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人教A版选修2-3配套资源:1.2.2(第2课时)《组合的综合应用》ppt课件


数学 选修2-3

第一章 计数原理
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动

第2课时 组合的综合应用

数学 选修2-3

第一章 计数原理
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动

自主学习 新知突破

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第一章 计数原理
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1.掌握组合的有关性质.

2.能解决有关组合的简单实际问题.
3.能解决无限制条件的组合问题.

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第一章 计数原理
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动

有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片

排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和
为5,则不同的排法共有多少种?

[提示] 中间行两张卡片为1,4或2,3,且另两行不可同时 出现这两组数字.用间接法,①先写出中间行为(1,4)或(2,3),
2 4 2 1 2 2 1 C1 · A · A ;②去掉两行同时出现 1,4 或 2,3 , (A C ) A ,所以 C 2 2 6 2 2 4 2 4 2 1 2 2 A2 A - (A 2 6 2C2) A4=1 440-192=1 248.

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第一章 计数原理
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排列与组合的联系和区别
排列与组合的共同点都是“从n个不同元素中,任取m个元 素”,如果交换两个元素的位置对结果产生影响,就是 排列问题 ;反之,如果交换两个元素的位置对结果没有影 ___________ 排列问题 与顺序有关, 组合问题 .简而言之, __________ 响,就是 ___________ 组合问题 与顺序无关. __________

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第一章 计数原理
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解排列组合综合题的思路
组合 解决该问题的一般思路是先选后排,先 ____________ 后 排列 分类加法计数 原 理 和 ____________ , 解 题 时 应 灵 活 运 用 _______________ 分步乘法计数 原理.分类时,注意各类中是否分步,分 __________________ 步时注意各步中是否分类.

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第一章 计数原理
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1.将5本不同的书分给4人,每人至少1本,不同的分法种 数有( ) B.5种 D.180种 A.120种 C.240种

解析: 先从5本中选出2本,有C 2 5 种选法,再与其他三本
2 一起分给4人,有A4 A4 4种分法,故共有C5· 4=240(种)不同分法.

答案: C

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2.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2 门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有( A.36种 B.48种 )

C.96种

D.192种

3 3 解析: 不同的选修方案共有C2 · C C4=96(种). 4 4·

答案: C

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第一章 计数原理
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3.安排3名支教教师去6所学校任教,每校至多2人,则不 同的分配方案共有________种(用数字作答).

解析: 每人去一所学校有A

3 6

种;两人去一所有C

2 3

· A

2 6

2 2 种,共有分配方案A3 + C 6 3A6=210(种).

答案: 210

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4.课外活动小组共 13 人,其中男生 8人,女生 5 人,并且 男、女生各指定一名队长,现从中选 5 人主持某种活动,依下

列条件各有多少种选法?
(1)只有1名女生当选; (2)两名队长当选; (3)至少有1名队长当选.

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4 解析: (1)1名女生,4名男生,故共有C 1 · C 5 8 =350种选

法. (2)将两名队长作为一类,其他11人作为一类,故共有
3 C2 · C 2 11=165种选法.

(3)方法一:至少有1名队长含有两类:只有1名队长,2名
2 3 队长.故共有C1 C4 C11=825种选法. 2· 11+C2· 5 方法二:采用间接法共有C5 13-C11=825种选法.

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合作探究 课堂互动

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第一章 计数原理
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有限制条件的组合问题
“抗震救灾,众志成城”.在我国四川“ 5·12” 地
震发生后,某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴抗震救灾前 线,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问: (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少 种?

(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?

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第一章 计数原理
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[思路点拨]

分清“至少”、“至多”的含义,合理的分

类或分步进行求解.

