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解析二项式定理的常见题型


解析  - — —   ‘   项式定理 的‘  见题 型  
■ 翁华 木 




考点扫描 

二项式 定理是高 中数学 里相对 独立 的一个 知  识点 , 近年来 , 高考对二项 式定 理的 考查基本 成 为  种 固定 的模式 , 主要涉及 二项展 开式 、 通项 公式  和二项式系数

的性质 , 题 型也相对 固定 , 基本 上是  选 择 题 和 填 空 题 的形 式 , 难度 适 中 , 并 且 在 命 题 的 


1  的展开式中, 含X 4 的 项的系数是   (  
,  

)  

A. 一 1 0  

B. 1 0  

C. 一5  

D. 5  

【 解析 】  
? . . 

+ 。= c ;(  )   一  (一1 )  一  =  

(一1 )   C ; x ”   , 令 1 0— 3 r = 4 , 得 r =2 .  

思 路 上 不 回避 基 本 、 不 回避 常 规   二、 知 识 网 络 

项的 系数 为  :1 . 故选 B .   灞0 数 讣 

司 离 考 数 学 

用 

r f   — — — — — ] 卜   _ . 卜 r l   _ [     —]    l


是 

歪 

回  
的 



L _ [   姻

_ _ j  

三、 题 型 归 类 

1 . 研究特定项 系数 
二项展 开式 中的特 定项 一 般 为某 指定 项 、 常  数项 、 系数最大项 、 有理数项 、 指 数为整 数项 等 , 形  式 多样 , 解题的工具是利用通项公 式.  
( 1 ) 求 系数  

( 2 0 0 9 年 浙江 卷) 在 二 项 式( X 2 一  

潦 数 

霹 离 考 羚 誊 

B. Ⅱ = 一2, b = 一 1, n =6   C. o = 一1, b =2, n :6  

D. 5=1 , 6=2, n:5  

【 解析 】   令  :0 , y=1 , 得 
( 1 +0  +6 y )  展 开 式 中 不 含  的 项 

的系数 和 为 ( 1+ b )  ; 令  =0,  =1 ,  
得( 1 +似 +  )   展 开 式 中 不 含 Y的  项 的 系数 和 为得 ( 1 +o )   . 如果 o , b  

是正值 , 这些系数 的和也就 是系数 绝 

对值 的和 , 如果 有 负值 , 相 应 地分 别  令  = 一1 , Y= 一1 , 此 时 的 和 式 为  ( 1 一b )  , ( 1一 o )  , 由此 可 知 符 合 要 
求 的 各 项 系 数 的 绝 对 值 的 和 为 
( 1 +} b j )  , ( 1 +J 口 I )   .  

根据题 意 ( 1+I   b I ) “ =2 4 3:3   ,  
? .



常 数 项 为   (   )   =   . 故 填  .  

( 1+I   r 上 I )  = 3 2=2   , 因 此 n=5 , l 口I =1 ,   I b   I =2 .  

故选 D .  

【 点评】   首先将 三项 式转 化成二 项 式 , 然后 
利 用通 项 公 式 求 其 常 数 项. 这 类 问题 的 求 解 容 易  

【 点评】   本题 表 面看 来是 一 个三项 式 问题 ,  
而 实质 上 是 以 这 个 三 项 式 为 基 础 设 计 了 两 个 二 项  式 问题 , 这 两个 二 项式 是 ( 1+  )   、 ( 1+   )   . 题 
目设 计 的 已知 条件 就是 这 两 个 展 开 式 的各 项 系数  

漏掉 字母 系数和式子的符号 , 在 求解时值 得注意.  
( 3 ) 求 项 数 

在 (   + 嘉 ) 的 展 开 式 中 ,   的 幂 的   想 解题 .  
指 数 是 整数 的 项 共 有  A. 3项   B . 4项  C . 5 项 (   D . 6 项 
+ 。 

的绝 对值 的和 分 别 为 2 4 3 、 3 2 , 最 后 落 脚 于 方 程 思 

)  

( 2 ) 求所有项 系数和  ( 2 0 0 9年 陕 西卷 ) 若( 1 — 2 x ) 。   =  
+ n:  。+


【 解析 】 设 展 开式 中第 r +1 项 的幂 的指数 

+。   2 0 0 9 (   ∈R) , 则  +   5 2+  

_





1 2一   应为整 数 , 从而 r 应 为 6的倍 数 且 0≤r  

…+  

的值 为 
B. 0   C. 一 1  

(  
D. 一2  

)  

≤2 4  . r 取0 , 6 , 1 2 , 2 8 , 2 4共 5个 数 . 故选 c .  

A. 2  

【 点评 】   本题 首先 由通 项公 式求 出展 开式的 
通项 , 然后讨论其指数 1 2一   为 罄数 的情形, 得到 
的 幂 的 指数 是 整 数 的 项 数 . 这 里 要 注 意 r的 取 值 

【 解析 】   在( 1— 2 x )   =o o +。 I  +5 2   +… 

+ n 2 ㈣2  中, 令  = 0 , 则n 0 = 1 ; 令  = ÷, 则  

范围 , 即0 ≤r ≤2 4 , 这 是 解题 中容 易 出错 的地 方.  

