设 Q ( x2 , y2 ) , 因为 S△OAP =S△OPQ ,所以 |AP |?| PQ | . 即点 P 为线段 OQ 的中点, 所以 x2 =2 x1 , y2 ? 2 y1 ? 3 . 把点 P, Q 的坐标代入椭圆方程得到

-------------10 分

-------------6 分

-------------7 分

? x12 y12 ? ?1 ? ? 4 3 ? 2 2 ? (2 x1 ) ? (2 y1 ? 3) ? 1 ? 3 ? 4
? x1 ? 1 ? x1 ? ?1 ? ? 解方程组得到 ? 或者 ? 3 3 , y ? y1 ? 1 ? ? ? ? 2 2
即 P(1, ) , 或者 P( ?1, ) .

-------------8 分

3 2

3 2

-------------9 分

3 3 或者 k ? ? , 2 2 3 3 所以直线 PQ 的方程为 y ? x ? 3, y ? ? x ? 3. 2 2
所以直线 PQ 的斜率为 k ?

-------------10 分

说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分.

高二数学试题

文科

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