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(1)分步:首先从4名外科专家中任选2名,有
4 C2 种选法,再从除外科专家外的 6 人中选取 4 人,有 C 4 6 种选法,

所以共有C2 C4 4· 6=90(种)抽调方法. (2)方法一:(直接法)按选取的外科专家的人数分类: ①选2名外科专家,共有C2 C4 4· 6种选法;
3 ②选3名外科专家,共有C3 · C 4 6种选法; 2 ③选4名外科专家,共有C4 · C 4 6种选法, 4 3 3 4 2 根据分类加法计数原理,共有C 2 · C + C · C + C · C 4 6 4 6 4 6=

185(种)抽调方法.

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方法二:(间接法)不考虑是否有外科专家,共有C 家参加,有C6 6种选法,
1 5 6 所以共有C6 - C · C - C 10 4 6 6=185(种)抽调方法.

6 10

种选

5 法,考虑选取1名外科专家参加,有C 1 · C 4 6 种选法;没有外科专

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(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三 种情况, 分类解答. ①没有外科专家参加,有C6 6种选法; ②有1名外科专家参加,有C1 C5 4· 6种选法; ③有2名外科专家参加,有C2 C4 4· 6种选法.
1 5 所以共有C6 C6+C2 C4 6+C4· 4· 6=115(种)抽调方法.

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[规律方法] 1.含“至多”、“至少”问题的解法 解组合问题时,常遇到至多、至少问题,可用直接法分类

求解,也可用间接法求解以减少运算量,当限制条件较多时要
恰当分类,逐一求解. 2. “ 都是 ”、 “都不是 ” 与某元素的 “ 含” 、 “ 不含” 是同类型的,首先需将给定的总元素分类,才能判断所选取的 元素分别来源于哪一类元素中.

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第一章 计数原理
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1.课外活动小组共 13 人,其中男生 8人,女生 5 人,并且

男、女各指定一名队长,现从中选5 人主持某种活动,依下列
条件各有多少种选法? (1)只有一名女生; (2)两队长当选; (3)至少有一名队长当选;

(4)至多有两名女生当选;
(5)既要有队长,又要有女生当选.

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4 解析: (1)一名女生,四名男生,故共有C 1 · C 5 8 =350(种)

选法.
3 (2)将两队长作为一类,其他11人作为一类,故共有C 2 · C 2 11

=165(种)选法. (3)至少有一名队长当选含有两类:有一名队长当选和两
2 名队长都当选.故共有C 1 C4 C3 2· 11 +C 2 · 11 =825(种)选法.或采用 5 间接法:C5 13-C11=825(种).

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(4)至多有两名女生含有三类:有两名女生,只有一名女
3 1 4 5 生,没有女生.故共有C2 · C + C · C + C 5 8 5 8 8=966(种)选法. 4 12

(5)分两类:第一类,女队长当选,有C

种选法;第二

2 3 4 类,女队长不当选,有C 1 C3 C2 C1 4· 7 +C 4 · 7 +C 4 · 7 +C 4 (种)选法,故 1 3 3 1 选法共有C4 C7+C2 C2 C7+C4 12+C4· 4· 7+C4· 4=790(种).

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组合中的分组问题
6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,每份两本; (3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4) 分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三

本;
(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.

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[思路点拨]

(1)是平均分组问题,与顺序无关,相当于6

本不同的书平均分给甲、乙、丙三人,可以理解为一个人一个

人地来取, (2) 是“均匀分组”问题, (3) 是分组问题,分三步
进行,(4)分组后再分配,(5)明确“至少一本”包括“2、2、2 型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”.

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第一章 计数原理
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(1)根据分步计数原理得到:
2 2 C2 C 6 4C2=90(种).

2分

2 2 (2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有C 2 C C 6 4 2 种方法,这

个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每份两本,设有x 种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A3 3种方
2 2 2 C 6C4C2 2 2 2 3 法.根据分步计数原理可得:C6C4C2=xA3,所以x= A3 = 3

15. 因此分为三份,每份两本,一共有15种方法. 4分

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2 3 (3)这是“不均匀分组”问题,一共有C1 6C5C3=60种方法.

6分
2 3 3 (4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有C 1 6C5C3A3=

360种方法.

