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【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮备考训练:4-2导数的应用(一)

时间:2015-04-02


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? ?

? 1 ?1 1.[2013· 大纲全国]若函数 f(x)=x2+ax+x在?2,+∞?是增函数,则 a

的取值范围是( A.[-1,0] C.[0,3]

) B.[-1,+∞) D.[3,+∞)
? ?

?1 ? 1 1 解析: 由条件知 f′(x)=2x+a-x2≥0 在?2,+∞?上恒成立, 即 a≥x2- ?1 ? ?1 ? 1 2x 在?2,+∞?上恒成立.∵函数 y=x2-2x 在?2,+∞?上为减函数,∴ymax ? ? ? ?

1 1 < 1 -2×2=3. ? ?2 ? ? ?2? ∴a≥3.故选 D 项. 答案:D 2.[2013· 浙江]已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k =1,2),则( )

A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 解析:当 k=1 时,f(x)=(ex-1)(x-1),f′(x)=xex-1, ∵f′(1)=e-1≠0, ∴f(x)在 x=1 处不能取到极值; 当 k=2 时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,f′(x)=(x-1)· (xex+ex-2), 令 H(x)=xex+ex-2,

则 H′(x)=xex+2ex>0,x∈(0,+∞). 说明 H(x)在(0,+∞)上为增函数, 且 H(1)=2e-2>0,H(0)=-1<0, 因此当 x0<x<1(x0 为 H(x)的零点)时,f′(x)<0,f(x)在(x0,1)上为减函 数. 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. ∴x=1 是 f(x)的极小值点,故选 C 项. 答案:C 3.[2013· 湖北]已知函数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数 a 的取 值范围是( ) 1? ? B.?0,2?
? ?

A.(-∞,0) C.(0,1)

D.(0,+∞)

?1 ? 解析: f′(x)=lnx-ax+x?x -a?=lnx-2ax+1, 函数 f(x)有两个极值点, ? ?

lnx+1 即 lnx-2ax+1=0 有两个不同的根(在正实数集上),即函数 g(x)= x 与 -lnx 函数 y=2a 在(0,+∞)上有两个不同交点.因为 g′(x)= x2 ,所以 g(x) 在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以 g(x)max=g(1)=1,如图. 若 g(x)与 y=2a 有两个不同交点,须 0<2a<1.

1 即 0<a<2,故选 B. 答案:B 4.[2013· 福建]设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点, 以下结论一定正确的是( A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 解析:对于 A 项,由极大值的定义知错误;对于 B 项,函数 f(x)与 f(- x)的图像关于 y 轴对称,-x0 应是 f(-x)的极大值点,故不正确;对于 C 项, 函数 f(x)与-f(x)图像关于 x 轴对称,x0 应是-f(x)的极小值点,故不正确; 对于 D 项,函数 f(x)与-f(-x)的图像关于原点成中心对称,故正确. 答案:D 5.[2013· 课标全国Ⅰ]若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线 x =-2 对称,则 f(x)的最大值为__________. 解析:∵函数 f(x)的图像关于直线 x=-2 对称, ∴f(x)满足 f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),
? ? ?b=-15?16-4a+b?, ?a=8, 即? 解得? ?0=-8?9-3a+b?, ?b=15. ? ?

)

∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15. 由 f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=0, 得 x1=-2- 5,x2=-2,x3=-2+ 5. 易知,f(x)在(-∞,-2- 5)上为增函数,在(-2- 5,-2)上为减函 数,在(-2,-2+ 5)上为增函数,在(-2+ 5,+∞)上为减函数. ∴f(-2- 5)=[1-(-2- 5)2][(-2- 5)2+8(-2- 5)+15]

=(-8-4 5)(8-4 5) =80-64 =16. f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15] =-3(4-16+15) =-9. f(-2+ 5)=[1-(-2+ 5)2][(-2+ 5)2+8(-2+ 5)+15] =(-8+4 5)(8+4 5) =80-64=16. 故 f(x)的最大值为 16. 答案:16


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