1 — 2 × 丢 )  = n 。 +  +  + … +  = 。 , 所  
以 粤+ 睾+ . . ? +   = - 1 _ 故 选C .  
【 点评 】   求各类代数式之和是 高考关 于二项  式定理 的最 常见 的考 查形 式之 一 , 求解 这类 问题 
的关键是根据题设条件 灵活地赋 值 , 一般 地 , 特 殊  值1 、一1 、 0在解题过程 中考虑得 比较 多, 但 也要 

2 . 研 究展 开式系数和 
二项展开式 的 系数 和包 括所 有 项 的系 数 和、  

奇数项系数和 、 偶 数项 系数 和等 , 一般通 过赋值 法  求解 , 解题时应注 意与二项式系数和 的区分.  
( 1 ) 求 特 定 项 系数 和 
( 2 0 0 9年 江 西 卷 ) ( 1+   +b y )   展 开 

式 中不 含  的项 的系数 绝对值 的 和为 2 4 3 , 不含 Y   的项 的系数绝 对值 的和 为 3 2 , 则。 , b , n的值可 能 
为 
A. 0 =2. b= 一 1. n =5  

依据题设灵活选择 , 如 本题 赋 = ÷ 就是 受题设条 
件的启示.  

(  

)  

3 . 研 究与相 关知识 的整合  二项式定 理 是 知 识 交汇 的一 个 重要 载 体 之 

2 0  《 语 数铃学习 》( 高中 皈   2 o o 9 年1 2 日 号中 旬  

M I N G X I A O X U E A N■函目


 



高考命题 在此常与其它 知识整 合 , 体 现二 项式 


令 

=1 ,得 a o- I -0 1- I -a 2- I -… + n 2  

定理 的工具 性. 如 与函 数 、 数列 、 三角 函 数 、 极限、  

复数等知识联 系, 实现高考命题 的创新 意识 .  
( 1 ) 与 三 角 函数 结合  

( 譬 + ? )   ;  
= 一

1 , 得   o一 日 l+a 2一口 3+ … +口 2 R  

已知(  c 。 s   +1 )  的展 开 式 中 2的 



系 数 与 (   + ÷ ) 。 的 展 开 式 [ {  的 系 数 相 等 , 则  
COS   =
— —

(  一   )   .  
故l i m( a 0 +a 2 + 0 4 +… +a 2 n )  一( a l +0 3+a 5  

.  

+… + a 2   )  

【 解析】   依题意, 得   c o s 。  =   ? ÷,  
? . .

[ (  +   )   ? (  一   )   】 = l 一 i m ( 一   1  


c。s  



÷ , 即 c 。 s   =   孚 . 故 填   譬 .  

0 . 故选 B .  

【 点评 】 本题将 三角函数知识 融汇 于二 项式  定理 的命 题之 中, 体现 了命题 的创新 意识 , 但是 求 
解的思维方法 却是 很 常规 的 , 即利 用二 项展 开 式  通 项公 式 求 出 对 应 的 特 指 项 , 建 立方程 即可 求 出  
问题 的 解.   ( 2 ) 与 数 列 极 限 结 合 

【 点评 】   本题 考查 的 着眼点 是在 变换 上 , 即  
通过对极 限式的变换达到解 决问题 的 目的, 这是解  决这个题 目最简捷也是 最容 易把 结果做对 的方法.  
研 究 二 项展 开 式 中 项 的 系数 的 和 差 问题 可 以通 过 

对 二 项 式 两 端 字母 的赋 值 予 于 解 决 , 如 本 题 中各 项  系数 的和 是 通 过 对 字母  赋 值 1解 决 的 , 系数 正 负   相 间 的部 分是 通 过 对 字母  赋 值 一 】解 决 的.  
( 3 ) 与 复数 结合  

( 2 0 0 9 年 湖 北 卷 ) 设 (  +   ) = a 0 +  
aI   + 。2  2 +
? ? ?

+ a2 n


2  一l+ n
I  

2  
2 n 
,  

1 i m[ ( 。 o +0 2 +口 4+… + a 2   )  一( 口 】+口 3+口 5  
+ … + a2  


已 知 (   一 老 ) 的 展 开 式 中 第 三 项 与  
第 五 项 的 系 数 之 比 为 一 音, 其 中  : 一 1 , 则 展 开  
式 中常数 项是 
A. 一4 5i   B. 4 5i   C. 一45  



)  ] =  
B. 。   c.   。.

(  

)  

譬  

(  
D. 4 5  

)  

【 解 析 】  


。 . ‘  ( a 0 + a 2 + a 4 + …+ a 2   )  

( Ⅱ I + 聪 3 + 。 5 +… +a 2   一 j )  


( a 0+ a l + a 2 +… +a 2 n ) ( n 0 一a 1 +。 2一 a 3 +  

2  2 n-5



+ Ⅱ 2   ) .  

【 解 析 】   : G   (   ( 一 去 ) =   ( X 2  ( 一 去 ) = c i ,  。 :  
,   =  

在 (  +   )  
。 一   + a
2n  

由 题 意 得 等一 音   _ 2 )  3 ) = 5 6 ,  
治.   鲢 讣  于是展开 式的通项为  髻 +  =c   。  黻

“ 中,  

掌 

( x 2 ) l o   ( 一 砉 )  0 ( _ i ) r   2 0 ÷ .  
令2 0一 ÷r = 0得 , = 8 ,  
? . .

常数项 为  =G  (一 i )  = 4 5 .  

故选 D .  

【 点评 】   本 题 将 复 数 知识 与二 
项式定理 进行 知识 交汇 , 开拓 了复数 

命 题 的新 思路 解 题 时要 注 意 对 i   ( n  

∈N) 的理解和确保计 算的准确性.  

( 作者单位 : 湖北省武 汉市  黄陂 区第一 中学)  

《 语 数外 学习 》 ( 高中 叛l 2 D o 9 年1 2 丹 号中 旬刊 2 1  


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