8分

(5)可以分为三类情况:①“2、2、2型”即(1)中的分配情
2 2 况,有C 2 C 6 4 C 2 =90种方法;②“1、2、3型”即(4)中的分配情 2 3 3 4 3 况,有C1 C C A = 360 种方法;③ “ 1 、 1 、 4 型 ” ,有 C 6 5 3 3 6A3=90

种方法,所以一共有90+360+90=540种方法.

12分

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第一章 计数原理
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[规律方法]

“分组”与“分配”问题的解法

(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题,搞清楚
类型的归属对解题大有裨益,要分清是分组问题还是分配问 题,这个是很关键的.

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第一章 计数原理
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(2)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种: ①完全均匀分组,每组的元素个数均相等;

②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必
须除以n!; ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. (3)分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个 分配,也可以分组后再分配.

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第一章 计数原理
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2.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在

下列条件下,各有多少种分法?
(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本; (2)一人得4本,一人得3本,一人得2本.

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第一章 计数原理
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解析: (1)分3步完成: 第1步,从9本不同的书中,任取4本分给甲,有C 法; 第2步,从余下的5本书中,任取3本分给乙,有C 法; 第3步,把剩下的书给丙有C2 2种方法, ∴共有不同的分法为C4 C3 C2 9· 5· 2=1 260(种).
3 5 4 9

种方

种方

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(2)分2步完成:
3 2 第1步,按4本、3本、2本分成三组有C4 · C C2种方法; 9 5·

第2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A 3 3 种 方法, ∴共有C4 C3 C2 A3 9· 5· 2· 3=7 560(种).

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第一章 计数原理
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几何中的组合问题
(1) 以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面
体? (2)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥? [思路点拨] 四面体可看作不共面四点的一个组合,四 棱锥是共面四点与平面外一点的组合.

(1)可用间接法,(2)可用直接法.

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第一章 计数原理
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解析:

(1)正方体8个顶点可构成C 4 8 个四点组,其中共面

的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面 的四个顶点,故可以确定的四面体有C4 8-12=58个. (2)由(1)知,正方体共面的四点组有12个,以这个四点组 构成的四边形为底面,以其余的四个点中任意一点为顶点都可 以确定一个四棱锥,故可以确定四棱锥12C1 4=48个.

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[ 规律方法 ]

1. 几何组合应用题,主要考查组合的知识和

空间想象能力,题目多是以立体几何中的点、线、面的位置关

系为背景的排列、组合.这类问题情景新颖,多个知识点交汇
在一起,综合性强. 2.这类题的解答方法与组合应用题的方法基本一样,也 就是把图形中的隐含条件视为有限制条件的组合应用题.计算 时可用直接法,也可用间接法.要注意在限制条件较多的情况

下,需要分类计算符合题意的组合数.

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3 .平面上有 9 个点,其中有 4 个点共线,除此外无 3 点共

线.
(1)经过这9个点,可确定多少条直线? (2)以这9个点为顶点,可以确定多少个三角形? (3)以这9个点为顶点,可以确定多少个四边形?

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解析:

方法一(直接法):

1 1 2 (1)可确定直线C4 4+C4C5+C5=31(条). 1 1 2 3 (2)可确定三角形C2 4C5+C4C5+C5=80(个). 2 1 3 4 (3)可确定四边形C2 C + C C + C 4 5 4 5 5=105(个).

方法二(间接法):
2 (1)可确定直线C2 - C 9 4+1=31(条). 3 (2)可确定三角形C3 - C 9 4=80(个). 4 3 1 (3)可确定四边形C4 - C - C 9 4 4C5=105(个).

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组合、排列的综合问题
现有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入
盒内: (1)共有几种放法? (2)恰有1个空盒,有几种放法? (3)恰有2个盒子不放球,有几种放法?

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[思路点拨]

此题关键是(2),恰有1个空盒相当于一定

有2个小球放在同一个盒子中,因此,先从4个不同的小球中取
出2个放在一起(作为一个整体),是组合问题.又因为4个盒子 中只有 1个是空的,所以另外 3个盒子中分别放入 2个,1 个,1 个小球,是排列问题.

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解析: (1)44=256(种). (2)先从4个小球中取2个放在一起,有C
2 4

种不同的取法,

再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆,并分别放入4个 盒子中的3个盒子里,有A 3 4 种不同的放法.根据分步乘法计数
3 原理,共有C2 4A4=144(种)不同的放法.

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(3)恰有2个盒子不放球,也就是把4个不同的小球只放入2 个盒子中,有两类放法:第一类,1个盒子放3个小球,1个盒
2 子放1个小球,先把小球分组,有C3 种,再放到 2 个小盒中有 A 4 4 2 种放法,共有C3 A 4 4种放法; 2 第二类,2个盒子中各放2个小球有C2 C 4 4种放法, 2 2 2 故恰有2个盒子不放球的放法共有C3 A + C 4 4 4C4=84(种).

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[ 规律方法 ]

1. 解排列组合的综合问题,首先要认真审

题,把握问题的实质,分清是排列还是组合问题,再注意结合

分类与分步两个原理,要按元素的性质确立分类的标准,按事
情的发生过程确定分步的顺序. 2.解排列组合综合问题的一般思路是 “ 先选后排 ”,也 就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排 列.

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4.某外商计划在 4 个候选城市投资 3个不同的项目,且在

同一个城市投资的项目不超过 2个,求该外商不同的投资方案
有多少种?

解析: 可先分组再分配,据题意分两类,一类:先将3 个项目分成两组,一组有1个项目,另一组有2个项目,然后再
2 分配给4个城市中的2个,共有C2 3A4种方案;另一类1个城市1个 3 4

项目,即把3个元素排在4个不同位置中的3个,共有A

种方

2 3 案.由分类加法计数原理可知共有C2 A + A 3 4 4=60(种)方案.

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◎1.有大小形状相同的 3个红色小球和5个白色小球排成一

排,则不同的排法有________种.

【错解】 因为是8个小球的全排列,所以共有A 法.
[提示]

8 8

种方

错解中没有考虑3个红色小球是完全相同的,

5个白色小球也是完全相同的,同色球之间互换位置是同一种 排法.

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【正解】

8个小球排好后对应着8个位置,题中的排法相

当于在8个位置中选出3个位置给红球,剩下的位置给白球,由 于这3个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题,这样共 有C3 8=56种排法.
答案: 56

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2.数学研究学习小组共有13名学生,其中男生8人,女生 5人,从这 13 人里选出3 个人准备做报告.在选出的 3个人中, 至少要有1名女生,一共有多少种选法?
【错解】 先选1名女生,有C 1 5 种方法;再从剩下的12个

1 2 人中选出2名,有C 2 种方法.∴共有 C · C 12 5 12 =330种不同的选

法.

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[ 提示 ]

错因是上述解法中有重复计数.不妨设 g1 ,

g2,?,g5表示5名女生,b1,b2,?,b8表示8名男生. (1)先选1名女生是g1,然后任选的2人是g2,b1;

(2)先选1名女生是g2,然后任选的2人是g1,b1.显然这是与
(1)相同的选法. 对元素有“至少”或“至多”限制的组合应用题用直接法 和间接法都可以,直接法根据条件分类列举,有时会分类过 多;间接法用“没有限定条件”的总数减去“不符合条件”的

种数,以免造成重复.

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【正解】 情况:

方法一:由题意,按选出女生的人数可分三类

2 第一类,选1名女生,2名男生,有C1 · C 5 8种选法; 1 第二类,选2名女生,1名男生,有C2 · C 5 8种选法;

第三类,选3名女生,男生不选,有C3 5种选法.
2 2 1 3 故共有C1 · C + C · C + C 5 8 5 8 5=230种选法.

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方法二:如果没有限制条件,则有C

3 13

种选法,而不符合

条件,即选出的全是男生(一名女生也没有)的选法是C 3 8 种.因
3 此,至少要有1名女生的不同选法有C3 13-C8=230种.

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